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甘肃省兰州一中2012届高三12月月考数学(文)试题(1)


本试卷分第 I 卷 和第Ⅱ卷(非选 分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

(选择题) 择题)两 部

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡相应位置上. ........
[来源:Z_xx_k.Com]

1.设集合 A={(x,y)|

A.4

x2 y 2 x ? ? 1 },B={(x,y)|y=3 },则 A∩B 的子集的个数是 4 16 ( ) B.3 C.2 D.1

2 . 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 S9 ? 81 , 则 a2 ? a5 ? a8 ? ( ) B.27

A.26

C.28

D.29

3.已知圆 O 的半径为 R ,若 A, B 是其圆周上的两个三等分点,则 OA? AB 的值等于 ( A. )

3 2 R 2

B. ?

1 2 R 2

C. ?

3 2 R 2

D. ?

3 2 R 2

4 . 经过 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 的 圆 心 ,且 与向量 a ? (?3 , 4) 垂 直的 直 线的 方程 是 ( A. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 5.已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? 2b ? 1 ,则 A. 2 2 ? 1 B. 4 2 ) B. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 2 ? 0

1 1 ? 的最小值是 a b
C. 6





D. 3 ? 2 2

2 6.设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如

果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ? A. 4 3 B.16



) D.8

C. 8 3

1

7 . 等 比 数 列 ?an ? 中 , 已 知 对 任 意 正 整 数 n , a1 ? a2 ? a3 ??? ?an ? 2n ?1 则

a12 ? a22 ? a32 ??? ?an2 ?
A. (2n ?1)2 B. (2 ? 1)
n





1 n n D. 4 ? 1 3 ? 2? ] 上,函数值 8 .已知 y ? A sin(?x ? ? ) 的最大值为 1 ,在区间 [ , 6 3
C. (4 ? 1) 从 1 减小到 ? 1 , 函数图象 (如图 1) y 轴的交点 P 坐标是 ( 与 )

1 3

A. (0 ,

3 ) 2
1 ) 2

B. (0 ,

2 ) 2

C. (0 ,

D.以上都不是

9.如图,目标函数 P ? ax ? y 仅在封闭区域 OACB 内(包括边界)的点 C( , ) 处取得最 大值,则 a 的取值范围是( )

2 4 3 5

10 5 ,? ) 3 12 3 12 C. ( , ) 10 5
A. ( ?

12 3 ,? ) 5 10 3 5 D. ( , ) 10 12
B. ( ?

10.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足

PF1 : F1 F2 : PF2 = 4 : 3 : 2 ,则曲线 C 的离心率等于(
A. 或2



[来源:学科网 ZXXK]

2 3

B. 或

1 2

3 2

C. 或2

1 2

D. 或

2 3

3 2

3 11.设 f ( x) ? x ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1) ,则对任意实数 a, b, a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的
B.充分而非必要条件 D.既非充分也非必要条件

( ) A.充分必要条件 C.必要而非充分条件
2 2

12.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
A. ?





? ? 7? ? , ?12 12 ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C. ?

? 5? 5? ? , ? 12 6 ? ?

D. ? 0,

? ? ? ? 12 ? ?

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 置上. 13.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家.为掌握各类超市的营业 情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型 超市__________家. 14.若双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1相切,则此双曲线的 2 a b


渐近线方程为 15.有下列命题:

①函数 y= 4 cos 2 x , x ? [?10? ,10? ] 不是周期函数; ②函数 y=4cos 2x 的图象可由 y=4sin 2x 的图象向右平移 ③函数 y=4cos(2x+θ)的图象关于点 (

?
6

? 个单位得到; 4

,0) 对称的一个必要不充分条件是

?? ??

k 2

?
6

( k ? ?) ;

④若点 P 分有向线段 P P2 的比为 ? ,且 PP2 ? 3 P2 P ,则 ? 的值为 ? 4 或 4. 1 1 其中正确命题的序号是________.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

???? ?

????

16.已知函数 f ( x) ? x ? 2 ,若 a ? 0 ,且 a, b ? R ,都有不等式

a ? b ? a ? b ? a f ( x) 成立,则实数 x 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

18. (本小题满分 12 分) 要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试,只有听力成绩合格 时,才可继续参加笔试的考试.已知听力和笔试各只允许有一次补考机会,两项成绩均 合格方可获得证书.现某同学参加这项证书考试,根据以往模拟情况,听力考试成绩每 次合格的概率均为

2 1 ,笔试考试成绩每次合格的概率均为 ,假设各次考试成绩合格 3 2

与否均互不影响. (1)求 他不需要补考就可获得证书的概率;

3

(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率; (3)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? , 求参加考试次数 ? 恰好为 3 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 内一定点 A(1,?2) , P, Q 为圆上的两不同动点. (1)若 P, Q 两点关于过定点 A 的直线 l 对称,求直线 l 的方程; (2)若圆 O2 的圆心 O2 与点 A 关于直线 x ? 3 y ? 0 对称,圆 O2 与圆 O1 交于 M , N 两 点,且 MN ? 2 2 ,求圆 O2 的方程. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且满足 a n ? 2 S n ? S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? (1)求证: ?
[来源:学§科§网]

1 . 2

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

(2)求 an 的表达式; (3)若 bn ? ?2an (n ? 2) , 求证: b2 ? b3 ? ?? bn ? 1 . 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切 线方程为
3 2

y ? 3x ? 1 .
(1)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f (x) 在 [?3,1] 上的最大值; (3)若函数 y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增,求实数 b 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点,焦点在 x 轴上,且椭圆 P 经过 点 A(0, 2 3) ,离心率为

1 . 2 ??? ??? ? ? 16 .若 7

(1)求椭圆 P 的方程; (2)是否存在过点 E (0,?4) 的直线 l 交椭圆 P 于点 R和T ,且满足 OR ? OT ?

4

存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

参考答案

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.

5

18. (本小题满分 12 分) 解:设“听力第一次考试合格”为事件 A ,“听力补考合格”为事件 A2 ;“笔试第一次考试 1 合格”为事件 B1 “笔试补考合格”为事件 B2 . ---------------1 分

(1)不需要补考就获得证书的事件为 A1· 1,注意到 A1 与 B1 相互独立, B 则 P ( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3 1 .----------------4 分 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(2)恰好补考一次的事件是 A A2 B1 ? A B1B2 1 1 则 P( A A2 B1 ? A B1B2 )=P ( A A2 B1 ) + P( A1 B1 B2 ) 1 1 1 =
[来源:学科网 ZXXK]

1 2 1 2 1 1 15 5 ? ? ? ? ? = = 3 3 2 3 2 2 54 18

------------8 分

(3) P(? ? 3) ? P( A ? 1 ? 2 ) ? P( A ? 1 ? 2 ) ? P( A ?A2 ? 2 ) B 1 B B 1 B B 1

?

2 1 1 2 1 1 1 2 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 3 2 2 3 3 2 9

----------------12 分

6

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:??an ? 2Sn ? Sn ?1, ??Sn ? Sn ?1 ? 2Sn Sn ?1 (n ? 2), Sn ? 0 (n ? 1,2,3? )
?

-----------1 分

1 1 1 1 ? ?2 ? ?2 又 S1 a1 S n S n ?1

?{

1 是以 2 为首项, 为公差的等差数列---------------4 2 } Sn
? Sn ? 1 2n

分 (2)由(1)得 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n Sn

当 n≥2 时, an ? S n ? S n?1 ? 1 ? 1 ? ? 1 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1) 当 n=1 时, S1 ? a1 ?
?1 ? 2 (n ? 1) ? ? an ? ? (n ? 2) 1 ?? ? 2n(n ? 1) ?

1 2
---------------8 分

(3)由上知, bn ? ?2an ? ?2[?

1 1 1 1 ? ? ---------------10 分 ]? n ?1 n 2n(n ? 1) n(n ? 1)

7

1 1 1 1 1 1 b2+b3+…+bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1 ? ? 1. n 2 2 3 n ?1 n

---------------12 分

(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2).

2 当 ? 3 ? x ? ?2时, f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 时, f ?( x) ? 0; 3
2 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 极大 ? f (?2) ? 13 . 3

又 f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上最大值是 13. (3) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b,
2

--------------8 分

由①知 2a+b=0.
2

依题意 f ?(x) 在[-2,1]上恒有 f ?(x) ≥0,即 3x ? bx ? b ? 0.

b ? 1时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0,? b ? 6 ; 6 b ②当 x ? ? ?2时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0,? b ? ? ; 6
①当 x ?

6 12b ? b 2 ?( x) min ? ? 0, 则0 ? b ? 6. ③当 ? 2 ? ? 1时, f b 12
综上所述,参数 b 的取值范围是 [0,??) . -------------- 12 分

8

(2)假设存在满足题意的直线 l,易知当直线的斜率不存在时, OR ? OT ? 0 不满足题 意. 故设直线 l 的斜率为 k , R(x1 , y1 ), T(x2 , y2 ) .

??? ??? ? ?

??? ??? 16 ? ? 16 ? OR ? OT ? , ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 7 7

? y ? kx ? 4 ? 由? x 2 y 2 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 16 ? 0. ?1 ? ? ?16 12
1 由? >0得,(-32k ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ?16 ? 0解得k 2 ? . ①. 4 32k 16 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . --------------8 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

? y1 ? y2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? k 2 x1x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ?16.
故x1 x2 ? y1 y2 ?
由 ① 、

16 16k 2 128k 2 16 ? ? ? 16 ? . 解得k 2 ? 1. ②. 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 7
② 解 得

k ? ?1.

?直线 l 的方程为 = y ?

4x ? .

故存在直线 l : x? y? 4? 或 x ? y ? 4 ? 满足题意 --------------12 分 0 0 .

9


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