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高二数学2-2、4-5第一讲(理科)综合测试题含答案


理科)综合测试题 高二数学 2-2、4-4(理科)综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请 选择题(每小题5 选择题 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 将正确答案的序号填涂在答题卡上) 将正确答案的序号填涂在答题卡上) f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) 1、若函数 y = f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ∈ (a, b) 则 lim h →0 h 的值为( B ) A. f ' ( x0 ) B. 2 f ' ( x0 ) C. ?2 f ' ( x0 ) D. 0
2 2、一个物体的运动方程为 s = 1 ? t + t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,

那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 3、 B. 6 米/秒

C ) C. 5 米/秒 D. 8 米/秒



1 ?1

( sin x + 1 ) d x 的值为 B
B. 2 C. 2 + 2 cos1 D. 2 ? 2 cos1

A. 0 4、 f (n) = 1 +

1 1 1 + + ???? + (n ∈ N + ) 即 f (k + 1) ? f (k ) = ( D ) 2 3 3n ? 1 1 1 1 A. B. + 3k + 2 3k 3k + 1 1 1 1 1 1 + + C. D. + 3k + 1 3k + 2 3k 3k + 1 3k + 2
?1

5、 ( i ? i A. 8i

) 3 的虚部为( D )
B. ?8i C. 8 D. ?8

6、已知 x + 2 y = 1 ,则 2 x + 4 y 的最小值为( C ) A.8 B.6 C. 2 2 D. 3 2

7、某个命题与正整数有关,若当 n = k ( k ∈ N * ) 时该命题成立,那么可推得当

n = k + 1 时该命题也成立,现已知当 n = 5 时该命题不成立,那么可推得( D )
A.当 n = 6 时,该命题不成立 C.当 n = 4 时,该命题成立 B.当 n = 6 时,该命题成立 D.当 n = 4 时,该命题不成立

8、 已知函数 f ( x) 的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,f ′( x) 为 f ( x) 的导函数, 函数 y = f ′( x) 的图象如图所示,且 f (?2) = 1 , f (3) = 1 ,则 不等式 f ( x 2-6) > 1 的解集为( D )

A. ( 2,3) U (-3, -2) C. ( 2,3)

( ) D. ( ?∞, ? 2 ) U (
B. ? 2, 2

2, +∞

)
) D. 1

9、 设曲线 y = x n + 1 ( n ∈ N * ) 在点 1 , ) ( 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn , 则 log 2010 x1 + log 2010 x2 + L + log 2010 x2009 的值为( A. ?1 B. ? log 2010 2009 A

C. (log 2010 2009) ? 1

10、计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 ? 9 和字母 A ? F 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 0 0 8 8 1 1 9 9 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 A ) 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E + D = 1B ,则 A × B = ( A. 6E B. 72 C. 5F D. B 0

90分 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
将答案写在答题纸上) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分,将答案写在答题纸上) 填空题( 1 π 1 2 11、 ∫ ? 1 ? ( x ? 1 ) ? x ?dx = . ? ? ? 0 ? ? 4 2 12、不等式 x ? 1 + x ? 2 < 2 的解集是 13、设 x ≥ 1 ,则函数 y =
( x + 2 )( x + 3) 的最小值是 x +1

.

? 1 ?x < x < ? 2

5? ? 2?

.6

, 则复数 m + pi 14、 关于 x 的不等式 mx 2 ? nx + p > 0 (m、n、p ∈ R) 的解集为 (?1 2) ,

所对应的点位于复平面内的第

象限.二

15、在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角 三角形,按图所标边长,由勾股定理有: c 2 = a 2 + b 2 . 设想正方形换成正 方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三 棱锥 O—LMN,如果用 s 1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积, s 4 表示截面面积,那 么你类比得到的结论是 .
2 2 2 s4 = s12 + s2 + s3

个小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 解答题( 演算步骤) 演算步骤) 16、 (本题满分 12 分)已知复数 z 满足: z = 1 + 3i ? z , 求 (1 + i )2 (3 + 4i )2 的值. 2z

解:设 z = a + bi, (a, b ∈ R) ,而 z = 1 + 3i ? z , 即 a 2 + b 2 ? 1 ? 3i + a + bi = 0 ? a 2 + b 2 + a ? 1 = 0 ? a = ?4 ? ?? , z = ?4 + 3i 则? ?b = 3 ?b ? 3 = 0 ?

(1 + i )2 (3 + 4i ) 2 2i (?7 + 24i ) 24 + 7i = = = 3 + 4i 2z 2(?4 + 3i ) 4?i 17、 (本题满分 12 分)求由 y 2 = 4 x 与直线 y = 2 x ? 4 所围成图形的面积. y ? y2 = 4x 解:由 ? 得交点坐标为 (1, ?2), (4, 4) ,如图 ? y = 2x ? 4 B ( 4,4 ) (或答横坐标) 方法一:阴影部分的面积 1 4 C(2,0 ) S = 2 2 xdx + [2 x ? (2 x ? 4)]dx



0



4 4 4 = 2( x ) |1 + ( x ? x 2 + 4 x) |1 0 3 3 =9

3 2

1 3 2

0

x

A(1, ?2)

方法二:阴影部分的面积 S = ∫ (

y + 4 y2 ? )dy ?2 2 4 1 2 1 3 4 = ( y + 2 y ? y ) |?2 = 9 4 12 方法三:直线与 x 轴交点为(2,0)所以阴影部分的面积
4

S = ∫ 2 xdx ? ∫ (2 x ? 4)dx ? ∫ (?2 x )dx ? ∫ (2 x ? 4)dx
0 2 0 1

4

4

1

2

4 4 4 2 = ( x ) |0 ?( x 2 ? 4 x) |4 + ( x ) |1 ?( x 2 ? 4 x) |1 = 9 2 0 3 3 1 18、 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=3x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象

3 2

3 2

在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-3=0.
(1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间[-2,4]上的最大值. [解析] (1)f′(x)=x2-2ax+a2-1,

∵(1,f(1))在 x+y-3=0 上,∴f(1)=2,
1 ∵(1,2)在 y=f(x)上,∴2=3-a+a2-1+b,

又 f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,

8 解得 a=1,b= . 3 1 8 (2)∵f(x)=3x3-x2+3,∴f′(x)=x2-2x, 由 f′(x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点,所以有 x f′(x) f(x) (-∞,0) + 0 0 极大值 (0,2) - ? 2 0 极小值 (2,+∞) + ?

所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2). 8 4 ∵f(0)=3,f(2)=3,f(-2)=-4,f(4)=8, ∴在区间[-2,4]上的最大值为 8. 19、 (本题满分 12 分)已知 a , b , c 均为实数,且 a = x 2 ? 2 y +
b = y2 ? 2z +

π
2

,

,求证: a , b , c 中至少有一个大于 0 。 3 6 证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ≤ 0, b ≤ 0, c ≤ 0 ,得 a + b + c ≤ 0 , 而 a + b + c = ( x ? 1)2 + ( y ? 1)2 + ( z ? 1) 2 + π ? 3 ≥ π ? 3 > 0 , 即 a + b + c > 0 ,与 a + b + c ≤ 0 矛盾, ∴ a, b, c 中至少有一个大于 0 。 20、 (本题满分 13 分)一种计算装置,有一数据入口 A 和一个运算出口 B ,按 照某种运算程序: 1 1 ; ①当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到 ,记为 f (1) = 3 3 ②当从 A 口输入自然数 n ( n ≥ 2 ) 时,在 B 口得到的结果 f ( n ) 是前一个结果

π

, c = z2 ? 2x +

π

f ( n ? 1) 的

2 ( n ? 1) + 3

2 ( n ? 1) ? 1

倍.

试问:当从 A 口分别输入自然数 2 ,3 ,4 时,从 B 口分别得到什么数? 试猜想 f ( n ) 的关系式,并证明你的结论. 2n ? 3 f ( n ? 1) ( n ≥ 2, n ∈ N ? ) 解:由已知得 f ( n ) = 2n + 1 4?3 1 1 1 × f (1) = × = , 当 n = 2 时, f ( 2 ) = 4 +1 5 3 15 1 1 同理可得 f ( 3) = , f ( 4 ) = 35 63 猜想 f ( n ) =

( 2n ? 1)( 2n + 1)

1

( ?)

下面用数学归纳法证明 ( ?) 成立

①当 n = 1, 2, 3, 4 时,由上面的计算结果知 ( ?) 成立 ②假设 n = k ( k ≥ 4, k ∈ N
?

) 时, (?) 成立,即 f ( k ) = ( 2k ? 1)( 2k + 1)
1 2k ? 1 2k ? 1 1 f (k ) = ? 2k + 3 2k + 3 ( 2k ? 1)( 2k + 1)



那么当 n = k + 1 时, f ( k + 1) = 即 f ( k + 1) =

1 ? 2 ( k + 1) ? 1? ? 2 ( k + 1) + 1? ? ?? ?

∴ 当 n = k + 1 时, (?) 也成立
综合①②所述,对 ?n ∈ N ? , f ( n ) = 21、 (本题满分 14 分)设 x1 , x2 是 f ( x ) = 值点, f ( x ) 的导函数是 y = f ′ ( x ) (Ⅰ)如果 x1 < 2 < x2 < 4 ,求证: f ′ ( ?2 ) > 3 ;

( 2n ? 1)( 2n + 1) 成立.

1

a 3 b ?1 2 x + x + x ( a, b ∈ R, a > 0 ) 的两个极 3 2

(Ⅱ)如果 x1 < 2, x2 ? x1 = 2 ,求 b 的取值范围 ; (Ⅲ)如果 a ≥ 2 ,且 x2 ? x1 = 2, x ∈ ( x1 , x2 ) 时,函数 g ( x ) = f ′ ( x ) + 2 ( x ? x2 ) 的最小值为 h ( a ) ,求 h ( a ) 的最大值。 (I)证明: f ′ ( x ) = ax 2 + ( b ? 1) x + 1
x1 , x2 是方程 f ′ ( x ) = 0 的两个根

? f ′ ( 2 ) < 0 ? 4a + 2b ? 1 < 0 ? ? 由 x1 < 2 < x2 < 4 且 a > 0 得 ? ?? ? f ′ ( 4 ) > 0 ?16a + 4b ? 3 > 0 ? ?

(1) (2)

(1) × ( ?3) + ( 2 ) 得 4a ? 2b > 0 ∴ f ′ ( ?2 ) = 4a ? 2 ( b ? 1) + 1 = 4a ? 2b + 3 > 3
b ?1 ? x1 + x2 = ? ? ? a (Ⅱ)解:由第(1)问知 ? 由 x1 ? x2 ≠ 0 ,两式相除得 1 ? x ?x = 1 2 ? a ? x +x 1 1 1 1 即 b = ? ? +1 ? ( b ? 1) = 1 2 = + x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 1 ①当 0 < x1 < 2 时,由 x1 ? x2 = > 0 ? x2 > 0 ∴ x2 ? x1 = 2 即 x2 = x1 + 2 a 1 1 ∴b = ? ? + 1 , x1 ∈ ( 0, 2 ) x1 x1 + 2

1 1 1 1 令函数 ? ( x ) = ? ? + 1( x > 0 ) ,则 ? ′ ( x ) = 2 + >0 x x+2 x ( x + 2 )2

∴? ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上是增函数

1 1 1 1 ,即 b < ∴ 当 x1 ∈ ( 0, 2 ) 时, b = ? ( x1 ) < ? ( 2 ) = ? ? + 1 = 2 4 4 4 ②当 ?2 < x1 < 0 时, x2 < 0 ∴ x1 ? x2 = 2 即 x2 = x1 ? 2
∴b = ? 1 1 ? + 1, x1 ∈ ( ?2, 0 ) x1 x1 ? 2 1 1 + 1( x < 0 ) 则同理可证ψ ( x ) 在 ( ?∞, 0 ) 上是增函数 令函数ψ ( x ) = ? ? x ( x ? 2) 7 4 1? ?7 ? ? 综①②所述, b 的取值范围是 ? ?∞, ? ∪ ? , +∞ ? 4? ?4 ? ? ′ ( x ) = 0 的两个根是 x1 , x2 ,∴ 可设 f ′ ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) (Ⅲ)解:Q f 2? ? ∴ g ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) + 2 ( x ? x2 ) = a ( x ? x2 ) ? x ? x1 + ? 10 分 a? ? 2 Q x ∈ ( x1 , x2 ) ∴ x ? x2 < 0, x ? x1 > 0 又 a ≥ 2 ∴ x ? x1 + > 0 a 2? 2? ? ? ∴ g ( x ) = a ( x ? x2 ) ? x ? x1 + ? = a ( x2 ? x ) ? x ? x1 + ? a? a? ? ?

∴ 当 x1 ∈ ( ?2, 0 ) 时, b = ψ ( x1 ) > ψ ( ?2 ) =

2? ? ? x2 ? x1 + a ? 1 2 1 ≤ a? ? = a (1 + ) = a + + 2 2 a a ? ? ? ? 1 g(x) ≥ ?(a + + 2) a 2 x +x 1 1 当且仅当 x2 ? x = x ? x1 + ,即 x = 1 2 ? = x1 + 1 ? 时取等号 a 2 a a 1 1 ∴ h ( a ) = ?(a + + 2) ( a ≥ 2 ) 当 a ≥ 2 时, h′ ( a ) = ?(1 ? 2 ) < 0 a a ∴ h ( a ) 在 [ 2, +∞ ) 上是减函数 ∴ h ( a ) max = h ( 2 ) = ? 9 2

2


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