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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷及答案(广东卷)


2015 年全国高考广东卷(文科)数学模拟

2015 年广东高考数学模拟试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .... 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号 ... 所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 2 1. (2014?北京)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( ) A. {0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2. (2014?辽宁)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=( ) A. 2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i 3. (2014?湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是( ) A. f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2 )

﹣x

4. (2013?陕西)设 , 为向量,则| ? |=| || |是“ ∥ ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (2010?宁夏)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于( )

A.

B.

C.

D.

第1页

6. (2012?陕西)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视 图为( )

A.

B.

C.

D.

7. (2014?湖北)若变量 x,y 满足约束条件

,则 2x+y 的最大值是(



A. 2 B.4 C.7 8. (2013?安徽)设 sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=﹣2,则 a9=( A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 9. (2014?长沙校级模拟)已知双曲线 C: 为( A. ) B. C. 的离心率为

D.8 ) D.2 ,则 C 的渐近线方程

D.y=±x )

10. (2015?黑龙江模拟)设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A. 0 B. 1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11. (2005?陕西)曲线 在点(1,1)处的切线方程为
2 2



12. (2014?重庆)已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、B 两点,且 AC⊥BC, 则实数 a 的值为 . 13. (2014?湖北)若向量 =(1,﹣3) ,| |=| |, ? =0,则| |= .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程) (2009?广东)若直线 (t 为参数)与直线 (s 为参数)

垂直,则 k= . 15. (几何证明选讲) (2014?陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, 若 AC=2AE,则 EF= .

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )

第2页

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16. (2014?重庆)已知函数 f(x)=

sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣

≤φ <

)的图象关于直线 x=



称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π . (Ⅰ)求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ)若 f( )= ( <α < ) ,求 cos(α + )的值.

17. (2012?广东)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示, 求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

第3页

18. (2015?安康三模)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 D﹣ABC 的体积.

19. (2015?广州校级二模)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 * 成等比数列(n∈N ) . (Ⅰ)求 a2,a3,a4 和 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)证明你的结论; (Ⅲ)证明: + +?+ < .

第4页

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20. (2015?江西一模)已知椭圆 离心率为 .

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直线 l 方程;若

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 不存在,说明理由.

21. (2015?宿州三模)已知 f(x)=xlnx,g(x)=x +ax ﹣x+2. (Ⅰ)如果函数 g(x)的单调递减区间为 ,求函数 g(x)的解析式;

3

2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(﹣1,1)处的切线方程; (Ⅲ)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

第5页

2015 年广东高考数学模拟试卷(文科) 参考答案与试题解析 一.选择题(共 10 小题) 2 1. (2014?北京)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A. {0} B.{0,1} C.{0,2} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算.菁优网版权所有 集合. 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 2 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.

) D.{0,1,2}

点评:

2. (2014?辽宁)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=( ) A. 2+3i B.2﹣3i C.3+2i 考点: 专题: 分析: 复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 数系的扩充和复数. 把给出的等式两边同时乘以

D.3﹣2i

,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则 z 可求.

解答: 解:由(z﹣2i) (2﹣i)=5,得: , ∴z=2+3i. 故选:A. 本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题. ) D.f(x)=2
﹣x

点评:

3. (2014?湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是( A. f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

考点: 专题: 分析:

函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.菁优网版权所有 函数的性质及应用. 利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出. ,f(x)=x +1 是偶函数,而函数 f(x)=x 是奇函数,f(x)=2 不
2 3 ﹣x

解答: 解:只有函数 f(x)= 具有奇偶性. 而函数 f(x)=

,f(x)=x +1 中,只有函数 f(x)=

2

在区间(﹣∞,0)上单调递增的.

点评:

综上可知:只有 A 正确. 故选:A. 本题考查了函数函数的奇偶性和单调性,属于基础题.

4. (2013?陕西)设 , 为向量,则| ? |=| || |是“ ∥ ”的( A.充分不必要条件
第6页



B.必要不充分条件

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C.充分必要条件 考点: 专题: 分析:

D.既不充分也不必要条件

必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的模;平行向量与共线向量.菁优网版权所有 平面向量及应用. 利用向量的数量积公式得到 ? = ,根据此公式再看 与

之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论. 解答: 解:∵ ? = ,

若 a,b 为零向量,显然成立; 若 而 因此 ?cosθ =±1 则 与 的夹角为零角或平角,即 ,则 与 的夹角为为零角或平角,有 是 的充分必要条件. . ,故充分性成立.

点评:

故选 C. 本题考查平行向量与共线向量,以及充要条件,属基础题. )

5. (2010?宁夏)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于(

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

设计程序框图解决实际问题.菁优网版权所有 操作型. 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并 输出 S= 的值.

解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:
第7页

该程序的作用是累加并输出 S= ∵S= =1﹣ =

的值.

点评:

故选 D. 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是: : ①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参 与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立 数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

6. (2012?陕西)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视 图为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解答: 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.

点评:

本题考查几何体的三视图的画法,考查作图能力.

7. (2014?湖北)若变量 x,y 满足约束条件

,则 2x+y 的最大值是(



A. 2 考点: 专题: 分析:

B.4

C.7

D.8

简单线性规划.菁优网版权所有 不等式的解法及应用. 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件画出满足约束条件 的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

第8页

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解答: 解:满足约束条件

的可行域如下图中阴影部分所示:

点评:

∵目标函数 Z=2x+y, ∴ZO=0,ZA=4,ZB=7,ZC=4, 故 2x+y 的最大值是 7, 故选:C 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先 将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就 题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的 最优解. ) D.2

8. (2013?安徽)设 sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=﹣2,则 a9=( A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 考点: 专题: 等差数列的通项公式.菁优网版权所有 等差数列与等比数列.

分析:

由题意可得

,解此方程组,求得首项和公差 d 的值,即可求得

a9 的值.

解答: 解:∵sn 为等差数列{an}的前 n 项和,s8=4a3,a7=﹣2,即



点评:

解得 a1=10,且 d=﹣2,∴a9=a1+8d=﹣6, 故选 A. 本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用,属于基础题.

9. (2014?长沙校级模拟)已知双曲线 C: 程为( A. ) B. C.

的离心率为

,则 C 的渐近线方

D.y=±x

考点:

双曲线的简单性质.菁优网版权所有
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专题: 分析:

圆锥曲线的定义、性质与方程. 由题意可得 = ,由此求得 = ,从而求得双曲线的渐近线方程.

解答: 解:已知双曲线 C:

的离心率为

,故有

= ,



= ,解得

= .

故 C 的渐近线方程为



点评:

故选 C. 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题. )

10. (2015?黑龙江模拟)设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A. 0 B.1 C.2 D.3 考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 导数的概念及应用. 根据导数的几何意义,即 f′(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入计算. 解: ,

点评:

∴y′(0)=a﹣1=2, ∴a=3. 故答案选 D. 本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要 求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到, 特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习 时要引起重视.

二.选择题(共 3 小题) 11. (2005?陕西)曲线 在点(1,1)处的切线方程为 x+y﹣2=0 .

考点: 专题: 分析: 即可.

导数的几何意义.菁优网版权所有 导数的概念及应用. 根据已知容易得出点(1,1)在曲线上,若求过点(1,1)的切线方程,只需求出切线的斜率

解答: 解:因为

,所以



所以在点(1,1)处的切线斜率 所以切线的方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) ,即切线方程为 x+y﹣2=0. 故答案为:x+y﹣2=0. 熟练掌握导数的几何意义,求出切线方程等.
第 10 页



点评:

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12. (2014?重庆)已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、B 两点,且 AC⊥BC, 则实数 a 的值为 0 或 6 . 考点: 直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论. 2 2 解答: 解:圆的标准方程为(x+1) +(y﹣2) =9,圆心 C(﹣1,2) ,半径 r=3, ∵AC⊥BC, ∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 即 d= = , ,

2

2

点评:

即|a﹣3|=3, 解得 a=0 或 a=6, 故答案为:0 或 6. 本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本 题的关键.

13. (2014?湖北)若向量

=(1,﹣3) ,|

|=|

|,

?

=0,则|

|=



考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.菁优网版权所有 平面向量及应用. 利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. =(x,y) ,∵向量 =(1,﹣3) ,| |=| |, ? =0,

解答: 解:设



,解得





∴ ∴ ∴

=(3,1) , (﹣3,﹣1) . = = =(2,4)或(﹣4,2) . .

点评:

故答案为: . 本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

14. (2009?广东)若直线 k= ﹣1 .

(t 为参数)与直线

(s 为参数)垂直,则

考点: 专题:

直线的参数方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.菁优网版权所有 坐标系和参数方程.

第 11 页

分析:

将直线 据垂直关系求解.

(t 为参数)与直线

化为一般直线方程,然后再根

解答: 解:∵直线

(t 为参数)

∴y=2+

×k=﹣ x+2+ ,直线

(s 为参数)

∴2x+y=1, ∵两直线垂直, ∴ ,

点评:

得 k=﹣1. 故答案为﹣1. 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方 程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.

15. (2014?陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= 3 .

考点: 专题: 分析:

与圆有关的比例线段.菁优网版权所有 选作题;立体几何. 证明△AEF∽△ACB,可得 ,即可得出结论.

解答: 解:由题意,∵以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, ∴∠AEF=∠C, ∵∠EAF=∠CAB, ∴△AEF∽△ACB, ∴ ,

点评:

∵BC=6,AC=2AE, ∴EF=3. 故答案为:3. 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

四.解答题(共 6 小题) 16. (2014?重庆)已知函数 f(x)= sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ ≤φ < )的图象关于直线 x= 对

称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π . (Ⅰ)求 ω 和 φ 的值;
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(Ⅱ)若 f(

)=



<α <

) ,求 cos(α +

)的值.

考点: 专题: 分析:

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;运用诱导公式化简求值.菁优网版权所有 三角函数的图像与性质. (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π 求得 ω =2.再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ < 可得 φ 的值. )= .再根据 α ﹣ )+ 的范围求得 cos(α ﹣ )的值,再根据 对称,

(Ⅱ)由条件求得 sin(α ﹣ cos(α +

)=sinα =sin[(α ﹣

],利用两角和的正弦公式计算求得结果. =π ,∴ω =2. ,k∈z.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π ,∴ 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ < )= 对称,可得 2× . ) , )= . +φ =kπ +

可得 φ =﹣ (

(Ⅱ)∵f( ∴

<α <

sin(α ﹣

)= <

,∴sin(α ﹣ ,

再根据 0<α ﹣ ∴cos(α ﹣ ∴cos(α + = +

)= )=sinα =sin[(α ﹣ = . )+

=

, ]=sin(α ﹣ )cos +cos(α ﹣ )sin

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应 用,属于中档题. 17. (2012?广东)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示, 求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

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考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数.菁优网版权所有 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图的性质可 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到 a 的值; (2)由平均数加权公式可得平均数为 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出 结果即得; (3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数 即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数. 解答: 解: (1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得 a=0.005; (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73 (分) ; (3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5, 数学成绩在[60,70)的人数为: 数学成绩在[70,80)的人数为: 数学成绩在[80,90)的人数为: , , ,

点评:

所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10. 本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直 方图的性质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解.

18. (2015?安康三模)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 D﹣ABC 的体积.

考点: 专题: 分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 计算题. (Ⅰ)解法一:由题中数量关系和勾股定理,得出 AC⊥BC,再证 BC 垂直与平面 ACD 中的一条 直线即可, △ADC 是等腰 Rt△, 底边上的中线 OD 垂直底边, 由面面垂直的性质得 OD⊥平面 ABC, 所以 OD⊥BC,从而证得 BC⊥平面 ACD;
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解法二:证得 AC⊥BC 后,由面面垂直,得线面垂直,即证. (Ⅱ)由高和底面积,求得三棱锥 B﹣ACD 的体积即是几何体 D﹣ABC 的体积. 解答: 解: (Ⅰ) 2 2 2 【解法一】 :在图 1 中,由题意知, ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC 取 AC 中点 O,连接 DO,则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC, 且平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO?平面 ACD,从而 OD⊥平面 ABC, ∴OD⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩OD=O, ∴BC⊥平面 ACD 2 2 2 【解法二】 :在图 1 中,由题意,得 ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC ∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC?面 ABC,∴BC⊥平面 ACD (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC 为三棱锥 B﹣ACD 的高,且 所以三棱锥 B﹣ACD 的体积为: 由等积性知几何体 D﹣ABC 的体积为: . ,S△ACD= ×2×2=2, ,

点评:

本题通过平面图形折叠后得立体图形, 考查空间中的垂直关系, 重点是“线线垂直, 线面垂直, 面面垂直”的转化;等积法求体积,也是常用的数学方法.

19. (2015?广州校级二模)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 * 成等比数列(n∈N ) . (Ⅰ)求 a2,a3,a4 和 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)证明你的结论; (Ⅲ)证明: + +?+ < .

考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;数列与不等式的综合;数学归纳法.菁优网版权 所有 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)由 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列得关系式 2bn=an+an+1,an+1 =bn?bn+1 把 a1=2,b1=4 循环代入上面两个式子可求 a2,a3,a4 和 b2,b3,b4,并由此猜测出{an},{bn}的通项 公式; (Ⅱ)利用数学归纳法加以证明; (Ⅲ)当 n=1 时直接验证,当 n 大于等于 2 时放缩后利用裂项相消法证明. 2 解答: (Ⅰ)解:由已知得 2bn=an+an+1,an+1 =bn?bn+1. 又 a1=2,b1=4, 由此可得 a2=6,a3=12,a4=20,b2=9,b3=16,b4=25. 2 猜测 an=n(n+1) ,bn=(n+1) . (Ⅱ)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由(Ⅰ)可得结论成立. 2 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak=k(k+1) ,bk=(k+1) . 2 那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk﹣ak=2(k+1) ﹣k(k+1)=(k+1) (k+2) ,
第 15 页

bk+1=

=(k+2) .

2

所以当 n=k+1 时,结论也成立. 2 由①②可知 an=n(n+1) ,bn=(n+1) 对一切正整数都成立. (Ⅲ)证明: = < .

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an+bn=(n+1) (2n+1)>2(n+1)n. 故 + +?+ < + [ ) . + +?+ ]

= + ( ﹣ + ﹣ +?+ ﹣ = + ( ﹣ )< + =

点评:

综上,原不等式成立. 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,是数列与不等式的综合题,考查了数学归纳法, 训练了放缩法及列项相消法证明不等式,是中档题.

20. (2015?江西一模)已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2



离心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直线 l 方程;若

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 不存在,说明理由.

考点: 椭圆的简单性质.菁优网版权所有 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的定义求出 a,根据离心率,求出 c,可得 b,即可求椭圆的方程; (Ⅱ) (1)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理、中点坐标公式, 可得 AB 的中点坐标,分类讨论,利用|MA|=|MB|,可得方程,即可求直线 l 斜率 k 的值; (2)分类讨论,求出 S△ABO,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ) ∵
2 2 2

,∴ ,∴ ,

?(1 分)

∴b =a ﹣c =2﹣1=1?(2 分) 椭圆的标准方程为 ?(3 分)

(Ⅱ)已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1)B(x2,y2)

第 16 页

2015 年全国高考广东卷(文科)数学模拟

联立直线与椭圆方程

,化简得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0

2

2

2

2





?(4 分)

∴AB 的中点坐标为 (1)k=0 时,不满足条件;

?(5 分)

当 k≠0 时,∵|MA|=|MB|,∴



整理得 2k ﹣3k+1=0,解得 k=1 或

2

?(7 分) ,S△ABO= = ? ,

(2)k=0 时,直线方程为 x=1,代入椭圆方程,此时 y=± k≠0 时,S△ABO= |y1﹣y2|=| |

∵k∈R,k≠0,∴ 综上,

,∴

点评:

∴满足题意的直线存在,方程为 x=1.?(14 分) 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决 问题的能力,有难度.
3 2

21. (2015?宿州三模)已知 f(x)=xlnx,g(x)=x +ax ﹣x+2. (Ⅰ)如果函数 g(x)的单调递减区间为 ,求函数 g(x)的解析式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(﹣1,1)处的切线方程; (Ⅲ)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 函数的单调性与导数的关系;利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 计算题;压轴题. (I)求出 g(x)的导函数,令导函数小于 0 得到不等式的解集,得到相应方程的两个根,将 根代入,求出 a 的值. (II)求出 g(x)的导数在 x=﹣1 的值即曲线的切线斜率,利用点斜式求出切线的方程. (III)求出不等式,分离出参数 A,构造函数 h(x) ,利用导数求出 h(x)的最大值,令 a 大于等于最 大值,求出 a 的范围. 解答: 解: (I)g′(x)=3x +2ax﹣1 由题意 3x +2ax﹣1<0 的解集是 即 3x +2ax﹣1=0 的两根分别是
2 2 2


第 17 页

将 x=1 或
3

代入方程 3x +2ax﹣1=0 得 a=﹣1.
2

2

∴g(x)=x ﹣x ﹣x+2. (4 分) 2 (II)由(Ⅰ)知:g′(x)=3x ﹣2x﹣1,∴g′(﹣1)=4, ∴点 p(﹣1,1)处的切线斜率 k=g′(﹣1)=4, ∴函数 y=g(x)的图象在点 p(﹣1,1)处的切线方程为: y﹣1=4(x+1) ,即 4x﹣y+5=0. (8 分) (III)∵2f(x)≤g′(x)+2 2 即:2xlnx≤3x +2ax+1 对 x∈(0,+∞)上恒成立 可得 对 x∈(0,+∞)上恒成立



,则

令 h′(x)=0,得

(舍)

点评:

当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0 ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值﹣2 ∴a≥﹣2. ∴a 的取值范围是[﹣2,+∞) . (13 分) 解决不等式恒成立问题,常用的方法是分离出参数,构造新函数,求出新函数的最值,得到参 数的范围.

第 18 页


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