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一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式(精华版)


一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式
(使用 MathType5.2 软件公式编辑器编辑的精华版)

一元三次方程的解法的历史

人类很早就掌握了一元二次方程的解法,但是对一元三次方程的研究,则是进展缓慢。 古代中国、希腊和印度等地的数学家,都曾努力研究过一元三次方程,但是他们所发明的几 种解法,都仅仅能够解决特殊形式的三次方程,对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲,随着数学的发展,一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数 学文献上,把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”,这显然是为了纪念世界上第一位 发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么,一元三次方程的通式解,是不 是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人,是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯 洛·冯塔纳(Niccolo Fontana)。冯塔纳出身贫寒,少年丧父,家中也没有条件供他念书, 但是他通过艰苦的努力,终于自学成才,成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯 塔纳患有“口吃”症,所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia), 也就是意 大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中,都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究,冯塔纳利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的 求根方法。这个成就,使他在几次公开的数学较量中大获全胜,从此名扬欧洲。但是冯塔纳 不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺,对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳 地登门请教,希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶,滴水不漏。虽然卡尔 丹诺屡次受挫,但他极为执着,软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来,冯塔纳终于用一种 隐晦得如同咒语般的语言,把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺 很难破解他的“咒语”,可是卡尔丹诺的悟性太棒了,他通过解三次方程的对比实践,很快 就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式,写进了自己的学术著作《大法》中,但并未提 到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行,人们才了解到三次方程的一般求解方法。 由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺, 因此后人就把这种求解方法称为 “卡 尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果,并且据为已有,这一行为在人类数学史上留下了不甚光 彩的一页。这个结果,对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是,冯塔纳坚持不公 开他的研究成果,也不能算是正确的做法,起码对于人类科学发展而言,是一种不负责任的 态度。 ——资料来源:http://www.diylsoft.com/forum/dispbbs.asp?BoardID=10&id=4262

1

一元三次方程的卡尔丹公式
卡尔丹公式简介
1545 年,意大利学者卡尔丹(Cardano,1501—1576,有的资料译为“卡尔达诺” ) 发表了三次方程 X^3+pX+q=0 的求根公式,卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的 数学家,并由此引进了虚数的概念,后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论 。 有历史资料记载:卡尔丹从塔尔达利亚那里骗得三次方程 X^3+pX+q=0 的求根公式 而发表,并由此两人结仇,最终卡尔丹派人秘密刺杀了塔尔达利亚。

数学史上一大冤案
中世纪的意大利, 盛行在街头打数学擂台, 数学斗士们各向对手交一批数量不等的难题, 谁先作出正确的解答,谁就是优胜者。 尼古拉·塔尔达利亚便是其中的佼佼者,享有“不可战胜者”盛誉。一次,大富豪费奥 里向一位教师要到了三次方程的秘密解法,向塔提出挑战,塔尔达利亚为赢得这次胜利,闭 门谢客,苦苦琢磨,终于找到了三次方程的新解法,并在随后的比赛中又一次轻取桂冠。 这时,一个名叫卡尔丹诺的科学骗子找到塔尔达利亚,狂妄地自称他有四万项发明,只 有三次方程式才是他唯一的不解之迷,并为此痛不欲生。在卡尔丹诺甜言蜜语的哄骗下,诚 实而善良的塔尔达利亚便毫无保留地将自己的新发现告诉了他。 几天后,卡尔丹诺发表了一篇论文阐述三次方程式新解法,大言不惭地宣称,这是他的 最新发现。塔尔达利亚被激怒了,他向卡尔丹诺提出挑战,并把骗子派来的数学高手击得惨 败。然而,在一个没有星光的夜晚,塔尔达利亚被骗子收买的亡命之徒秘密刺杀了。 塔尔达利亚消逝了,他对三次方程式新解法的卓越贡献也被一笔抹煞,以致在今天的不 少数学著作中,他的发现仍被称为“卡尔丹诺公式”。 ——资料来源:《羊城晚报》1986 年 11 月 20 日第三版“数学史上一大冤案”;或见《羊城 晚报》2004 年 5 月 22 日 B10“数学史上一大冤案”(公仔纸)。

2

卡尔丹公式
[ x ? p x ? q ? 0 (卡尔丹公式)]方程
3

x ? px ? q ? 0
3

的三个根为:
x1 ?
3

?

q 2

?

?q? ? p? ? ? ?? ? ?2? ? 3 ?
2

2

3

?

3

?

q 2

?

?q? ? p? ? ? ?? ? ; ?2? ? 3 ?
q 2 ?q? ? p? ? ? ?? ? ?2? ? 3 ?
2
2 3

2

3

x2 ? ?

3

?

q 2

?

?q? ? p? ? ? ?? ? ?? ?2? ? 3 ?

3

2

3

?

?



x3 ? ?

2

3

?

q 2

?

?q? ? p? ? ? ?? ? ?2? ? 3 ?

2

3

??

3

?

q 2

?

?q? ? p? ? ? ?? ? 。 ?2? ? 3 ?

3

其中 ? ?

?1 ? i 3 2

;?

2

?

?1 ? i 3 2



这叫卡尔丹公式。
?q? ? p? 判别式: ? ? ? ? ? ? ? 。 ?2? ? 3 ?
2 3

[ a x ? b x ? cx ? d ? 0 ]一般三次方程
3 2

a x ? b x ? cx ? d ? 0
3 2

上式除以 a ,并设
x ? y? b 3a

则化为如下的形式
y ? py ? q ? 0
3

则三个根为:
x1 ? y 1 ? b 3a

; x2 ? y2 ?

b 3a

; x3 ? y3 ?

b 3a



——资料来源: 《数学手册》 (第 88—89 页) ,人民教育出版社,1979 年,北京。

3

一元三次方程的盛金公式
盛金公式简介
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题,虚数 概念的引进、复数理论的建立,就是起源于解三次方程问题。1545 年,意大利学者卡 尔丹(Cardano,1501—1576,有的资料译为卡尔达诺)发表了三次方程 X^3+pX+q=0 的求根公式,卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家,并由此引进了 虚数的 概念,后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。一元三次方程应用广泛,用 根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但是使用卡尔 丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。 80 年代,中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研 究和探索,发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式,并建立了简明的、 直观的、实用的新判别法——盛金判别法,同时提出了盛金定理,盛金定理清晰地回 答了解三次方程的疑惑问题,且很有趣味。 盛金公式的特点是由最简重根判别式 A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd 和总 判别式 Δ =B^2-4AC 来构成,体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 盛金公式简明易记、解题直观、准确高效。 特别是当 Δ =B^2-4AC=0 时,盛金公式③:X⑴=-b/a+K;X⑵=X⑶=-K/2,其中 K=B/A,(A≠0),其表达式非常简洁漂亮,不存在开方(此时的卡尔丹公式仍存在 开立 方),手算解题效率高。盛金公式③被称为超级简便的公式。 盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解 三次方程的理论体系,范盛金创造出的这套万能的系统方法,对研究解高次方程问题 及提高解三次方程的效率作出了贡献。 范盛金发明的“一元三次方程的新求根公式与新判别法”于 1989 年发表在 《海南 师范学院学报》(自然科学版)第 2 期。

盛金公式与盛金判别法及盛金定理
Shengjin’s Formulas and Shengjin’s Distinguishing Means and Shengjin’s Theorems

盛金公式
Shengjin’s Formulas
一元三次方程
aX
3

? bX

2

? cX ? d ? 0 ,

? a, b, c, d

? R,且 a ? 0?

A ? b ? 3 ac ;
2

重根判别式

B ? bc ? 9 ad ;

C ? c ? 3 bd ,
2

总判别式

? ? B ? 4 AC 。
2

4

当 A ? B ? 0 时,盛金公式① ( Shengjin’s Formula① ) :
X1 ? X 2 ? X3 ? ?b 3a ? ?c b ? ? 3d c



当 ? ? B ? 4 A C > 0 时,盛金公式② ( Shengjin’s Formula② ) :
2

X1 ?

?b ?

3

Y1 ? 3a

3

Y2


Y2 ? 6a

X 2 ,3 ?

?2b ?

3

Y1 ?

3

3

?

3

Y1 ?

3

Y2 i

?

,

其中 Y1, 2

? ?B ? ? A b ? 3a ? ? ?

2 B ? 4 AC ? 2 ? , i ? ?1 。 ? 2 ?

当 ? ? B ? 4 AC ? 0 时,盛金公式③ ( Shengjin’s Formula③ ) :
2

X1 ? X

?b a

? K ; 1 2 K ,

2

? X3 ? ?

其中 K ?

B A

, ? A ? 0? 。

当 ? ? B ? 4 A C < 0 时,盛金公式④ ( Shengjin’s Formula④ ) :
2

?b?2 X1 ?

A cos 3a

?
3



?b ? X
2 ,3

?

? ? A ? cos ? 3 ?
3a

3 s in

? ?
? 3?



其中 ? ? arccos T , T ?

2 A b ? 3aB 2 A
3

( A > 0 , ? 1 < T <1 ) 。

5

盛金判别法
Shengjin’s Distinguishing Means
①:当 A ? B ? 0 时,方程有一个三重实根; ②:当 ? ? B ? 4 A C > 0 时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
2

③:当 ? ? B ? 4 AC ? 0 时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
2

④:当 ? ? B ? 4 A C < 0 时,方程有三个不相等的实根。
2

盛金定理
Shengjin’s Theorems
当 b ? 0 , c ? 0 时,盛金公式①无意义;当 A ? 0 时,盛金公式③无意义;当 A ? 0 时, 盛金公式④无意义;当 T<-1 或 T>1 时,盛金公式④无意义。 当 b ? 0 , c ? 0 时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在 A ? 0 的 值?盛金公式④是否存在 T<-1 或 T>1 的值?盛金定理给出如下回答: 盛金定理 1:当 A=B=0 时,若 b=0,则必定有 c=d=0(此时,方程有一个三重实根 0,盛金 公式①仍成立) 。 盛金定理 2:当 A=B=0 时,若 b≠0,则必定有 c≠0(此时,适用盛金公式①解题) 。 盛金定理 3:当 A=B=0 时,则必定有 C=0(此时,适用盛金公式①解题) 。 盛金定理 4:当 A=0 时,若 B≠0,则必定有Δ >0(此时,适用盛金公式②解题) 。 盛金定理 5:当 A<0 时,则必定有Δ >0(此时,适用盛金公式②解题) 。 盛金定理 6:当Δ =0 时,若 A=0,则必定有 B=0(此时,适用盛金公式①解题) 。 盛金定理 7:当Δ =0 时,若 B≠0,盛金公式③一定不存在 A≤0 的值(此时,适用盛金公式 ③解题) 。 盛金定理 8:当Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 A≤0 的值(此时,适用盛金公式④解题) 。 盛金定理 9:当Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 T≤-1 或 T≥1 的值,即 T 出现的值必定是 -1<T<1。 注:盛金定理逆之不成立。如:当 ? > 0 时,不一定有 A < 0 。 ......... 显然,当 A ? 0 时,都有相应的盛金公式解题。 盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金 公式直观求解。 ——资料来源: 《海南师范学院学报(自然科学版)(第 2 卷,第 2 期;1989 年 12 月,中国 》 海南。国内统一刊号:CN46-1014) ,第 91—98 页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与 新判别法。 (NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE(Hainan Province, China.Vol.2,No. 2;Dec,1989)A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation,Fan Shengjin . PP91—98.)

6


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