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广西南宁市、梧州市2017届高三上学期摸底联考试理数试题Word版含答案.doc


理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 3或x ? 1 , B ? ?x 2 ? x ? 4? ,则 ? CR A? ? B ? ( A. ?1 ,3? B. ?1 ,4 ? C. ? 2 ,3? D. ? 2 ,4 ? )

?

?



2.设 i 是虚数单位,如果复数 A.

a ?i 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 a 的值为( 2?i
C .3 D . ?3 )

1 3

B. ?

1 3

3.若 a ? ? 2 , 1? , b ? ? ?1 , 1? , ? 2a ? b ? ∥ ? a ? mb ? ,则 m ? ( A.

1 2

B.2

C. ?2

D. ? )

1 2

1 ?? ? 4.若 cos ? ? a ? ? ? ,则 cos ?? ? 2a ? ? ( 3 ?2 ?

A. ?

4 2 9
6

B. ?

7 9

C.

7 9

D.

4 2 9

1 ? ? 7 5.在 ? 2 x 2 ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是( x? ?



A.60

B.160

C.180 )

D.240

6.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2 ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x2 ? 4 ,则 x ? 2 ” B.命题“ ?x ? R ,x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 D.若“ p 或 q ”为真命题,则 p , q 至少有一个为真命题 7.直线 y ? kx ? 3 被圆 ? x ? 2? ? ? y ? 3? ? 4 截得的弦长为 2 3 ,则直线的倾斜角为(
2 2



A.

? 5? 或 6 6

B. ?

? ? 或 3 3

C. ?

? ? 或 6 6

D.

? 6

8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球, 下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正 (主) 视图和侧(左)视图如图 1 所示,则此几何体的表面积是( )

A. 4 ? 2 ?

?

?

B. 6? ? 2 2?

C. 6? ? 2?

D. 8 ? 2 ? )

?

?

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输出的结果是 A.3 B.4 C.5 D.6

15 ,则输入的 a 为( 16

10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的体积为 ( )

A.

243? 16

B.

81? 16

C.

81? 4

D.

27? 4

11.给出定义:设 f ' ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的导函数, f '' ? x ? 是函数 f ' ? x ? 的导函数,若方程
f '' ? x ? ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ? x0 , f ? x0 ?? 为函数 y ? f ? x ? 的“拐点”.已知函数 f ? x ? ? 3x ? 4sin x ? cos x 的拐点是 M ? x0 , f ? x0 ?? ,则点 M (



A.在直线 y ? ?3 x 上 D.在直线 y ? 4 x 上 12.已知椭圆

B.在直线 y ? 3x 上

C.在直线 y ? ?4 x 上

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 且与 x 轴垂直的直线交 a 2 b2

椭圆于 A 、 B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C ,若 S△ ABC ? 3S△BCF2 ,则椭圆的离心 率为( )

A.

5 5

B.

3 3

C.

10 5

D. 第Ⅱ卷

3 3 10

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?x ? y ? 0 ? 13.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?y ? 0 ?



14.在 ? ?4 ,3? 上随机取一个数 m ,能使函数 f ? x ? ? x2 ? 2mx ? 2 在 R 上有零点的概率 为 .

? ?? ? 15.函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0 , ? ? ? ? ? 的部分图象如图 3 所示,则 f ? x ? 的图象 2 2? ?
可由函数 g ? x ? ? 2sin ? x 的图象至少向右平移 个单位得到.

3 16.已知 △ ABC 中,角 B , C , A 成等差数列,且 △ ABC 的面积为 1 ? 2 ,则 AB 边的最小 2
值是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n?1 ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? … ? log 2 an ,求使 ? n ? 8? bn ? nk 对任意 n ? N * 恒成立的实数 k 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件, 测量这些产品的质量指标值, 由测量结果得到如
85? 内的频 图 4 所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55 ,65? ,?65 ,75? ,?75 ,

率之比为 4 : 2 :1 .

(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间 ?75 ,85? 内的频率; (Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产品中质量 指标值位于区间 [45 ,75) 内的产品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图 5,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60? ,△ PAB 是边长为 a 的 正三角形,且平面 PAB ? 平面ABCD ,已知点 M 是 PD 的中点.

(Ⅰ)证明: PB ∥平面AMC ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知点 C 的坐标为 ?1 ,0 ? , A , B 是抛物线 y 2 ? x 上不同于原点 O 的相异的两个动点,且
??? ? ??? ? OA ? OB ? 0 .

(Ⅰ)求证:点 A ,C ,B 共线;

???? ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)若 AQ ? ?QB ? ? ? R ? ,当 OQ ? AB ? 0 时,求动点 Q 的轨迹方程.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x2 ? x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

?a ? (Ⅱ)证明当 a ? 2 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? ? 1? x 2 ? ax ? 1 恒成立; ?2 ?
2 (Ⅲ)若正实数 x1 ,x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x12 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 3 ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 是参数) ,以原点 O 为极点, ? ? y ? 2 ? t sin ?

?? ? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 4 2 ? sin ? ? ? ? ? 4 . 4? ?
(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A ,B 两点,求 AB 的最大值和最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 2 x ? 2 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2017 届高三毕业班摸底联考 理科数学参考答案 一、选择题 1.C ∵ A ? ?x ? 3或x ? 1? ,∴ CR A ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ?x 2 ? x ? 4? , 则 ?CR A? ? B ? ?x 2 ? x ? 3? ? ? 2 ,3? ,故应选 C. 2.C ∵ 又复数 ∴
a ? i ? a ? i ?? 2 ? i ? ? 2a ? 1? ? ? a ? 2 ? i 2a ? 1 a ? 2 ? ? ? ? i, 2?i 5 5 5 5

a ?i 的实部与虚部是互为相反数, 2?i

2a ? 1 a ? 2 ? ? 0 ,∴ a ? 3 .故选应 C. 5 5

3.D 由已知, 2a ? b ? ?3 ,3? , a ? mb ? ? 2 ? m , 1 ? m? ,又 ? 2a ? b ? ∥ ? a ? mb ? ,

1 所以 2 ? m ? 1 ? m ,即 m ? ? . 2
故应选 D.
1 1 ?? ? 4.B ∵ cos ? ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? , 3 3 ?2 ?

7 ? 1? ∴ cos ?? ? 2? ? ? ? cos 2? ? 2sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? . 9 ? 3?

2

故应选 B. 5.D 二项式的通项公式为 Tk ?1 ? C ? 2 x
k 0 2 6?k

?

5 ? 1 ? k 12 ? k k 6? k 2 ? ? C 2 ? 1 x , ? ? 0 ? ? x? ?

k

5 2 4 令 12 ? k ? 7 ,则 k ? 2 ,所以含 x7 的项的系数是 C6 2 ? 240 . 2
故应选 D. 6.D 命题“若 x2 ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x2 ? 4 ,则 x ? 2 ”所以 A 错误;命题

“ ?x ? R ,x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”,所以 B 错误;命题“若 x ? y , 则 sin x ? sin y ”正确,则它的逆否命题也正确,所以 C 错误;“若 p 或 q ”为真命题,根据复 合命题 p 或 q 的真值表,则 p , q 至少有一个为真命题,故 D 为真.故应选 D. 7.A 由题知:圆心 ? 2 ,3? ,半径为 2. 所以圆心到直线的距离为 d ? 22 ? 得? ?

? 3?

2

? 1 .即 d ?

2k 1? k
2

? 1 ,∴ k ? ?

3 ,由 k ? tan ? , 3

?
6



5? .故应选 A 选 6

8.C 圆柱的侧面积为 S1 ? 2? ? 1? 2 ? 4? ,半球的面积为 S2 ? 2? ?12 ? 2? , 所以几何体的表面积为 S ? S1 ? S2 ? S3 ? 6? ? 2? .故应选 C. 9.B 由程序框图知:算法的功能是求 S ?
n ?1

1 1 1 ? 2 ? … ? n 的值, 1 2 2 2

1 ?1? ?? ? 2 ?2? ∵S ? 1 1? 2

? 1 ? 15 ?1? ? ? ? . ? 2 ? 16

n

∴n ? 4, ∴跳出循环的 n 值为 4, ∴判断框的条件为 n ? 4 ,即 a ? 4 ,故应选 B. 10.A 设球的半径为 R , ∵棱锥的高为 4, 底面边长为 2, ∴ R2 ? ? 4 ? R ? ?
2

, ? 2 ? ,∴ R ? 9 4
2

4 ? 9 ? 243 ? .故应选 A. ∴球的体积为 V ? ? ? ? ? 3 ?4? 16

3

11.B

f ' ? x ? ? 3 ? 4cos x ? sin x , f '' ? x ? ? ?4sin x ? cos x ? 0 ,4sin x0 ? cos x0 ? 0 ,所以

f ? x0 ? ? 3x0 ,

故 M ? x0 , f ? x0 ?? 在直线 y ? 3x 上.故应选 B. 12.A
0? , F2 ? c ,0? , 设椭圆的左、右焦点分别为 F1 ? ?c ,
? b2 ? b2 ,可设 A ? ?c , ? ,C ? x ,y ? , S△ ABC ? 3S△BCF2 , a? a ?

由 x ? ?c ,代入椭圆方程可得 y ? ?

???? ? ???? ? ? b2 ? b2 可得 AF2 ? 2F2C ,即有 ? 2c , ? ? ? 2 ? x ? c ,y ? ,即 2c ? 2x ? 2c , ? ? 2 y , a? a ?
可得 x ? 2c ,y ? ? 由e ?

4c2 b2 b2 ,代入椭圆方程可得, 2 ? 2 ? 1 , 2a a 4a

5 c 1 ? e2 ,故应选 A. ,b2 ? a 2 ? c2 ,即有 4e2 ? ? 1 ,解得 e ? 5 a 4

二、填空题 13. ?

1 2

做出不等式组表示的可行域如图所示,作出直线 l0 ,

1? 1 1 1 ?1 平移直线 l0 ,当经过 B ? , ? 时,目标函数值最小,最小值为 ? 2 ? ? ? . 2? 2 2 2 ?2

14.

3 7

若 f ? x ? ? x2 ? 2mx ? 2 有零点,则 ? ? 2m2 ? 8 ? 0 ,解得 m ? 2 或 m ? ?2 ,

由几何概型可得函数 y ? f ? x ? 有零点的概率 P ? 15.

3 . 7

3 5? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,解得 T ? ? ,由 T ? 由图象可得, T ? ? ? 得? ? 2 . 4 12 ? 3 ? ? 5? ? 5? ? ? ? ,2 ? ,所以 2sin ? 2 ? ??? ? 2 , 因为图象过点 ? 12 ? 12 ? ? ?

? 6



5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ,得 ? = ? ? 2k? ? k ? Z ? ,由 ? ? ? ? ,得 ? ? ? , 6 2 3 2 2 3 ? ? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ,所以将 g ? x ? ? 2sin 2x 的图象向右平移 个单位得到函数 3? 6 ?

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
16.2 ∴C ?

3 ∵ B , C ,A 成等差数列,∴ A ? B ? 3C ,又∵ A ? B ? C ? ? , 2

?

1 ,∴由 S△ ABC ? ab sin C ? 1 ? 2 得 ab ? 2 2 ? 2 , 4 2

?

?

∵ c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? 2ab ,及 a 2 ? b2 ? 2ab , ∴ c 2 ? 2 ? 2 ab ? 4 ,解得: c ? 2 , ∴ c 的最小值为 2. 三、解答题

?

?

17.(Ⅰ)因为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,所以 Sn?1 ? 2n ? 2 ,? n ? 2 ? .……………………2 分 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n ,…………………………4 分 又 a1 ? S1 ? 22 ? 2 ? 2 ,满足上式………………………………5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n n ? N * …………………………6 分 (Ⅱ) bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? … ? log 2 an ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? 由 ? n ? 8? bn ? nk 对任意 n ? N * 恒成立,即使 分
n ? n ? 1? 2

?

?

?

?

……8 分

? n ? 8 ?? n ? 1?
2

? k 对 n ? N * 恒成立,…………10

解得 x ? 0.05 , 所以区间 ?75 ,85? 内的频率为 0.05 ………………………………5 分 (Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n ,p ? ,其中 n ? 3 ,………………………………6 分 由(Ⅰ)得区间 ? 45 ,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.6 , 将频率视为概率得 P ? 0.6 .……………………………………………………7 分 因为 X 的所有可能取值为 0 ,1 ,2 ,3 ,
0 且 P ? X ? 0? ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 ; 1 P ? X ? 1? ? C3 ? 0.61 ? 0.42 ? 0.288 ; 2 P ? X ? 2? ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 3 P ? X ? 3? ? C3 ? 0.63 ? 0.40 ? 0.216 ………………………………10 分

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

………………………………………………11 分 所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1 ? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 .(或直接根据二项 分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )…………………………12 分 19.证明: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于 O ,连接 OM , 因为 ABCD 为菱形, OB ? CD ,所以 OM ∥ PB ,……………………………………2 分 由直线 PB 不在平面 AMC 内, OM ? 平面AMC ,………………………………3 分 所以 PB ∥平面ACM .…………………………………………4 分 (Ⅱ)取 AB 的中点 N ,连接 PN , ND ,则 ?AND ? 90? ,

分别以 NB ,ND ,NP 为 x , y, z 轴建立空间直角坐标系,……………………6 分

? ? ? ? 3 3 ?a ? ? a ? 则 B ? ,0 ,0 ? , C ? , A ? ? ,0 ,0 ? , D ? a , a ,0 ? 0 , a ,0 ? ? ? ? ?, 2 2 ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? P? ? 0 ,0 , 2 a ? ?,M ? ?0 , 4 a , 4 a? ?, ? ? ? ?
???? ? 3 ? ?a ? ???? 3 3 3 ? 则 AC ? ? ,………………………………7 分 a , a , 0 , AM ?? , a , a? ? ?2 ? ? 2 4 4 ? ? ? ?2 ?
设平面 AMC 的法向量为 n ? ? x ,y ,z ? ,

?3 3 ay ? 0 ? ax ? ?2 2 则? ,………………………………………………………………8 分 3 3 ?a x? ay ? ax ? 0 ? ?2 4 4
令 y ? 3 ,则 x ? ?1 , z ? ?
3 , 3

? 3? 即n?? ? 1 , 3 , ? ? ,………………………………………………10 分 ? 3 ? ? ? ??? ? ? a ? 3 又 BD ? ? ? ? 2 , 2 a ,0 ? ?, ? ?

设直线 BD 与 n 所成的角为 ? ,则 cos? ?

??? ? n ? PB 2 39 , ??? ? ? 13 n PB
2 39 .………………………………12 分 13

故直线 PD 与平面 AMC 所成角的正弦值为

2 20.(Ⅰ)设 A t12 , t1 ? 0 , t2 ? 0? ,则 t1 , B t2 , t2 , ?t1 ? t2 ,

?

?

?

?

??? ? ??? ? 2 OA ? ?t12 , t1 ? ,OB ? ?t2 , t2 ? ……2 分
??? ? ??? ? 2 因为 OA ? OB ? 0 ,所以 t12t2 ? t1t2 ? 0 ,又 t1 ? 0 ,t2 ? 0 ,所以 t1t2 ? ?1 ,……………………4



??? ? ??? ? 2 因为 AC ? 1 ? t12 ,? t1 ,BC ? 1 ? t2 ,? t2 ,

?

?

?

?

2 2 且 t2 1 ? t12 ? t1 1 ? t2 ? ?t2 ? t1 ? ? t2t12 ? t1t2 ? ?t2 ? t1 ??1 ? t1t2 ? ? 0 ………………………………6

?

? ?

?


???? ??? ? 所以 AC ∥ BC ,又 AC , CB 都过点 C ,所以三点 A ,B ,C 共线.…………………………7

分 (Ⅱ)由题意知,点 Q 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足,又定点 C 在直线 AB 上,

???? ??? ? ?OQB ? 90? ,所以设动点 Q ? x ,y ? ,则 OQ ? ? x , y ? , CQ ? ? x ? 1 , y? ,
???? ??? ? 又 OQ ? CQ ? 0 ,……………………………………8 分
1? 1 ? 所以 x ? x ? 1? ? y ? 0 ,即 ? x ? ? ? y 2 ? ? x ? 0 ? ,……………………11 分 2? 4 ?
2
2

1? 1 ? 动点 Q 的轨迹方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? x ? 0 ? ,……………………12 分 2 4 ? ?

2

21.(Ⅰ) f ' ? x ? ?

1 ?2 x2 ? x ? 1 ? 2x ? 1 ? ? x ? 0? ,由 f ' ? x ? ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,……2 分 x x

又 x ? 0 ,所以 x ? 1 ,所以 f ? x ? 的单调减区间为 ?1 , ? ? ? ,函数 f ? x ? 的增区间是

? 0 ,1? .……4 分
?? a ? ? 1 (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ?? ? 1? x 2 ? ax ? 1? ? ln x ? ax 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 , 2 ?? 2 ? ?

所以 g ' ? x ? ?

?ax 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 1 ? ax ? ?1 ? a ? ? .………………………………5 分 x x

因为 a ? 2 ,
1? ? a ? x ? ? ? x ? 1? a? 所以 g ' ? x ? ? ? ? , x
1? 1 ? ?1 ? ,所以当 x ? ? 0 , ? , g ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ? ? ? 时, g ' ? x ? ? 0 . a? a ? ?a ? 1? ? ?1 ? 因此函数 g ? x ? 在 x ? ? 0 , ? 上是增函数,在 x ? ? , ? ? ? 是减函数.………………6 分 a a ? ? ? ?

令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

故函数 g ? x ? 的最大值为
1 ?1? ?1? 1 ?1? ?1? g ? ? ? ln ? ? ? a ? ? ? ? ?1 ? a ? ? ? ? ? 1 ? ? ln a .………………………………7 分 a a 2 a a 2 a ? ? ? ? ? ? ? ?
2

1 ? 1 ? 令 h ? a ? ? ? ? ? ln a ,因为 h ? 2? ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h ? a ? 在 a ? ? 0 ,? ?? 上是减函 4 ? 2a ?
数,………………8 分 所以当 a ? 2 时, h ? a ? ? 0 ,即对于任意正数 x 总有 g ? x ? ? 0 ,
?a ? 所以关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? ? 1? x 2 ? ax ? 1 恒成立.……………………………………9 分 ?2 ?
2 (Ⅲ)由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x12 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,即

?

?

2 ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,

从而 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ln ? x1 ? x2 ? .…………………………………………10 分
2

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? ? t ? ? t ? ln t 得,? ' ? t ? ?

t ?1 ,可知,? ? t ? 在区间 ? 0 , 1? 上单调递减,在 t

区间 ?1 , ? ? ? 上单调递增.……………………………………11 分 所以 ? ? t ? ? ? ?1? ? 1 ,所以 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 1,又 x1 ? x2 ? 0 ,
2

因此 x1 ? x2 ?

5 ?1 成立.…………………………12 分 2

22.(Ⅰ)对于曲线 C2 有 ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? ? 4 ,即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ,因此曲线 C2 的 直线坐标方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 ,其表示一个以 ? 2 ,2 ? 为圆心,半径为 2 的
2 2

圆.……………………5 分 (Ⅱ)曲线 C2 是过点 P

?

3 ,2 的直线,由

?

?

3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 知点
2

?

2

?

3 ,2 在曲线 C2

?

内,所以当直线 C1 过圆心 ? 2 ,2 ? 时, AB 的最大值为 4.……………………………………7

分 当 AB 为过点

?

3 ,2 且与 PC2 垂直时, AB 最小, PC2 ?

?

3 ? 2 ? 2 ? 3 ,最小值为

d ?2 4? 2? 3

?

?

2

? 2 ?3 ? 4 3 .…………………………………………10 分

23.(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ,………………………………3 分 解得 x ?

1 .…………………………………………5 分 2

(Ⅱ) f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? ? x ? a ? ? a ? 2 ,……………………7 分 若 f ? x ? ? 2 恒成立,只需 a ? 2 ? 2 , 即 a ? 2 ? 2 或 a ? 2 ? ?2 ,…………………………9 分 解得 a ? 0 或 a ? ?4 .…………………………10 分


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