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2009年高考数学试题分类汇编——三角函数


2009 年高考数学试题分类汇编——三角函数
一、选择题
o 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ?

A.2

B.4+ 2 3
2

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

2.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数

? ? 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2 2 6.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...



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7.(2009 北京文)“ ? ?

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.(2009 山东卷文 ) 将函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ( ).
2

? 个单位 , 再向上平移 1 个单位 , 所得图象的函数解析式是 4

A. y ? 2cos x

B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

11.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

12.(2009 全国卷Ⅱ文)若将函数 y ? tan( ?x ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 (A)

?

4

)(? ? 0) 的图像向右平移

? ? 个单位长度后,与函数 y ? tan( ?x ? ) 6 6

1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

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14.(2009 安徽卷文)设函数

,其中

,则导数

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

15.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

3? 2

C. ?

D.

17. (2009 天津卷文) 已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

? 2

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , 将 y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? |

个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( ) A

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

19.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称

?
2

? 8

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

22.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

2 2 23.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3

(B)

5 4

(C) ?

3 4

(D)

4 5

24.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

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27.(2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为 (A) ?

o

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2
1 ,则 tan(a+ ? )= 3

28.(2009 全国卷Ⅰ文)已知 tan a =4,cot ? = (A)

7 11

(B) ?

7 11

(C)

7 13

(D) ?

7 13

29.(2009 全国卷Ⅰ文)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

? 29.(2009 陕西卷文)若 tan ? ? 2 ,则 OA ? OB ? AB ? 2?AOB ? 60 的值为

(A)0 (B)

3 4

(C)1 (D)

5 4

30.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 31.(2009 湖北卷文)“sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 2 2

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B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 32.(2009 湖北卷文)函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/,F/的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向 6
量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

33.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

35.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2?

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 36.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0


0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

37.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x )? c o ? s x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移 二、填空题 1.(2009 北京文)若 sin ? ? ?

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

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4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? . 5 2.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则

?=

.

3.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范围为

.

5.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? ?? ? 12 ?



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7.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 9..(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1时,不等式 sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.


11.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 14.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0,

?
2

)

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos ? 的值 2

2.(2009 全国卷Ⅰ理)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
2 2

4.(2009 浙江文)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

??? ? ??? ? A B? A C ? 3.

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

5.(2009 北京文)(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

6.(2009 北京理)(本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值;(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

7.(2009 江苏卷)(本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

9.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos (1) 求 ? .的值;

2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

10. ( 2009 全 国 卷 Ⅱ 文 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 △ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c ,

cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

11.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)



ABC 中,C-A=

, sinB=



(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= ,求 ABC 的面积。

14.(2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ? ??? ?

16.(2009 天津卷文)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

17.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? (错误!未找到引用源。)求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。)若 a ? b ?

5 10 ,sin B ? 5 10

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

19.(2009 湖南卷文)(每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 21.(2009 辽宁卷文)(本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的 塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,30 ,于水面 C 处测 得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两 点距离相等,然后求 B , D 的距离(计算结果精确到 0.01km , 2 ? 1.414 ,
0 0 0

?

?

?

?

?

?

6 ? 2.449)


24.(2009 陕西卷文)(本小题满分 12 分)

? x? ? ),x ? R( 其 中 A ? 0,? ? 0, 0? ? ? 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(
M( 2? , ?2) . 3

?
2

)的周期为 ? ,且图象上一个最低点为

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

26.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? (错误!未找到引用源。)求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。)若 a ? b ?

5 10 ,sin B ? 5 10

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

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27.(2009 湖北卷文)(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

32.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)

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已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

? 2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

? ,求函数 f ( x ) 的解析式;并求 3

33.(2009 重庆卷理)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

34.(2009 重庆卷文)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

2? . 3

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增区间. 2

35.(2009 上海卷文)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

??

? n?( s i B n

? ? , , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

?? ?

??

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3


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