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高二数学 概率与统计 (1)

高二数学
考试要求

概率与统计

1.统计 (1)随机抽样 ① 理解随机抽样的必要性和重要性. ② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计 ① 了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎 叶图,理解它们各自的特点. ② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并作出合理的解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,理解用样本估计总体的思想. ⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性 ① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 不要求记忆线性回归方程系数公式
用最小二乘法求线性回归方程系数公式: n n ?? ? ? ? ? xi yi ? nx y ? xi ? x yi ? y ? ? ? ? b ? i ?1 ? i ?1 n , a ? y ? bx n ? ? 2 2 ? xi2 ? nx ? xi ? x

?

??

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i ?1

i ?1

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7.概率 (1)事件与概率 ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率 的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式. ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型 ①了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ②了解几何概型的意义.

1.课本概念与定理详解
(1)随机抽样 ①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体数较少. ②系统抽样特点是将总体均分成几部分, 按事先确定的规则在各部分中抽取, 适用范围: 总体中的个体数较多. ③分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部 分组成. (2)众数、中位数、平均数 1

①众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据. ②中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为 偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.在直方图中取频率为 0.5 处的频数。 ③平均数:样本数据的算术平均数. (3)线性回归方程 ^ 线性回归方程为y=bx+a,一定过样本中心点( x , y ). 2.活用的公式与结论 (1)直方图的三个有用结论 频率 =频率; 组距 ②各小长方形的面积之和等于 1; 频率 1 ③小长方形的高= ,所有小长方形高的和为 . 组距 组距 (2)方差与标准差 1 方差:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n 标准差: 1 s= [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. n 1 (3)概率中的公式及相关结论 ①古典概型的概率公式 m 事件A中所含的基本事件数 P(A)= = . n 试验的基本事件总数 ②几何概型的概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? ③互斥事件与对立事件 一次试验中不能同时发生的两个事件为互斥事件, 在每一次试验中, 两事件不会同时发 生,并且一定有一个发生为对立事件. (4)线性相关系数 r ①当 r>0 时,表明两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关. ②|r|越接近于 1,两个变量的线性相关关系越强,|r|越接近于 0,两个变量的线性相关 关系越弱;通常用|r|≥0.75 时,认为两个变量间存在较强的线性相关关系. (5)独立性检验 ①2×2 列联表 设两个变量 A,B,每一个变量都可以取两个值,变量 A:A1,A2,变量 B:B1,B2,则 2×2 列联表如下: B1 B2 分类 合计 A1 a b a+b A2 c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d n?ad-bc?2 ②K2 的计算公式:K2= (其中 n=a+b+c+d). ?a+b??c+d??a+c??b+d? ③注意两个分类变量 A 和 B 是否有关系的判断方法 ①小长方形的面积=组距× 3.易错易混点 (1)混淆频率分布条形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成 频率,导致样本数据的频率求错. ^ ^ (2)回归直线方程中一次项系数为b,常数项为a,注意 b 的几何意义. 2

(3)解决一般的独立性检验问题,首先由所给 2×2 列联表确定 a,b,c,d,n 的值,然 后根据统计量 K2 的计算公式确定 K2 的值, 最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量 有关联.

教材变式
教材是学习数学基础知识,形成基本技能的“源泉” ,是高考试题的重要知识载体.纵观高考 试卷中的概率统计试题, 大多数试题源于教材, 特别是大多数客观题是从课本上的练习题或 习题改编的,即使是解答题,也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成,充分表现出教 材的基础作用.复习阶段应该按《考试说明》对本部分内容的要求,以课本的例、习题为素 材,深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展,在“变式”上下功夫,力求对教材内容 融会贯通,只有这样,才能“以不变应万变” ,达到事半功倍的效果。当然,如果再做一些 经典的高考试题,对考生的复习也是很有效的. 对于这部分知识, 还应当重视概率统计的应用功能。 它的实际应用性是备考时应当着力思考 的.应用题的考查,加大了对学生阅读能力的要求,对题目的准确理解,找到数学模型,是 解答题目的关键.应该把近几年各地高考及模拟题归类分析,强化训练.

变式 1

(必修 3,P60 探究改编)为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区

的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生 的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样 方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 解析:选 C.因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合 理的抽样方法是按学段分层抽样.

变式 2

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为 n 的样本, 其 频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为( )

A.100

B.1 000

C.90

D.900 30 =100. 0.3

解析:选 A.支出在[50,60)元的频率为 1-(0.1+0.24+0.36)=0.3.∴样本容量 n=

变式 3

将线段 CD 分成三段,则这三段能组成三角形的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 8 解析:选 C. 设线段 CD 长度为 1,分成的三段分别为 x,y,1-x-y,则 x-y 满足约束 0<x<1 0<x+y<1 ? ? ? ? 条件?0<y<1 ,即?0<x<1 .

? ?0<1-x-y<1

? ?0<y<1

3

若这三段能组成三角形,则还需满足 x+y>1-x-y ? ? ?x+?1-x-y?>y ? ?y+?1-x-y?>x 1 S△MNP 8 1 P= = = . S△OAB 1 4 2

? ? 1 ,即?0<y<2 ? ?0<x<1 2

1 <x+y<1 2 作出可行域如图所示,由几何概型知所求概率

变式 4(必修 3,P127 例 3 改编)同时掷两枚质地均匀的骰子,其点数之和大于 10
的概率是________. 解析:记:“点数之和大于 10”为事件 A.在同时掷两枚骰子出现的基本事件 n=6×6 3 1 =36 个.其中事件 A 包含了(5,6),(6,5),(6,6)共 3 个.由古典概型知 P(A)= = . 36 12

变式 5

海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区 进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测. A B C 地区 50 150 100 数量 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率. 6 1 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 = , 50+150+100 50 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 1 1 1 50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A, B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1}, {B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则事件 D 包含的基本事件有: {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15

变式 6
统计数据.

某科研所对新研发的一种产品进行合理定价,该产品按事先拟定的价格试销得 单价 x(万元) 8 8.2 8.4 8.8 8.6 9

4

90 84 83 75 80 68 销量 y(件) ^ ^ ^ ^ (1)①求回归方程y=bx+a,(其中已算出b=-20). ②谈谈商品定价对市场的影响. (2)估计在以后的销售中,销量与单价服从回归直线.若该产品的成本为 4.5 元/件,为 使科研所获利最大,该产品定价应为多少? 1 解:(1)①依题意: x = (8+8.2+8.6+8.8+8.4+9)=8.5, 6 1 ^ y = (90+84+83+80+75+68)=80.又b=-20, 6 ^ ^ ∴a= y -b x =80+20×8.5=250 ^ ∴回归直线的方程为y=-20x+250 ^ ②由于b=-20<0,则 x,y 负相关,故随定价的增加,销量不断降低. (2)设科研所所得利润为 W,设定价为 x ∴W=(x-4.5)(-20x+250)=-20x2+340x-1 125, 340 ∴当 x= =8.5 时,Wmax=320. 40 故当定价为 8.5 元时,W 取得最大值.

变式 7

(选修 1-2,P16T1 改编)某县职工运动会将在本县一中运动场隆重

召开, 为了搞好接待工作, 组委会在一中招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者, 调查发现, 这 30 名志愿者的身高如下:(单位:cm)

若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子”, 身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”. (1)完成 2×2 列联表,由以上统计量判断是否有 97.5%的把握认为“高个子”与性别有 关. (2)用分层抽样的方法从“高个子”中抽取 6 人,若从这 6 个中选 2 人求他们至少有一 名能担任礼仪小姐的概率. n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 参考数据:P(K2≥5.024)≈0.025. 解:(1)由题意得 2×2 列联表 男 女 总计 8 4 12 高个子 4 14 18 非高个子 12 18 30 总计 2 30×?112-16? K2= ≈5.926,由于 5.926>5.024, 12×18×12×18 所以有 97.5%的把握认为“高个子”与性别有关. (2)由(1)可知,分层抽样后,男高个子有 4 人,记为 A、B、C、D,女高个子有 2 人, 记为 a,b.从这 6 个人中选 2 个.共有 15 种选法,至少有 1 人能担任礼仪小姐的方法有 ab、 9 3 aA、aB、aC,aD,ba,bB,bC,bD 共 9 种,故其概率为 P= = . 15 5

5

复习关注
概率与统计部分是高中文科数学一个重要的知识板块、在原教材的基础上变化后, 有更强的实用性和整体性,也是高考考查考生应用意识的重要载体,已经成为近年来新 课标高考的一大热点与亮点。如何保证本部分的得分呢? 一、教材分析 概率与统计部分教材的编写有很强的系统性和实用性。 概率部分主要包括两种基本的概 型: 古典概型和几何概型及概率的基本性质, 与人教版相比更注重理解基本原理而不是计算。 统计部分包括抽样方法及统计的基本思想——用样本的特征来估计总体, 该部分教材的编写 更加注重整体性和实用性,充分体现了数学在生活中的应用。 二、高考命题趋势 1.客观题的命题趋势 在高中文科数学高考中, 概率与统计部分选择题、 填空题的考查主要以实际问题为载体 考查某一个或几个知识点,以简单题为主。 2.主观题的命题趋势 高中文科数学概率与统计部分的解答题通常是以实际问题为背景综合在一起进行考查 的, 有时也会和其他知识点交汇进行考查, 充分体现了其实用性及遵循了在知识点的交汇处 命题的原则,多为简单题和中等题。

高考预测训练
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题意要求的. 1.某校有男生 1500 人,女生 1200 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取 30 人,从女生中任意抽取 24 人进行调查.这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 C.系统抽样法 B.抽签法 D.分层抽样法 )

2.调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 2000 位工人某 天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,50),[50,55), [55,60),[60,65),[65,70),由此得到频率分布直方图如图示, 这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,70)的人数是( A.1050 B.950 ) D.1790

C. 210

3.从 1008 名学生中抽取 20 人参加义务劳动。规定采用下列方法选取:先用简单随机抽样 的抽取方法从 1008 人剔除 8 人,剩下 1000 人再按系统抽样的方法抽取,那么在 1008 人中每个人入选的概率是( A.都相等且等于 ) B.都相等且等于

1 50

5 252

C.不全相等

D.均不相等

4.某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查,制 6

成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图 (如图) ,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭( ) A.82 万盒 B.83 万盒 C.84 万盒 D.85 万盒

5.在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, ?a, b ? 是其中的一组,抽查出的个体在 该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 a ? b ? A.hm B. ( ) D. h ? m

h m

C.

m h

6.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作为样本,右图是此次调查中的 某一项流程图,若输出的结果是 3800,则身高在 170cm 以下的频率为( )

A.0.24 C.0.62

B.0.38 D.0.76

7.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: ( ) 甲 r m 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性? A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并且以线段 AM 为边的正方形, 2 2 则这正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率为( ) 4 12 1 1 A. B. C. D. 4 3 27 45 9. 连掷两次骰子得到点数分别为 m 和 n, 记向量 a ? (m, n)与向量 b ? (1,?1) 的夹角为 ? , 则? ? (0, A.

?
2

) 的概率是(
1 2

) C.

5 12

B.

7 12

D.

5 6

10.为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回 归直线方程 l1 和 l 2 ,两人计算知 x 相同, y 也相同,下列正确的是( 7 )

A. l1 与 l 2 重合 C. l1 与 l 2 相交于点 ( x , y )

B. l1 与 l 2 一定平行 D.无法判断 l1 和 l 2 是否相交

11.如图,半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆.现将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬币落下后与小圆无 公共点的概率为( ) A.

98 99

B.

7 9

C.

1 99

D.

77 81

12.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图.根据茎叶 图,对甲、乙两人这几场比赛得分作比较,得出正确的统计结论是( A.甲平均得分比乙高,且甲的得分比乙稳定; B.乙平均得分比甲高,且乙的得分比甲稳定; C.甲平均得分比乙低,但甲的得分比乙稳定; D.乙平均得分比甲低,但乙的得分比甲稳定;



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 .从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差 为 ; 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10

14.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样 的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 ; 15.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m ? n 的概率为 ; 16.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 0 C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当 天气温,并制作了对照表:
气温( C) 用电量(度)
0

18 24

13 34

10 38

-1 64

0 预测当气温为 ?4 C 时,用电量的度数约为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分) 某中学为增强学生环保意识,举行了“环抱知识竞 分组 频 频率 赛” ,共有 900 名学生参加这次竞赛为了解本次竞赛 数 成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整 4 0.08 [50,60) 数,满分为 100 分)进行统计,请你根据尚未完成的频 [60,70) ③ 0.16 率分布表解答下列问题: 10 ② [70,80) (Ⅰ)求①、②、③处的数值; 16 0.32 [80,90) (Ⅱ)成绩在 [70,90) 分的学生约为多少人? 0.24 [90,100) (Ⅲ)估计总体平均数;
合计 ①

8

18. (12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行 分析研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种 子中的发芽数,得到如下资料: 日 期 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

温差 x (°C) 发芽数 y (颗)

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回 归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验 (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (Ⅱ)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的 数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx ? a ; (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则 认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

19. (12 分)晚会上,主持人前面放着 A、B 两个箱子,每箱均装有 3 个完全相同的球,各 箱的三个球分别标有号码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (Ⅰ)若用 ( x, y ) 分别表示从 A、B 两箱中摸出的球的号码,请写出数对 ( x, y ) 的所有情 形,并回答一共有多少种; (Ⅱ)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (Ⅲ)请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性大?说明理由.

20. (12 分)将一枚各面分别标有数字0,0,1,1,2,3的均匀正方体先后抛掷 2 次, 观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 5 的概率; 9

(Ⅱ)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 2 2 x +y =8 的内部的概率

21. (12 分) 现有 8 名学生, 其中 A1,A2,A3 在高一,B1,B2,B3 在高二, 从 C1,C2 在高三. 中选出高一、高二和高三学生各 1 名,组成一个小组. (Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

22. (12 分)已知 z,y 之间的一组数据如下表:
x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

(Ⅰ)从 x ,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; (Ⅱ)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y ? 试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合程度更好.

1 1 1 x ?1与 y ? x ? , 3 2 2

23(12 分) 已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (Ⅰ)设集合 P={-2,-1,1,2,3 }和 Q={-2,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数

?m ? n ? 1 ? 0 ? 作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率; (Ⅱ) 实数 m,n 满足条件 ?? 1 ? m ? 1 , ?? 1 ? n ? 1 ?
求函数 y=mx+n 的图像经过一、二、三象限的概率.

24. (12 分)袋中装着分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 个形状相同的小球. (1)从袋中任取 2 个小球,求两个小球所标数字之和为 3 的倍数的概率; (2)从袋中有放回的取出 2 个小球,记第一次取出的小球所标数字为 x,第二次为 y, 求点 M ( x, y ) 满足 ( x ?1) ? y ? 9 的概率
2 2

10

概率与统计高考预测

参考答案
12.B

一、选择题:1.D 2.B 3. B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A 10.C 11.D 二、填空题 13.

2 10 5

14.20

15.

3 5

16.68

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设抽取的样本为 x 名学生的成绩, 则由第一行中可知 0.08 ?

4 , 所以x ? 50 x

分组

? ①处的数值为50 ; 10 ? 0.20 ; ②处的数值为 50 ③处的数值为 50 ? 0.16 ? 8 . (Ⅱ)成绩在[70,80 ) 分的学生频率为 0.2,成绩在[80.90 ) 分
的学生频率为 0.32, 所以成绩在[70.90 ) 分的学生频率为 0.52, 由于有 900 名学生参加了这次竞赛, 所以成绩在[70.90 ) 分的学生约为 0.52 ? 900 ? 468 (人) . (Ⅲ)利用组中值估计平均为

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
合计

频 数 4 ③ 10 16 ①

频率 0.08 0.16 ② 0.32 0.24

55 ? 0.08 ? 65 ? 0.16 ? 75 ? 0.20 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.24 ? 79.8 . 18.解: (1)设抽到不相邻两组数据为事件 A ,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种
情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种,所以
P( A) ? 1 ? 4 3 ? . 10 5
5 , a ? y ? bx ? ?3 . 2

(2)由数据,求得 x ? 12, y ? 27 .由公式,求得 b ?
?? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y

5 x ?3. 2

5 5 ? ? ?10 ? 3 ? 22 ,|22-23|<2;同样,当 x=8 时, y ? ? ? 8 ? 3 ? 17 , (3)当 x=10 时, y 2 2

|17-16|<2. 所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 19.解: (Ⅰ)数对 ( x, y ) 的所有情形为: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 9 种 (Ⅱ)记“所摸出的两球号码之和为 5”为事件 A,则事件 A 包括的基本结果有: (2,3) , (3,2)共 2 个,所以 P(A)=

2 . 9

(Ⅲ)记“所摸出的两球号码之和为 i ”为事件 Ai ( i =2,3,4,5,6) 由(Ⅰ)中可知事件 A2 的基本结果为 1 种,事件 A3 的基本结果为 2 种,事件 A4 的基本结果为 3 种, 事件 A5 的基本结果为 2 种, 事件 A6 的基本结果为 1 种, 11

所以 P ( A2 ) ?

1 2 3 2 1 , P ( A3 ) ? , P ( A4 ) ? , P ( A5 ) ? , P ( A6 ) ? . 9 9 9 9 9

故所摸出的两球号码之和为 4 的概率最大. 答:猜 4 获奖的可能性大. 20.解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件: (0,0) (0,0) (0,1) (0,1) (0,2) (0,3) (0,0) (0,0) (0,1) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,0) (1,1) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,0) (1,1) (0,1) (0,2) (0,3) (2,0) (2,0) (2,1) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,0) (3,1) (3,1) (3,2) (3,3) (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有2个基本事件, 所以 P(A)=

1 ; 18

答:两数之和为 5 的概率为
2 2

1 . 18

(2)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 B,则 B 包含 11 个事件,所以 P(B)=

11 36

21.解: (Ⅰ)从 8 人中选出高一、高二和高三学生各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件:

( A1,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 ) , ( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), ( A2,B1,C2 ), ( A2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), ( A3,B1,C2 ), ( A3,B2,C1 ) , ( A3,B2,C2 ), ( A3,B3,C1 ), ( A3,B3,C2 ) ,共 18 个.
记事件 M 表示“ A1 恰被选中” ,
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则事件 M 包含基本事件: ( A ,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , 1

( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 ), ( A1,B3,C2 ) 共 6 个,∴ P ( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)记事件 N “ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选 中”这一事件, 由于事件 N 包含基本事件: ( A ,B1,C1 ), ( A2,B1,C1 ), ( A3,B1,C1 ) },共 3 个, 1 所以 P ( N ) ?

3 1 1 5 ? , ∴ P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? 18 6 6 6

22. 【解】 (1)从 x,y 各取一个数组成数对(x ,y),包含共有 25 对, 其中满足 x ? y ? 10 的有 (6,4), (6,5), (7,3), (7,4), (7,5), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5) ,共 9 对?5 分 故所求概率为 P ?

9 9 ,所以使 x ? y ? 10 的概率为 . 25 25
12

(2)用 y ?

1 x ? 1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 3 4 10 11 7 S1 ? ( ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 3) 2 ? ( ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? . 3 3 3 3 1 1 用 y ? x ? 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 2 2 7 9 1 S 2 ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( ? 3) 2 ? (4 ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? . 2 2 2 1 1 ? S 2 ? S1 ,故用直线 y ? x ? 拟合程度更好. 2 2

23.解: (Ⅰ) 抽取的全部结果所构成的基本事(-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3), 1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3) .共 10 个基本事件 设 A=“使函数为增函数”则 A 中有(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3). 有 6 个基本事件 所以, P(A)=6/10=3/5.

?m ? n ? 1 ? 0 ? (Ⅱ) m、n 满足条件 ?? 1 ? m ? 1 ?? 1 ? n ? 1 ?

的区域如图所示:

使函数图像过一、二、三象限的(m,n)为区域为第一象限的阴影部分 ∴所求事件的概率为 P=
24.(本小题满分 12 分) 解: (1)任取 2 次,基本事件有: [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [2,3] [2,4] [2,5] [3,4] [3,5] [4,5] 记“两数之和为 3 的倍数”为事件 A,则事件 A 中含有: [1,2] [1,5] [2,4] [4,5]共 4 个基本事件,所以 P( A) ?

1 7 1 ? ? 2 2 7

4 2 ? ; 10 5

(2) 有放回的取出 2 个,基本事件有:(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 记“点 M ( x, y ) 满足 ( x ?1) ? y ? 9 ”为事件 B ,则 B 包含:
2 2

(1,1) (1,2) (1,3)(2,1) (2,2) (3,1) (3,2)共 7 个基本事件 所以 P ( B ) ?

7 . 25

13