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高二数学复习讲义一


高二数学复习讲义

高二数学复习讲义(1) ——《常用逻辑用语》
<知识点>
1. 四种命题, (原命题、否命题、逆命题、逆否命题) (1)四种命题的关系,

(2)等价关系(互为逆否命题的等价性) (a)原命题与其逆否命题同真、同假。 (b)否命题与逆命题同真、同假。 2. 充分条件、必要条件、充要条件 (1)定义:若 p 成立,则 q 成立,即 p ? q 时,p 是 q 的充分条件。同时 q 是 p 的必 要条件。 若 p 成立,则 q 成立,且 q 成立,则 p 成立 ,即 p ? q 且 q ? p ,则 p 与 q 互为充 要条件。 (2)判断方法: (i)定义法, (ii)集合法:设使 p 成立的条件组成的集合是 A,使 q 成立的条件组成的集合为 B, 若 A ? B 则 p 是 q 的充分条件。同时 q 是 p 的必要条件。 若 A=B,则 p 与 q 互为充要条件。 (iii)命题法:假设命题: “若 p 则 q”。当原命题为真时,p 是 q 的充分条件。 当其逆命题也为真时,p 与 q 互为充要条件。 注意:充分条件与充分非必要条件的区别: 用集合法判断看,前者:集合 A 是集合 B 的子集;后者:集合 A 是集合 B 的真子集。 3. 全称命题、特称命题(含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称 命题) (1)关系:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 (2)全称量词与存在量词的否定。 关键词 都是 否定词 不都是 关键词 至 少 一 个 否定词 一 个 都 没有 关键词 至 多 一 个 否定词 至 少 两 个 关键词 属于 否定词 不属于

4. 逻辑连结词“或”“且”“非” , , 。 (1)构造复合命题的方式:简单命题+逻辑连结词(或、且、非)+简单命题。 (2)复合命题的真假判断: p 真 q 真 非p 假 p或q 真 p且q 真

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高二数学复习讲义

真 假 假

假 真 假

假 真 真

真 真 假

假 假 假

注意: “命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念:前者只否定结论,后者结论与 条件共同否定。

<练习题>
一、填空题 1.命题:“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是________. ? ?x1+x2>6, ?x1>3 2.? ,是? 成立的________条件. ?x2>3 ? ?x1x2>9 3.命题“若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1”的逆否命题是________. 4.下列四个命题中,是真命题的序号是________. ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的否命题;②“若 a>b,则 a2>b2” 的逆否命题;③“若 x≤-3,则 x2-x-6>0”的否命题;④“对顶角相等”的 逆命题. 5.下列命题是真命题的是________(填序号). ①?x∈R,x2+x+1<0;②?x∈R,x2+x+1>0;③?x∈Z,x2=2;④?x ∈R,x2=2. 6.设 M、N 是两个集合,则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的________条件. 7.“p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题”的________条件. 8.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若 p是 q 的充分条件, 则实数 a 的取值范围是________. 9.命题“偶数能被 2 整除”的否定形式是________. 10.下列命题中,假命题是________. ①?α、β∈R,使 sin(α-β)=sin α-sin β; ②?a、b∈R,方程 ax+b=0 恰有一个解; x+y ③?x、y∈R, 2 ≥ xy; ④点(3,4)不在圆 x2+y2-2x+4y+3=0 上. 11.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,那么实数 m 的取值范围是____________. 12.给出下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若 b≤-1,则 x2-2bx+b2+b=0 有实数根”的逆否命题; ④若 sinα+cosα>1,则 α 必定是锐角. 其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 13. 已知命题 p: “?x∈[0,1], a≥ex”, 命题 q: “?x∈R, 2+4x+a=0”, x 若上述两个命题都是真命题,则实数 a 的取值范围为________. x2-ax+2 14. 已知“关于 x 的不等式 2 <3 对于?x∈R 恒成立”的充要条件是 x -x+1 “a∈(a1,a2)”,则 a1+a2=________.

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二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 把下列各命题作为原命题, 分别写出它们的逆命题、 否命题和逆否命题. (1)若 α=β,则 sinα=sinβ; (2)若对角线相等,则梯形为等腰梯形; (3)已知 a,b,c,d 都是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.

16.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)正方形都是菱形; (2)?x∈R,使 4x -3>x; (3)?x∈R,有 x+1=2x; (4)集合 A 是集合 A∩B 或集合 A∪B 的子集.

17.命题甲:a∈R,关于 x 的方程|x|=ax+1(a>0)有两个非零实数解,命题 乙:a∈R,关于 x 的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0 的解集为空集.当甲、乙中 有且仅有一个为真命题时,求实数 a 的取值范围.

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18.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分 不必要条件是 a≥2 且|b|≤4.

19. (1)设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M 或 x∈P”是“x∈ (M∩P)”的什么条件? (2)求使不等式 4mx2-2mx-1<0 恒成立的充要条件.

20.设命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0(a<0);命题 q:实数 x 满足 x2-x -6≤0 或 x2+2x-8>0.且 p是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

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参考答案
一.填空题 1.答案:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0 ?x1+x2>6 ?x1=8 ? ? 2.解析:由? ,可知,当? ? ? ?x1·x2>9 ?x2=2
?x1>3, ? ? ?x2>3,

,时,不等式组成立,但不满足?



以必要性不成立. 答案:充分不必要 2 3.解析:命题的条件为“x ≥1”,结果为“x≥1 或 x≤-1”,否定结果作条件,否定条件 2 作结果,即为其逆否命题. 答案:若-1<x<1,则 x <1 2 2 4.解析:①“若 x+y≠0,则 x,y 不互为相反数”是真命题;②“若 a ≤b ,则 a≤b”, 2 2 2 取 a=1,b=-5,因此 a ≤b ,但 a>b,故②是假命题;③“若 x>-3,则 x -x-6≤0”, 2 解不等式 x -x-6≤0 可得-2≤x≤3,而 x=4>-3 不是不等式的解,故是假命题;④“相 等的角是对顶角”是假命题. 答案:① 5.答案:②④ 6.解析:由 Venn 图易知“M∪N≠?” “M∩N≠?”,而“M∩N≠?”?“M∪N≠?”. 答案:必要不充分 7.解析:“p 且 q”为真?p 真且 q 真?“p 或 q”为真,反之不成立. 答案:必要不充分 8.解析:p:-4<x-a<4?a-4<x<a+4,q:(x-2)(3-x)>0?2<x<3.又 p 是 q 的充 分条件,即

p?

?a-4≤2, ? q,它的等价命题是 q?p,所以? ? ?a+4≥3,

解得-1≤a≤6.

答案:-1≤a≤6 9.答案:存在一个偶数不能被 2 整除 10.答案:②③ 11.解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,即 m≥3.又因为 p(2)是真命题,所以 4+ 4-m>0,即 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 答案:3≤m<8 12.解析:①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”, 是真命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似, 则周长不相等”, 显然是假 命题; 2 2 2 2 ③∵b≤-1,∴Δ =4b -4(b +b)=-4b≥4>0,∴“若 b≤-1,则 x -2bx+b +b=0 有 实数根”为真命题,∴其逆否命题也是真命题; 7π ④∵当 α = 时,sinα +cosα >1 成立,∴此命题是假命题. 3 答案:①③ x 2 2 13.解析:由?x∈[0,1],a≥e ,得 a≥e;由?x∈R,x +4x+a=0,得 Δ =4 -4a≥0, 解得 a≤4,从而 a 的取值范围为[e,4]. 答案:[e,4] 2 2 2 2 14.解析:∵x -x+1>0,∴原不等式化为 x -ax+2<3x -3x+3,即 2x +(a-3)x+1>0. 2 ∵?x∈R 时,2x +(a-3)x+1>0 恒成立, 2 ∴Δ =(a-3) -8<0. ∴3-2 2<a<3+2 2, ∴a1+a2=6. 答案:6 二.解答题 15.解:(1)逆命题:若 sinα =sinβ ,则 α =β ; 否命题:若 α ≠β ,则 sinα ≠sinβ ; 逆否命题:若 sinα ≠sinβ ,则 α ≠β .

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(2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等; 否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形; 逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则它的对角线不相等. (3)逆命题:已知 a,b,c,d 都是实数,若 a+c=b+d,则 a=b,c=d; 否命题:已知 a,b,c,d 都是实数,若 a≠b 或 c≠d,则 a+c≠b+d; 逆否命题:已知 a,b,c,d 都是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d. 16.解:(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题. (2)命题的否定:?x∈R,有 4x-3≤x.因为当 x=2 时,4×2-3=5>2,所以“?x∈R,有 4x-3≤x”是假命题. (3)命题的否定:?x∈R,使 x+1≠2x.因为当 x=2 时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“?x ∈R,使 x+1≠2x”是真命题. (4)命题的否定:集合 A 既不是集合 A∩B 的子集也不是集合 A∪B 的子集,是假命题. 17.解:当甲为真时,设 y=|x|和 y=ax+1(a>0),即两函数图象有两个交点,则 0<a<1; 2 ? ?a -1<0 7 当乙为真时,a=1 或? ,则- ≤a≤1, 9 ?Δ ≤0 ?

?0<a<1 ? ∴当甲、乙中有且仅有一个为真命题时,有? 7 ?a>1或a<-9 ?
7 ∴a∈[- ,0]∪{1}. 9 18.证明:先证明条件的充分性: ∵?
?a≥2 ? ? ?b≤4
2

?a≥1或a≤0 ? 或? 7 ?-9≤a≤1 ?



?a ≥4≥b,

2

∴Δ =4(a -b)≥0,∴方程有实数根.① ? ? ?a≥2 ?-2a≤-4, ∵? ?? ? ? ?b≥-4 ?b≥-4. ∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4≤-4-4=-8<0. 而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8>0,
?? x1-2? +? x2-2? <0 ?x1-2<0 ?x1<2, ? ? ? ∴? ?? ?? ② ? ? ? ?? x1-2? ? x2-2? >0 ?x2-2<0 ?x2<2. 2 由①②,知“a≥2,且|b|≤4”?“方程 x +2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2”. 再验证条件的不必要性: 1 2 ∵方程 x -x=0 的两根为 x1=0,x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- <2, 2 2 ∴“方程 x +2ax+b=0 的两根小于 2” “a≥2 且|b|≤4”. 2 综上,a≥2 且|b|≤4 是方程 x +2ax+b =0 有实数根且两根均小于 2 的充分不必要条件. 19.解:(1)x∈M 或 x∈P?x∈R,x∈(M∩P)?x∈(2,3),因为 x∈M 或 x∈P x∈(M∩P), 但 x∈(M∩P)?x∈M 或 x∈P.故“x∈M 或 x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件. ? ?4m<0, 2 (2)当 m≠0 时,不等式 4mx -2mx-1<0 恒成立?? ?-4<m<0.又当 m= 2 ?Δ =4m +16m<0, ? 2 2 0 时,不等式 4mx -2mx-1<0,对 x∈R 恒成立.故使不等式 4mx -2mx-1<0 恒成立的充要 条件是-4<m≤0. 20.解:命题 p:3a<x<a;命题 q:x<-4 或 x≥-2. ∵ p? q, ∴p?q,由数轴可知 a≤-4 或 3a≥-2, 2 即 a≤-4 或 a≥- . 3

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2 ? 2 ? 又∵a<0,∴a≤-4 或- ≤a<0,即 a 的取值范围是(-∞,-4]∪?- ,0?. 3 ? 3 ?

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