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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第41课 数列的概念与简单表示法课件 文


考纲要求
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通 项公式) . 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

知识梳理
1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数就称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项 间的大小 递减数列 常数列 周期数列 其他 摆动数列 满足条件 项数有限 项数无限

an ? an?1 an ? an?1 an ? an?1
存在 T ? N ,恒有 an?T ? an 成立
*

其中 n ? N

*

an 的符号正负相间

3.数列的通项公式 如果数列 {an } 的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个公式来 表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4.数列 {an } 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系

n ?1 ? S1 , . an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

基础自测
1.数列 3,5,9,17,33, …的通项公式 an 等于( A. 2
n



B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1
n

D. 4 ? 1
n

【答案】B

2.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( A. 15 C. 49 B. 16 D. 64



【答案】A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 .

3.数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列 {an } 各项中最小项 是( ) B.第 5 项 D.第 7 项

A.第 4 项 C.第 6 项

【答案】B

4.已知数列 1, 3, 5, 7 ,…, 2n ?1 ,…,则 3 5 是它的( A.第 22 项 C.第 24 项 B.第 23 项 D.第 28 项



【答案】B

典例剖析
考点1 由数列前几项探索数列的通项公式
【例 1】已知数列的前 4 项,写出它的通项公式:

1 1 1 (1) 1 , ? , , ? ,…; 2 3 4
(2) 2 , 0 , 2 , 0 ,…; (3) 1

1 4 9 16 , 2 ,3 , 4 ,…; 5 10 2 17

(4) 9 , 99 , 999 , 9999 ,….

(?1) n ?1 【解析】 (1) an ? ; n
(2) an ? (?1)n?1 ? 1 ;

n2 (3) an ? n ? 2 . n ?1
(4) an ? 10n ?1 .

8 15 24 , …,的一个通项公式是( 【变式】数列 ?1, , ? , 5 7 9



n2 n A. (?1) 2n ? 1

B. ( ?1)

n

n( n ? 2) n ?1 n( n ? 2) 2n ? 1

(n ? 2)2 ? 1 n C. (?1) 2(n ? 1)
【答案】D

D. ( ?1)

n

【解析】排除法:∵ a1 ? ?1 ,就可排除 A、B、C.

考点2 利用 Sn 与 an 的关系求通项公式
【例 2】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求该数列分别满足下列条件的一个通 项公式: (1) Sn ? 3n2 ? n ; (2) log2 (1 ? Sn ) ? n ? 1 .
【解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

? 3n2 ? n ? [3(n ?1)2 ? (n ?1)] ? 6n ? 2 .
∵ a1 ? 4 ? 6 ?1 ? 2 ,∴ an ? 6n ? 2 .

(2)由 log2 (1 ? Sn ) ? n ? 1 ,得 Sn ? 2n?1 ?1 , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,

?3, n ? 1 ∵ a1 ? 3 ? 2 ,∴ an ? ? n . ?2 , n ? 2
1

n? 【变式】 (2012 福建高考)数列 {an } 的通项公式 an ? n cos ,其前 n 项 2
和为 Sn ,则 S2012 ? ( A. 1006 ) C. 503 D. 0

B. 2012

【答案】A 【解析】∵函数 y ? cos

?
2

x 的周期是 4 ,

∴数列 {an } 的每相邻四项之和是一个常数 2, ∴ S 2012 ?

2012 ? 2 ? 1006 .故选 A. 4

考点3 用函数的思想来研究数列
【例 3】数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 ,都有

a1 ? a2 ? a3 ????? an ? n2 .
(1)求数列 {an } 的通项公式;

225 (2) 是否是数列中的项?若是,是第几项? 196
(3)比较 an 和 an ?1 的大小.

【解析】 (1)当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ????? an ? n2 , ∴ a1 ? a2 ? a3 … an?1 ? (n ?1)2 ,

n2 两式相除得 an ? , 2 (n ? 1)
?1,???????????n ? 1 ? ∴ an ? ? n 2 . ? (n ? 1) 2 , n ? 2 ?
n 15 n2 225 ? ,解得 n ? 15 , (2)令 ,∴ ? n ? 1 14 (n ? 1) 2 196 225 ∴ 是该数列的项,是第 15 项. 196

(3)∵ a1 ? 1 , a2 ? 4 ,∴ a1 ? a2 , 当 n ? 2 时,

(n ? 1)2 n2 1 ? 2n 2 an?1 ? an ? ? ? 2 ? 0, 2 2 2 n (n ? 1) n (n ? 1)
∴当 n ? 1 时, an ? an?1 , 当 n ? 2 时, an ? an?1 .

2 n? ? 【变式】 (2011 浙江高考)若数列 ?n(n ? 4)( ) ? 中的最大项是第 k 项, 3 ? ?
则 k ? ________.
【答案】 4 【解析】设 an ? n(n ? 4)( ) ,
n

2 3

2 k 2 k ?1 ? ?k (k ? 4)( 3 ) ? (k ? 1)(k ? 3)( 3 ) ? ak ? ak ?1 ? k 项,∴ ? ∵最大项是第 ,∴ ? , ak ? ak ?1 ? ?k (k ? 4)( 2 ) k ? (k ? 1)(k ? 5)( 2 ) k ?1 ? 3 3 ?
? k 2 ? 2k ? 9 ? 0 ? * ∴? 2 ,∴ 10 ? k ? 10 ? 1 ,∵ k ? N ,∴ k ? 4 . ? k ? 10 ?

归纳反思
1.求通项公式时,需要仔细观察数列的特征: ⑴分数中分子和分母的特点; ⑵各项的符号特征; ⑶相邻项的变化规律; ⑷拆项后的变化规律等.

n ?1 ? S1 , 2. Sn 与 an 的关系: an ? ? , ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
特别小心 n ? 1 的情形看是否符合通项公式.


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