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高等代数课程教学大纲


《高等代数》课程教学大纲
适用专业 数学与应用数学(师范) 、数学与应用数学 总 学 时 学 分 168 10

一、编写说明
(一)本课程的性质、地位和作用
高等代数是数学与应用数学专业(师范) 、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课,其主要内 容有多项式理论与线性代数两部分。本课程的教学目的是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象 的严格的代数方法,为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提 供必须具备的代数知识,也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定 的训练。高等代数课程是中学代数的继续和提高。通过本课程的教学,要使学生加深对中学代数的理解。 本课程在教学中要求学生确切理解高等代数中的基本概念,不仅要正确掌握这些概念的内涵,还要了 解这些概念的实际背景。 对于一些基本的重要概念, 还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则; 与中学代数有直接联系或者平行的概念, 要求学生能与中学数学中相应概念加以比较, 以确立较高的观点。 对于高等代数中的基本理论,要求学生掌握基本理论的结果,对于典型定理还要求掌握论证方法或思想, 同时要求学生能了解严谨的理论体系,体会建立这种体系的抽象的代数方法。通过本课程的教学,要求学 生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力;较好地掌握基本的论证方法与基本的计算方 法,特别要掌握基本的线性代数计算法。

(二)本大纲制订的依据
根据本专业人才的培养目标所需要的基本理论和基本技能的要求,根据本课程的教学性质、条件和教 学实践而制定。

(三)大纲内容选编原则与要求
1. 本大纲所列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》 (高等 教育出版社第二版)所列基本相同,讲授时可根据具体情况作适当调整。 2. 为了避免教学上的难点过于集中, 有些定理的掌握可以侧重于定理的结果和证明定理的方法, 以 达到掌握基本的代数方法的目的。 3. 每一章的重点内容要重点讲解,在讲清概念的基础上,通过适当的练习(习题课、作业、问题探 讨)以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能 力的目的。难点要逐步引人,分散讲解。 4. 本大纲列入部分带“ ? ”的内容,供选用,不计算入总课时。

(四)实践环节
1. 本课程的实践环节主要分为习题课、问题探讨(讨论) 、课后辅导、课后作业等四个部分,问题讨 论可在辅导课或课后完成。 2. 本课程教学时数为 168 学时,其中课堂讲授约 119 学时,习题课 49 学时。

(五)教学时数分配表

教 章节 序号 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 名 称 预备知识 一元多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 欧氏空间 总 学 时 学 环 节 课 堂 讲 授 8 19 8 14 12 10 16 18 14 119 讨 论 实 验 其 它 课 程 设 计 8 28 11 19 18 14 24 26 20 168 小 计



9 3 5 6 4 8 8 6 49

(六)考核方法与要求
1.平时成绩:包括期中考试成绩,出勤、作业成绩、课堂提问、问题探讨(讨论)等。平时成绩 占 30%。 2.试卷成绩:期终考试成绩,占 70%。 3.综合考核成绩: (平时成绩) ? 30%+(期终考试成绩) ? 70%。

(七)教材与主要参考书
使用教材: 《高等代数》第二版,北京大学数学系代数小组编,高等教育出版社,1988。 主要参考书: 1.《高等代数主要概念与定理详析》 ,陈利国主编,中国矿业大学出版社,1992。 2.《高等代数》第三版,张禾瑞、郝鈵新编,高等教育出版社,1983。 3.《高等代数方法选讲》 ,钱世华主编,广西师大出版社,1991。

二、教学内容纲要
第一章 预备知识 一、教学基本要求
1.掌握集合的有关概念(子集、集合的相等、并集、交集、差集) ,会熟练进行集合的并、交、差运 算,会证明集合的相等,掌握并与交的算律。 2.在中学知识的基础上,确切掌握映射与各种特殊映射的概念,能较熟练地运用这些概念进行论证。 3.掌握第一、第二数学归纳法的意义与论证方法。 4.理解“双重和”的意义,了解其写法与性质,并能进行运算。

二、 教学内容
第一节 集合 1.集合的概念 2.子集、集合的相等 3.并集、交集、差集 4.集合运算的基本算律 第二节 数学归纳法 1.最小数原理 2.第一数学归纳法 3.第二数学归纳法 第三节 映射 1.映射的概念 2.△满射、单射和双射 3.映射的合成,可逆映射和映射可逆的充要条件 第四节 连加号

?

(着重双重和)

第二章 一元多项式 一、 教学基本要求
1.理解数域的概念,掌握数域最基本的性质。 2.理解数域上文字 x 的多项式的概念;理解多项式的次数、整除、最大公因式、互素、不可约多项 式、重因式等重要概念,了解这些概念和系数域的扩大与缩小的关系。 3.熟练掌握“整除性” ,互素与不可约多项式的基本性质;理解带余除法的实质,掌握用带余除法求 商式和余式;会求两个多项式的最大公因式并掌握把最大公因式表示成这两个多项式的组合的方法;会用 微商判断多项式有、无重因式;能把多项式的有关概念,性质与整数的有关概念、性质进行比较。 4.理解数域 P 上多项式分解唯一性定理的内容、意义及这一定理在多项式理论中的重要地位。掌握 多项式在复数域和实数域上的标准分解式,掌握多项式的根与系数的关系。 5.理解多项式的函数观点,明确多项式的根、因式与可约性之间的关系,特别要掌握余数定理和因 式定理。 6.理解本原多项式的概念及多项式在有理数域 Q 上的可约性问题, 掌握 Eisenstein 判别法和求整系 数多项式有利根的求法。

二、 教学内容
第一节 数域 1.数域 2.有理数域是最小的数域 第二节 一元多项式

1.△多项式的有关概念 2.多项式的运算与算律 3.多项式和与积的次数 第三节 多项式的整除性 1.△带余除法 2.△整除的定义和基本性质 第四节 最大公因式 1.△最大公因式 2.〇最大公因式的存在性定理及辗转相除法 3.△〇互素的定义和基本性质 4.多个多项式的最大公因式 第五节 因式分解定理 1.△不可约多项式的定义和基本性质 2.〇因式分解唯一性定理 3.利用典型分解式求最大公因式 第六节 重因式 1.多项式的微商、微商法则 2.△重因式的定义 3.△多项式的重因式与其微商的关系 4.△多项式无重因式的充要条件 第七节 多项式函数 1.多项式的值,多项式函数 2.△余数定理 3.△多项式的根、因式定理 4.重根 5.非零多项式的根的最多个数 6.多项式的相等与多项式函数的相等(Lagrange 插值公式) 第八节 复数域和实数域上的多项式 1.代数基本定理 2.△复系数多项式因式分解定理 3.△实系数多项式因式分解定理 第九节 有理系数多项式 1.本原多项式,Gauss 引理 2.整系数多项式在有理数域上的可约性问题 3.△Eisenstein 判别法 4.△有理数域上多项式的有理根

第三章 行列式 一、教学基本要求
1. 掌握排列的奇偶性,逆序数的求法及排列在对换下奇偶性的变化。 2. 了解行列式概念推广的过程, 确切理解 n 阶行列式的定义, 熟练掌握 n 阶行列式的性质及依行依 列展开定理。 3. 掌握计算 n 阶行列式的常用方法:三角化法、递推法、加边法等。 4. 切实掌握 Gramer 法则,不仅要明确其条件、结论,还应理解证明这一法则的思路与论证方法。

二、 教学内容
第一节 排列 1.排列的逆序数,奇排列和偶排列 2.对换对排列的作用 第二节 n 阶行列式的定义和基本性质 1.〇n 阶行列式的定义 2.△n 阶行列式的基本性质 第三节 行列式的展开 1.依一行(列)展开 2.Laplace 展开式 第四节 行列式的计算 1.△行列式的计算 2.〇Vandermonde 行列式 第五节 克兰姆(Gramer)法则 1.〇Gramer 法则 2.△Gramer 法则的应用

第四章 线性方程组 一、 教学基本要求
1. 了解消元法解一般线性方程组的依据,熟练掌握利用矩阵的初等变换求线性方程组的解的方法。 2. 理解 n 维向量的概念,掌握 n 维向量的加法和数乘两种运算和它们的基本性质。 3. 理解 n 维向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、向量组的极大无关组、向量组的秩 等重要概念,掌握它们的常用的重要性质,熟练掌握讨论线性相关性的一般论证方法。 4. 理解矩阵的秩的概念及这一概念的几种等价刻划,熟练掌握用初等变换求矩阵秩的方法。 5. 掌握线性方程组的有解性判别定理及线性方程组的解的结构,熟练掌握求齐次线性方程组的基础 解系的方法。

二、 教学内容
第一节 线性方程组的消元法 1.线性方程组的同解性及线性方程组的初等变换 2.用初等变换(即消元法)解线性方程组 3.矩阵的概念及矩阵的初等变换 4.△用矩阵的初等变换解线性方程组 第二节 n 维向量空间 1.n 维向量的线性运算和基本性质 2.向量的线性组合(线性表示)和向量组的等价 3.△〇向量组的线性相关性 4.△向量组的极大无关组 第三节 矩阵的秩 1.〇矩阵的行秩和列秩 2.〇矩阵的子式和行列式秩 3.△用初等变换求矩阵的秩 第四节 第五节 线性方程组有解的判别定理 线性方程组解的结构 1.△〇线性方程组有解的判别定理

1.△齐次线性方程组的基础解系、齐次线性方程组的解的结构 2.△非齐次线性方程组的解的结构

第五章 矩阵 一、 教学基本要求
1. 熟练掌握矩阵的各种运算,特别要理解矩阵乘法运算的不可交换性,有零因子,不满足消去律等 特点。 2. 掌握矩阵乘积的行列式与因子的行列式、矩阵乘积的秩与因子的秩之间的关系。 3. 切实理解矩阵的等价(即相抵)与等价标准形、可逆矩阵与逆矩阵、初等矩阵等概念,牢固掌握 可逆矩阵的几种常用的等价刻划,熟练掌握求可逆矩阵的逆阵的两种方法。掌握初等矩阵与初等变换之间 的“左行右列”规则。 4. 初步掌握矩阵分块的原则、技巧及运算。

二、 教学内容
第一节 矩阵的概念和运算 1.矩阵的有关概念 2.△矩阵的运算和算律,矩阵的多项式 3.△矩阵的转置及性质 4.对角矩阵,数量矩阵、上(下)三角阵、对称矩阵、反对称矩阵 第二节 矩阵乘积的行列式和秩 1.△矩阵乘积的行列式 2.△〇矩阵乘积的秩 第三节 可逆矩阵 1. △可逆矩阵的定义及简单性质 2. △矩阵的等价及等价标准形 3. △初等矩阵,初等变换与初等矩阵的关系 4. △〇矩阵可逆的充要条件 5. △求逆矩阵的两种方法 6. Gramer 法则的矩阵形式 第四节 矩阵的分块 1.分块矩阵的概念 2.分块矩阵的运算 3.准对角矩阵的概念及有关性质

第六章 二次型 一、 教学基本要求
1. 达到了解二次型的来源,掌握二次型的一般表示,对称写法,矩阵表示,理解二次型的有关概念: 如二次型的矩阵,二次型的秩等。 2. 熟练掌握在数域 P 上化二次型为标准形的方法:配方法和合同变换法。 3. 熟练掌握化复二次型、实二次型为规范形的方法,理解规范形的唯一性,理解实二次型的秩,正、 负惯性指数,符号差等概念;掌握复二次型(复对称矩阵) 、实二次型(实对称矩阵)等价(合同)的充 要条件;初步理解复二次型、实二次型按等价分类(复对称矩阵、实对称矩阵按合同分类)的概念。 4. 理解正定二次型、正定矩阵的概念,掌握判定实二次型(实对称矩阵)正定性的判别方法,特别 是顺序主子式判别法。

二、 教学内容
第一节 二次型的矩阵表示

1.二次型的矩阵及矩阵表示,二次型的秩 2.〇二次型的非退化线性替换与二次型的等价 3.合同矩阵 第二节 二次型的标准形 1.二次型的标准形 2.△数域 P 上任一 n 元二次型都可以经过非退化线性替换变成标准形 △数域 P 上任一 n 阶对称矩阵都合同于一对角阵 3.△配方法化二次型为标准形 4.△初等变换法化二次型为标准形 第三节 复二次型和实二次型的规范形 1.复数域上对称矩阵(二次型)合同(等价)规范标准形(规范形)的存在唯一性 2.△复数域上对称矩阵(二次型)合同(等价)的充要条件 3.△〇实数域上对称矩阵(二次型)合同(等价)规范标准形(规范形)的存在唯一性 4.实数域上对称矩阵(二次型)的惯性指标和符号差 5.△〇实数域上对称矩阵(二次型)合同(等价)的充要条件 第四节 正定二次型 1.正定二次型的定义 2.△〇实二次型为正定二次型的判定条件

第七章 线性空间 一、 教学基本要求
1. 初步了解代数运算的概念。 2. 理解线性空间的概念及有关概念:线性相关、线性无关、维数、基、坐标、子空间、子空间的交 与和、子空间的直和、余子空间等等。 3. 掌握线性空间的简单性质,基变换和坐标变换;已知一个向量在一组基下的坐标,会求它在另一 组基下的坐标。 4. 掌握子空间的判别法,理解生成子空间的概念并掌握生成子空间的集合形式;掌握两个生成子空 间相等的条件,生成子空间的基、维数的求法。 5. 掌握维数公式及其证明方法并能灵活应用;掌握常用的几个子空间直和的判别法。 6. 理解线性空间的同构映射和线性空间同构的概念, 掌握同构映射的基本性质, 理解维数是有限维 线性空间的唯一的数量特征。掌握数域 P 上两个有限维线性空间同构的条件。

二、 教学内容
第一节 第二节 线性空间的定义与简单性质 维数、基与坐标

1. △〇向量组的线性相关性 1) 向量的线性组合(线性表示)及其性质 2) 向量组的线性相关和线性无关的定义及性质 3) 向量组的等价,极大线性无关组 4) *替换定理及其推论 2. △基与维数的定义及性质 3. △基的过渡矩阵及其性质 4. 向量的坐标,坐标变换公式 第三节 线性子空间 1. △子空间的定义和判别条件

2. △子空间的交与和 3. △〇有限维子空间的交与和的维数公式 4. △〇子空间的直和、余子空间,余子空间的存在性 第四节 线性空间的同构 1. 〇同构的定义及简单性质 2. 〇有限维线性空间同构的充要条件

第八章 线性变换 一、 教学基本要求
1. 理解线性变换的概念,掌握线性变换的基本性质。 2. 掌握线性变换的运算, 明确数域 P 上线性空间的线性变换作成的集合关于线性变换的加法和数量 乘法运算作成数域 P 上的一个线性空间。 3. 理解可逆变换的概念,掌握其常用的判别法。 4. 理解线性变换的矩阵的概念和线性变换与矩阵的紧密联系, 掌握利用矩阵计算一个向量在线性变 换之下的象,阐明线性变换在不同基下的矩阵是相似的,而两个相似的矩阵可以看成同一线性变换在某两 个基下的矩阵。 5. 切实理解线性变换的特征值与特征向量的概念和 n 阶方阵的特征多项式, 特征值与特征向量的概 念,切实掌握有限维线性空间中线性变换的特征值、特征向量的求法。掌握 n 阶方阵的特征多项式的结构 定理及哈密顿—凯莱定理。 6. 掌握 n 维线性空间 V 的一个线性变换可对角化的一些充分条件与充要条件, 在满足可对角化时能 将矩阵化成对角形。 7. 理解线性变换的值域、核、秩和零度等概念,掌握以下性质: 1) 值域由基象组线性生成; 2) 值域的维数等于线性变换的秩也等于其矩阵的秩; 3) 有限维线性空间的线性变换的秩与零度之和等于这个线性空间的维数。 4) 有限维线性空间的一个线性变换是映上的(满射)充要条件是这个线性变换是一一的(单射) 。 8. 理解不变子空间的定义, 掌握关于不变子空间的常用的简单事实, 理解线性变换在其不变子空间 上的导出变换的概念,了解线性空间关于一个线性变换分解成不变子空间的直和与这个线性变换的矩阵的 化简之间的关系,初步掌握按线性变换的特征值将空间分解成不变子空间的直和的事实。

二、 教学内容
第一节 线性变换的定义 1. △线性变换的定义 2. 线性变换的简单性质 第二节 线性变换的运算 1. 加法与数量乘法及其算律 2. △〇乘法及其算律,线性变换的多项式 3. 〇可逆线性变换及其逆变换 第三节 线性变换的矩阵 1. △线性变换的矩阵 2. 向量的象的坐标公式 3. △〇线性变换与矩阵的同构对应 4. △〇线性变换在不同基下的矩阵,相似矩阵 第四节 特征值与特征向量 1. △特征值、特征向量和特征多项式的定义和求法

2. △矩阵的秩和行列式与特征值的关系 3. 相似矩阵的特征多项式 第五节 对角矩阵 1. △属于不同特征值的特征向量的线性无关性 2. 〇特征子空间的维数与所属特征值的重数的关系 3. △〇线性变换和矩阵可对角化的条件 第六节 第七节 线性变换的值域与核 不变子空间

1. △不变子空间的定义和简单性质 2. 不变子空间与简化线性变换的矩阵之间的关系

? 矩阵的若当(Jordan)标准形 第九章 欧氏空间 一、 教学基本要求
第八节 1. 理解实数域上线性空间中引入度量概念从而定义欧氏空间概念的梗概, 理解欧氏空间的概念及向 量长度和两个向量的夹角的概念,掌握 Cauchy-Schwarz 不等式。 2. 理解 n 维欧氏空间中基的度量矩阵及由此而确定的欧氏空间的内积, 掌握度量矩阵的性质与不同 基的度量矩阵之间的关系。 3. 理解正交组、标准正交组、正交基、标准正交基等概念,切实掌握 Schimidt 正交化方法,掌握 正交阵的简单性质。 4. 理解欧氏空间同构的概念。 5. 理解正交变换的概念,掌握正交变换的几个等价刻划。 6. 理解子空间正交与正交补的概念,掌握一个子空间的正交补的存在唯一性与其集合形式。 7. 掌握实对称矩阵的特征值、特征向量的特性;理解对称变换的概念;切实掌握求正交阵 T,使实 对称矩阵正交相似于对角阵的方法;掌握用正交线性替换化实二次型为标准形的方法。

二、 教学内容
第一节 欧氏空间的定义与基本性质 1. △内积的定义和简单性质 2. △Cauchy-Schwarz 不等式 3. △向量的长度、夹角、正交、距离 4. 〇度量矩阵 第二节 标准正交基 1. △正交组、标准正交组、正交基、标准正交基 2. 在标准正交基下向量的坐标、内积、长度、距离 3. △〇Schimidt 正交化方法 4. △标准正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质 第三节 欧氏空间的同构 1. 同构的定义和简单性质 2. 有限维欧氏空间同构的充要条件 第四节 正交变换 1. △正交变换的定义 2. △〇正交变换的等价条件(保持向量的长度不变、把标准正交基变成标准正交基、在标准正交基 下的矩阵为正交阵) 3. 正交变换的类型

4. ? 二维和三维欧氏空间的正交变换的类型 第五节 子空间的正交 1. 子空间的正交、正交子空间的和 2. △〇正交补,正交补的存在唯一性 第六节 对称变换 1. 实对称矩阵 1) 实对称矩阵的性质 2) △实对称矩阵的正交相似对角化 2. 对称变换 1) 对称变换的定义 2) △对称变换的性质 3) ? 对称变换的相似对角化 4) △正交线性替换、用正交线性替换化实二次型为标准形 说明:大纲中教学内容带“△”号的为重点,带“〇”号的为难点,带“△〇”号的既是重点又是 难点。 制 订 者:代数学教研室 执 笔 人:蒋永泉 制定日期: 审 年 月 核:数学科学学院教学委员会


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