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2018届上海市虹口区高考数学一模


上海市虹口区 2018 届高三一模数学试卷
2017.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 函数 f ( x) ? lg(2 ? x) 的定义域是 2. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (?1) ? f (0) ? f (1) ?

1 的等比数列 {an } , Sn 是它的前 n 项和,则 lim Sn ? n?? 2 4. 在 ?ABC 中,?A 、?B 、?C 所对边分别是 a 、b 、c ,若 a : b: c ?2:3:4
3. 首项和公比均为 5. 已知复数 z ? a ? bi ( a, b ? R )满足 | z |? 1 ,则 a ? b 的范围是

,则 cos C ?

6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则 该生的可能选法总数是 7. 已知 M 、 N 是三棱锥 P ? ABC 的棱 AB 、 PC 的中点,记三棱锥 P ? ABC 的体积为 V1 , 三棱锥 N ? MBC 的体积为 V2 ,则 8. 在平面直角坐标系中,双曲线 双曲线的两条渐近线的方程为 9. 已知 y ? sin x 和 y ? cos x 的图像的连续的三个交点 A 、 B 、 C 构成三角形 ?ABC ,则

V2 等于 V1

x2 ? y 2 ? 1 的一个顶点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则 2 a

?ABC 的面积等于

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过焦点 F1 的直线交椭圆于 M 、 N 两 4 3 点,若 ?MNF2 的内切圆的面积为 ? ,则 S?MNF2 ?
10. 设椭圆
* AC 上,且满足 11. 在 ?ABC 中, D 是 BC 的中点,点列 P n ( n ? N )在线段

???? ???? ???? ? ,若 a1 ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式 an ? P A ? a ? P B ? a P D n n?1 n n n
12. 设 f ( x) ? x2 ? 2a ? x ? b ? 2x ,其中 a, b ? N , x ? R ,如果函数 y ? f ( x) 与函数

y ? f ( f ( x)) 都有零点且它们的零点完全相同,则 ( a, b) 为

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 异面直线 a 和 b 所成的角为 ? ,则 ? 的范围是( A. (0, ) )

?

2

B. (0, ? )

C. (0, ]

?

2

D. (0, ? ]

14. 命题:“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为( A. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 C. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 且 x ? ?1



B. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 D. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 且 x ? ?1 )

? 2x x?0 15. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2017) ? ( ? f ( x ? 2) x ? 0 2017 3025 A. 2017 B. 1513 C. D. 2 2
16. 已知 Rt ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 4 , AC ? 6 ,在三角形 所在的平面内有两个动点 M 和 N ,满足 | AM |? 2 , MN ? NC , 则 | BN | 的取值范围是( A. [3 2, 34] C. [2 5,4 2]

???? ?

???? ?

????

????

) B. [4,6] D. [

2 2 63 ? 12 2 , 63 ? 12 2 ] 3 3

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC ? PC ? AB ? a , PA ? AB , AC ? AB , M 为 AC 的中点. (1)求证: PM ? 平面 ABC ; (2)求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.

18. 已知函数 f ( x ) ? 3 cos( 小正周期等于 ? .

?
2

? ? x) ? cos(2? ? ? x) ,其中 x ? R , ? ? 0 ,且此函数的最

(1)求 ? 的值,并写出此函数的单调递增区间; (2)求此函数在 x ? [0,

? ] 的最大值和最小值. 2

19. 如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为 2 km ,宽为 1 km 的矩形,矩形 两边 AB 、 AD 紧靠两条互相垂直的路上,现要过点 C 修一条直线的路 l ,这条路不能穿过 古建筑群,且与另两条路交于点 P 和 Q . (1)设 AQ ? x ( km ) ,将 ?APQ 的面积 S 表示为 x 的函数; (2)求 ?APQ 的面积 S ( km )的最小值.

20. 已知平面内的定点 F 到定直线 l 的距离等于 p ( p ? 0 ) ,动圆 M 过点 F 且与直线 l 相 切,记圆心 M 的轨迹为曲线 C ,在曲线 C 上任取一点 A ,过 A 作 l 的垂线,垂足为 E . (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)记点 A 到直线 l 的距离为 d ,且

3p 4p ?d ? ,求 ?EAF 的取值范围; 4 3

(3)判断 ?EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.

21. 已知无穷数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn , a1 ? 4 .
2 (1)如果 a2 ? 2 ,且对于一切正整数 n ,均有 an ? an?2 ? an ?1 ,求 Sn ;

(2)如果对于一切正整数 n ,均有 an ? an?1 ? Sn ,求 Sn ; (3)如果对于一切正整数 n ,均有 an ? an?1 ? 3Sn ,证明: a3n?1 能被 8 整除.

参考答案
一. 填空题 1. (??,2) 6. 18 7. 2. 0 3. 1 8. y ? ? 4. ?

1 4

5. [ ? , ]

1 1 2 2

1 4

x 3

9.

2?

10. 4

n ?1 11. ( ? )

1 2

12. (0,0) 或 (1,0)

二. 选择题 13. C 三. 解答题 17.(1)略; (2) arcsin 14. C 15. D 16. B

6 . 4

18.(1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) , ? ? 2 , [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ] , k ? Z ;

(2)最大值为 2,最小值 ?1 . 19.(1) S ?

x2 ( x ? 1) ; (2) x ? 2 时, Smin ? 4 . x ?1
1 4 1 3

20.(1) y 2 ? 2 px ; (2) [arccos , ? ? arccos ] ; (3)一个交点. 21.(1) q ?

1 1 , S n ? 8(1 ? n ) , n ? N* ; 2 2

(2)当 n 为偶数, S n ?

n 2 ? 8n n 2 ? 8n ? 7 ,当 n 为奇数, S n ? ; (3)数学归纳法,略. 4 4


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