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2015高考理科数学《绝对值不等式》练习题


2015 高考理科数学《绝对值不等式》练习题
一、选择题 1.函数 y=|x-4|+|x-6|的最小值为( A.2 C.4 B. 2 D.6 )

解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2. 答案:A 2.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( A.5 C.8 B.4 D.7 )

解析: 由题易得, |x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5, 即|x-2y+1|的最大值为 5 . 答案:A 3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1 ]∪[4,+∞) C.(-∞,-4]∪[1,+∞) 解析:∵|x+3|-|x-1|≤4, ∴a2-3a≥4, 即 a2-3a-4≥0. 解得 a≤-1 或 a≥4. 答案:A 4.已知命题 p:?x∈R,|x+2|+|x-1|≥m,命题 q:?x∈R,x2-2mx+m2+m-3=0,那么, “命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 ) B.(-∞,-1)∪(4,+ ∞) D.(-∞,-1)∪[4,+∞) )

B.必要不充分条 件 D.既不充分也不必要条件

解析:由绝对值不等式的几何性质可知,?x∈R,|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,故 若命题 p 为真命题, 则 m≤3; 当命题 q 为真命题时, 方程 x2-2mx+m2+m-3=0 有根, 则 Δ =(-2m)2 -4(m2+m-3)=12-4m≥0, 解得 m≤3; 所以“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的充要条件. 答案:A
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5. 当|a|≤1, |x|≤1 时, 关于 x 的不等式|x -ax-a |≤m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( ?3 ? A.? ,+∞? 4 ? ? ?3 ? C.? ,+∞? 2 ? ? ?5 ? B.? ,+∞? 4 ? ? ?5 ? D.? ,+∞? 2 ? ?

2

2

)

解析:|x2-ax-a2|= |-x2+ax+a2|≤|-x2+ax|+|a2|= |-x2+ax|+a2,当且仅当-x2 +ax

a? ? 与 a2 同号时取等号. 故当-x2+ax≥ 0 时, 有|x2-ax-a2|=|-x 2+ax|+a2=-x2+ax+a2=-?x- ? 2? ?
2

5 a 5 1 1 + a2,当 x= 时,有最大值 a2.而|a|≤1,|x|≤1,所以当 a=1,x= 或 a=-1,x=- 时,|x2 4 2 4 2 2

5 ?5 ? -ax-a2|有最大值,且|x2-ax-a2|max= ,故 m 的取值范围是? ,+∞?. 4 ?4 ? 答案:B 6.(2014 年潍坊模拟)不等式|x -2|-|x-1|>0 的解集为( 3? ? A.?-∞, ? 2? ? ?3 ? C.? ,+∞? ?2 ? 3? ? B.?-∞,- ? 2? ? ? 3 ? D.?- ,+∞? ? 2 ? )

3 解析:原不等式等价于|x-2|>|x-1|,则(x-2)2>(x-1)2,解得 x< . 2 答案:A 二、填空题 7.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________. 解析:解法一 分类讨论去绝对值号解不等式. 1 3 1 1 当 x> 时,原不等式转化为 4x≤6?x≤ ;当- ≤x≤ 时,原不等式转化为 2≤6,恒成立;当 2 2 2 2

x<- 时,原不等式转化为-4x≤6?x≥- .由上综合知,原不等式的解集为?x?- ≤x≤
解法二 利用几何意义求解.

1 2

3 2

? ? 3 ? ? 2

3 2

? ?. ?

1? ? 1? 1 1 ? 原不等式可化为?x- ?+?x+ ?≤3,其几何意义为数轴上到 ,- 两点的距离之和不超过 3 的 2? ? 2? 2 2 ? 3 3 1 1 3 3 点的集合, 数形结合知, 当 x= 或 x=- 时, 到 , - 两点的距离之和恰好为 3, 故当- ≤x≤ 时, 2 2 2 2 2 2
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? ? 3 3 满足题意,则原不等式的解集为?x?- ≤x≤ 2 ? ? 2 ? ? 3 3 答案:?x?- ≤x≤ 2 ? ? 2 ? ? ?

? ?. ?

8.(2013 年高考江西卷)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为___ _____. 解析:依题意得-1≤|x-2|-1≤1,即|x-2|≤2,解得 0≤x≤4. 答案:[0,4] 9.(2013 年高考重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围 是________. 解析:∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8. 答案:(-∞,8] 三、解答题 10.(2014 年大理一模)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集. 解析:(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=

x≤2, ?-3, ?2x-7, 2<x<5, ?3, x≥5.
当 2< x<5 时,-3<2x-7<3. 所以-3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5≤x≤6} . 综上,不等式

f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}.
11.已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|.
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(1)作出函数 y=f(x)的图象;

(2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

x≤4, ?4, 解析:(1)f(x)=?-2x+12, 4<x≤8, ?-4, x>8,
图象如下:

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即 f(x)>2. 由-2 x+12=2,得 x=5. 由函数 f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5). 12.(能力提升)(2014 年昆明高三调研)已知函数 f(x)=|x+3|+|x-a|(a>0). (1)当 a=4 时,已知 f(x)=7,求 x 的取值范围; (2)若 f(x)≥6 的解集为{x|x≤-4 或 x≥2},求 a 的值. 解析 :(1)当 a=4 时,f(x)=|x+3|+|x-4|≥|x+3-x+4|=7,当且仅当(x+3)(x- 4)≤0 时等号成立. 所以 f(x)=7 时,-3≤x≤4,故 x∈[-3,4].

?a-3-2x x≤- -3<x<a (2)由题意知 f(x)=?a+ ?2x+3-a x≥a



当 a+3≥6 时,不等式 f(x)≥6 的解集为 R ,不符合题意;
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?x≤-3 当 a+3<6 时,不等式 f(x)≥6 的解为? ?a-3-2x≥6

?x≥a 或? ?2x+3-a≥6

?x≤-3 即? a-9 x≤ 2 ?



?x≥a ?x≥a+3 2 ?

.

又 f(x)≥6 的解集为{x|x≤-4 或 x≥2},所以 a=1.

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