kl800.com省心范文网

常见递推数列求通项公式的七种方法

学科探究 · 中学教学

常见递推数列求通项公式的七种方法
何发科
( 宕昌县第一中学 甘肃 陇南

748500 )

类 型 一 : 已 知 a1=a ,an+1-an=f(n)(n ∈N *) 型 , 可 用 累 加 法 求 an.

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ … +(an-an-1) =a1+f(1)+f(2)+ … f(n-1). 例 1. 已知数列 * 中 ,a1=2 ,an+1=an+n+2 , 求 an. an * ∵an+1=an+n+2 , ∴ 当 n≥2 时 ,an-an-1=n+1 , ∴a2-a1=3 ,a3-a2=4 ,a4-a3=5 ,…,an-an-1=n+1 , 把上列 n-1 个式子相加 , 得 an-a1=3+4+5+ … +n+1. ∴an=2+3+4+ … +n+1= [2+(n+1)]n = n(n+3) . 2 2 当 n=1 时 ,a1=2 也满足 .∴an= n(n+3) . 2 类 型 二 : 已 知 a1=a (a ≠0) ,an+1=f (n)· an 型 , 可 用 累 乘 法 求 an.
由 an+1=f(n) · an 可知 : a2 =f(1) , a3 =f(2) ,…, an =f(n-1).

a1

a2

an-1

把上面各项两边分别相乘 , 得 · · ·…· an=a1 f(1) f(2) f(n-1).(n≥2) 例 2. 设 * 是首项为 1 的 正 项 数 列 , 且 (n+1)an+12-nan2+ an ≠ 的通项公式 . an+1an=0 , 求数列 * an ≠ 解 :由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0 可得 :[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. 是正项数列 ,∴an+1+an>0. ∵* an ≠ ∴(n+1)an+1-nan=0 , 得 an+1 = n . an n+1 a a n n-1 又 an= · ·…·a2 · a1. an-1 an-2 a1 ·3 ·2 ·1 = 1 . = n-1 ·n-2 · ∧ n n-1 4 3 2 n 当 n=1 时 ,a1=1 也满足 ,∴an= 1 (n∈N*). n 类 型 三 : 已 知 a1=a ,an+1=can+d (c ≠0,c ≠1,d ≠0) 型 , 用 参 数法构造新数列 * 为等比数列 . an+λ ≠ 设 an+1+λ=c(an+λ) , 得 an+1=can+cλ-λ , 由 c λ -λ =d 得 λ = d , 则 * 是等比数列 . an+λ ≠ c-1 例 3. 若数列 * 满足 an+1= 1 an+1 , 且 a1=1 , 求通项 an. an ≠ 2 解 :λ= 1 =-2 ,∴ 在 an+1= 1 an+1 两边加 -2 , 得 :an+11 -1 2 2

是 以 a1-2=-1 为 首 项 , 1 为 公 比 2= 1 (an-2 ).∴ 数 列 * an-2 ≠ 2 2 的等比数列 . · ∴an-2=(-1) ( 1 )n-1, 即 an=2-( 1 )n-1. 2 2 当 n=1 时 ,a1=1 适合 an.∴an=2-( 1 )n-1 (n∈N*). 2 类 型 四 : 已 知 a1=a ,an+1=can+d (n) (c ≠1) 型 , 构 造 新 数 列 解决 . d(n) 是 关 于 n 的 函 数 , 在 an+1=can+d(n) 两 边 同 除 以 d (n) , 就化成类型三 , 就用类型三参数去解决 . 若在 an+1=can+d(n) 两 边同除以 cn+1 时 , 就化成类型一 , 就用类型一的类加法解决 . 例 4. 已 知 数 列 * 中 ,a1= 1 ,an+1+an=2n, 求 数 列 * 的 an ≠ an ≠ 3 通项公式 . +1 解法一 : 给已知 an+1+an=2n 两边同除以 2n+1, 得 an =- 1 2n+1 2 a a a n n n+1 · n +1. 令 bn= n , 则 bn+1= n+1 , 2 2 2 1 ∴bn+1=- bn+1 , 用 类 型 三 参 数 法 求 解 , 得 bn= 1 + 1 (2 3 3 1 )n. 2 n n ∴ an = 1 + 1 (- 1 )n, 得 an= 2 +(-1) . 2n 3 3 2 3 n n 当 n=1 时 ,a1= 1 也适合 .∴an= 2 +(-1) (n∈N*). 3 3 解 法 二 : 对 an+1+an=2n 两 边 同 除 以 (-1 )n+1, 得 (-1 )n+1an+1n (-1) an=-(-2)n. 令 bn=(-1)nan, 则 bn+1=(-1)n+1an+1, ∴bn+1-bn=-(-2)n. n 用类型一的累加法可得 ∴bn= 1+(-2) . 3 n n n 即 (-1 )nan= 1+(-2) .∴an= 2 +(-1) . 3 3 n n 当 n=1 时 ,a1= 1 也适合 . ∴an= 2 +(-1) (n∈N*). 3 3 类 型 五 : 已 知 a1=a (a ≠0) ,an+1= ban (b ≠0,c ≠0,d ≠ dan+c 0) 型 , 两边取倒数 , 构造新数列求解 . 例 5. 已知数列 * 中 ,a1=2 ,an+1= an , 求 数 列 * 的 an ≠ an ≠ 3an+1 通项公式 .

- 52 -

2009 年第 7 期

学科探究 · 中学教学

概率题典型错误类型及根源分析
— —— 从一道高考题谈概率 赵永刚
( 临洮中学 甘肃 定西

730500 )

(2007 全国卷 2 卷 ) 从某 批 产 品 中 , 有 放 回 的 抽 取 产 品 二次 , 每次随机抽取 1 件 . 假 设 事 件 A :“ 取 出 的 2 件 产 品 中 至多有 1 件是二等品 ” 的概率 P (A )=0.96. (1 ) 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 P ; (2 ) 若 该 批 产 品 共 100 件 , 从 中 任 意 抽 取 2 件 ,S 表 示 取出的 2 件产品中二等品的件数 , 求 S 的分布列 . 看到题目后同学们都以为很简单 , 但由于对 “ 至多 ”“ 互 斥 ” 等词语的含意拿捏不准确 , 以至出现错误 . 在日常教学中不仅要注意情景的设置更应注意概率中 基本概念的把握 , 注意题目中常见的词语的细微区别 , 下面 就概率中同学们容易出错的题目列举如下共同探讨 . 类型一 :“ 非等可能 ” 与 “ 等可能 ” 混同 例 1. 掷 两 枚 骰 子 , 求 事 件 A 为 出 现 的 点 数 之 和 等 于 3 的概率 . 错解: 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为:

错因分析 : 公式 P (A )= 事件 A 包含的基本事件数 基本事件的总数 此公式适用于等可能事件 , 而取数值 2 和 3 不是等可 能 的 , 数 值 2 只 有 在 (1 ,1 ) 情 况 下 才 出 现 , 而 3 的 出 现 有 (1 ,2 )、(2 ,1 ) 两 种 情 况 , 其 它 的 数 值 可 类 推 , 在 这 儿 把 非 等 可能误解为等可能 . 正 解 : 掷 两 枚 骰 子 可 能 出 现 的 情 形 为 :(1 ,1 ),(1 ,2 ), …,(1 ,6 ),(2 ,1 )(2 ,2 ), …,(2 ,6 ), …,(6 ,1 ),(6 ,2 ), …, (6 ,6 ), 结果总数为 6× 6=36. 在 这 些 结 果 中 , 事 件 A 包 含 的 结 果 有 (1 ,2 )、(2 ,1 ) 两 种 . 故 P (A )= 2 = 1 .

36

18

类型二 :“ 有序 ” 与 “ 无序 ” 混同 例 2. 从 10 件产品 ( 其中次品 3 件 ) 中 , 一件一件地不放 回地任意取出 4 件 , 求 4 件中恰有 1 件次品的概率 . 错解 : 因为第一次有 10 种取法 , 第二次有 9 种取法 , 第 三次有 8 种取法 , 第四次有 7 种取法 , 由乘法原理可知从

2 ,3 ,4 ,……,12 , 事件 A 的结果只有 3 , 故 P (A )= 1 . 11
解 :∵an+1=

10 件产品 ( 其中次品 3 件 ) 中 , 一件一件 地 不 放 回 地 任 意 取
类型七 : 在递推关系中 , 既含项 an, 又含前 n 项 和 Sn, 则

an ,∴ 两边取倒数 , 得 1 - 1 =3. 3an+1 an+1 an an

1 是以 1 = 1 为首项 ,3 为公差的等差数列 . an a1 2 1 1 ∴ = +(n-1)× 3= 6n-5 , ∴an= 2 . an 2 2 6n-5 类 型 六 : 已 知 a1=a ,a2=b (a ≠b) ,an+1=man+nan-1(m ≠0,n ≠ 0 ), 型 , 可用迭代法解决 . 例 6. 已知数列 an 满足 a1=1 ,a2=5 ,an+1=5an-4an-1(n≥2) , 求数列 an 的通项公式 an. 解 : 由已知 , 得 an+1-an=4(an-an-1) , ∴an+1-an=4(an-an-1)=4· 4(an-1-an-2)=43(an-2-an-3)= … =4n-1(a2n a1)=4 . 即 an+1-an=4n. ……………… ① 又由已知可得 an+1-4an=an-4an-1, ∴an+1-4an=an-4an-1=an-1-4an-2= … =a2-4a1=1. 即 an+1-4an=1. ……………………………… ② n ①-② 得 :an= 4 -1 , 3 n 当 n=1 ,2 时 ,a1=1 ,a2=5 适合上式 ,∴an= 4 -1 (n∈N*). 3 ∴

Sn,n=1 Sn-Sn-1. n≥2
例 7. 设数列 an 的前 n 项的和 Sn= 4 an- 1 ×2n+1+ 2 ,

3

3

3

n=1 ,2 ,3 ,…, 求首项 a1 与通项 an.
解 : 由 Sn= 4 an- 1 ×2n+1+ 2 ,……………… ①

3

3

3

得 a1=S1= 4 a1- 1 ×4+ 2 . 解得 a1=2. 3 3 3 由 ① 递推 , 得 Sn-1= 4 an-1- 1 ×2n+ 2 . ………… ②

3

3

3

①-② 得 :an=Sn-Sn-1= 4 (an-an-1)- 1 (2n+1-2n).(n≥2) 3 3
整理得 an+2n=4(an-1+2n-1).(n≥2)

∴ 数列 an+2n 是首项为 a1+2=4 , 公比为 4 的等比数列 . ∴an+2n=4×4n-1=4n,∴an=4n-2n.
当 n=1 时 ,a1=2 适合 ,∴an=4n-2n(n∈N*). ( 责任编辑 : 科 言)

2009 年第 7 期

- 53 -


九类常见递推数列求通项公式方法.doc

九类常见递推数列求通项公式方法 - 递推数列通项求解方法 类型一: 类型一: a

常见递推数列求通项公式的七种方法.pdf

常见递推数列求通项公式的七种方法 - 学科探究 中学教学 常见递推数列求通项公式的七种方法 何发科 ( 宕昌县第一中学 甘肃 陇南 748500 ) 类型一:已知 ...

求数列通项公式常用的七种方法.doc

求数列通项公式常用的七种方法_数学_自然科学_专业资料。求数列通项公式常用的...常见递推数列求通项公式... 1163人阅读 2页 1下载券 求数列通项公式的7...

常见递推数列求通项公式的七种方法_论文.pdf

常见递推数列求通项公式的七种方法 - 类型一:已知a1=a1an+1-an=f(

求递推数列通项的几种常见方法.ppt

递推数列通项的种常见方法 - 由递推公式求数列通项的种常见的方法 一:累加法 求形如 an ?1 ? an ? f (n)的通项,其中 { f (n)}的前n项...

九类常见递推数列求通项公式方法[1].doc

九类常见递推数列求通项公式方法[1] - 天下映 http://hi.b

由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法.doc

数列的递推公式的求数列通项公式几种常用方法 (宁波市北仑中学 竺君祥 315800) 已知递推数列求其数列通项公式,是一类常见的问题,也是教学中的一个难点....

常见递推数列通项公式的求法_图文.ppt

常见递推数列通项公式的求法 - 超级好的资料,保证是精品文档... 常见递推数列通项公式的求法 高考常考方法回顾: 1.累加法 2.累乘法 3.叠减法 4.构造法(待...

最全的递推数列求通项公式方法..doc

最全的递推数列求通项公式方法._数学_自然科学_专业资料。最全的递推数列求通项公式方法.,数列的递推公式,数列递推公式13种,数列递推公式求通项公式,周期数列...

常见递推数列通项的求法七种.doc

常见递推数列通项的求法七种 - 常见递推数列通项的求法 类型 1、 a n+1

求递推数列的通项公式的常用方法.doc

所属学科:理科数学 论文题目: 新课程中求简单递推数列通项公式的种方法 单位:株洲南方中学 姓名:邓小嘉 新课程中求简单递推数列通项公式的种方法新...

求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点).doc

求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)_数学_自然科学_专业资料。求递推数列的通项公式的种方法利用递推数列求通项公式, 在理论上和实践中...

八种求数列通项的方法 已知递推公式 求通项公式.doc

种求数列通项的方法 已知递推公式 求通项公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。很好 很全 很常用 适合考试的内容 八种求数列通项公式的方法 一、公式法 ...

常见递推数列求通项公式的七种方法.pdf

常见递推数列求通项公式的七种方法 - 学科探究 中学教学 常见递推数列求通项公式的七种方法 何发科 (宕昌县第一中学 甘肃 陇南 748500 ) 类型一 :已知 ...

由递推公式求通项公式的方法.doc

递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式, 求取其通项公式是数列中一类常见的题型, 这类题型如果单纯的 看某一个具体的题目,它的求解方法灵活是灵活多变...

几种求递推数列通项公式的常用方法_图文.pdf

种求递推数列通项公式的常用方法 - 维普资讯 http://www.cqvip.com 中学数学研究 2OO6 年第 3期 几种求递推数列通项公式的常 ...

2.8常见递推数列通项公式的求法_图文.ppt

2.8常见递推数列通项公式的求法 - 常见递推数列通项公式的求法 S1 (n=1) a = 公式法(利用an与Sn的关系 n Sn-Sn-1(n≥2) 或利用等差、等比数列的通...

常见递推数列通项公式的求法(说课稿).doc

常见递推数列通项公式的求法(说课稿) - 常见递推数列通项公式的求法(说课稿)

常见递推数列通项公式的求法_图文.ppt

常见递推数列通项公式的求法_高一数学_数学_高中...知 S n与an 及n 的关系式,求通项 an 方法总结...z ? a n 探究归纳: 例 7 求数列?a n ? 的...

九类常见递推数列求通项公式方法.doc

九类常见递推数列求通项公式方法 - 递推数列通项求解方法 类型一: 类型一: a