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黄冈市2013年高三年级3月份质量检测数学理及答案


黄冈市 2013 年高三年级 3 月份质量检测
数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 2?i 1.复平面内,复数 z ? 2013 ,则复数 z 的共轭复数 z 对应的点的象限 i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 A.—3 B.—2 C.—1 D.0 D.第四象限

3.如图 2 所示的韦恩图中,A、B 是两非零集合,定义集合 A ? B 为阴影部分表示的集合,

第1页

若 x, y ? R, A ? {x | y ? ln(2 x ? x )}, B ? { y | y ? e , x ? 0} ,则 A ? B 为
2 x

A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

B. {x | x ? 1或x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

4.若设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列四个命题中假命题的是 A.若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n C.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ? B.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 ? // ? , ? // ? , m ? ? , 则 m ? ?

5.高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲,乙相邻,则甲丙相邻 的概率为 A.

1 10

B.

1 4
2

C.

3 10

D.

2 5
2

6.有以下命题:①命题“ ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是: ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ” “ ; ②已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , P(? ? 4) ? 0.79, 则 P(? ? ?2) ? 0.21;
2

③函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;其中正确的命题的个数为
x

1

1 2

1 1 3 2

A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

7.已知 A,B,C,D 是函数 y ? sin(? x ? ?)(? ? 0, 0 ? ? ? 个点,如图所示, A(?

?
2

) 一个周期内的图象上的四

?
6

, 0), B 为 y 轴上的点,C 为图像上的最低点,E 为该函数图像的一个对
??? ?

称中心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 A. ? ? 2, ? ?

?
3

B. ? ? 2, ? ?

?
6

? ,则 ? , ? 的值为 12 1 ? 1 ? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 2 3 2 6

8.已知 O 为坐标原点,双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交 a 2 b2
???? ??? ??? ? ?

双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离心率 e 为 A.2 B.3 C. 2 D. 3

9.等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 (a1006 ? 1)3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1,

第2页

(a1008 ? 1)3 ? 2013(a1008 ? 1) ? ?1, 则
A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a 1006

10.已知 O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? , 若

? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2mAO, 则 m ? sin C sin B A. sin ? B. cos ? C. tan ?

D.不能确定

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、 填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题。每小题 5 分,共 25 分。 请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
(一) 必考题(11-14 题) 11.某校共有学生 1000 名,其中高一年级有 380 人,高二年级男生有 180 人,已知在全校 学生中制抽取 1 名,抽到高二年级的女生的概率为 0.19,现采取分层抽样(按年级分层)在全 校抽取 100 人,则应在高三年级抽取的人数是 .

? 1? ? 12.已知 a ? ? (1 ? 1 ? x )dx, 则 ?(a ? ) x ? ? 展开式中的常数项为 ?1 2 x? ?
1
6

2

.

? x, y ? 0 ?? ? 13.设 P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域内的任意一点,向量 m ? (1,1) , ? x? y ?3 ?
??? ? ?? ? ? n ? (2,1) ,若 OP ? ? m ? ? n ( ? , ? 为实数) 2? ? ? 的最大值为 ,则
14.已知椭圆 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), P( x, y ), Q( x?, y?) 是椭圆上两点,有下列三个不等式 a 2 b2
2

① a ? b ? ( x ? y) ; ②
2 2

1 1 1 1 xx? yy? ? 2 ? ( ? )2 ; ③ 2 ? 2 ? 1 .其中不等式恒成立的序号 2 x y a b a b



.(填所有正确命题的序号) (二) 选考题(请考生在第 15、16 题两题中任选一题作答,如 果全选,则按第 15 题结果计分) 15. (几何证明选讲)已知 C 点在⊙O 直径 BE 的延长线上,CA 切

第3页

⊙O 于 A 点,若 AB=AC,则

AC ? BC

.
2

16. (坐标系与参数方程)曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? sin ? , 曲线 C2 的参数方程为

?x ? 3 ? t ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上 ? ? y ? 1? t
的点最近的距离为 .

三、 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin (Ⅰ)若 f (? ) ?

??

3 2? ,求 cos( ? ? ) 的值; 2 3

? ?? ? x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ). 记 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(Ⅱ) 在△ABC 中, A、 C 的对边分别是 a 、b 、c , 角 B、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 若 f ( A) ?

1? 3 ,试判断△ABC 的形状. 2

18. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足

a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? 不等式 Tn ?

4 a
2 n ?1

?1

(n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n ? N * ,

m 恒成立,求实数 m 的最小值. 100

第4页

19. (本小题满分 12 分) “蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立 开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率 为

1 1 ,乙组能使生物成活的概率为 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成 3 2

活,则称该次试验是失败的. (Ⅰ)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率. (Ⅱ)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有 两次连续失败的概率. (Ⅲ)若甲乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ? ,求 ? 的期望.

20. (本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧 视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)求证:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设 ? 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sin ? 的值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1,并求

21. (本小题满分 13 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? 的方程为

BP 的值. PC

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 它的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x ? 4 上一点引椭圆 ? 2 a b 2
的两条切线,切点分别是 A、B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 ?

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 2 a b a b

证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标;

第5页

(Ⅲ)是否存在实数 ? 使得 | AC | ? | BC |? ? | AC | ? | BC | 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定 点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(Ⅰ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值.

a , x ,且 A(x1, y1), B( x 2 y 2)( x 1 ? 2) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点, ex 若对任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? (Ⅲ)求证: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n (n ? N * ) . e ?1

黄冈市 2013 年高三质量检测数学试题答案(理科)
一、选择题 ABDCB AACBA 二、11. 25 12. -160 13. 5 14. ①②③ 15.

3 3

16.

7 2 8

17.





第6页

?x ?? 1 x x x 3 x 1 x 1 f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? ??2分 ?2 6? 2 4 4 4 2 2 2 2 2
(I) 由已知 f ( ? ) ?

3 2? ?? ? ? 1 3 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 ? ? 4k? ? ,k ??, 2 3 ?2 6? 2 2
??6 分

∴ cos(

2? 2? ? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3

(Ⅱ) 根据正弦定理知:

? 2a ? c ? cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C
? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ?
∵ f ( A) ?

......8 分

1 ? ?B? 2 3
??10 分

1? 3 2

∴ sin ?

A ? ? 2? ? 2? ? A ? ? 1 1? 3 ? ?? ? ? ? ? 或 ? A ? 或? 而 0 ? A ? 2 2 6 3 3 3 3 ?2 6? 2



所以 A ? 18

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

(I)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d >0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7 d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②

由 ① 得 2a1 ? 16 ? 7 d 将 其 代 入 ② 得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 . 即
256 ? 9d 2 ? 220

? d 2 ?4 ,又 d ? 0 ,?d ?代入①得 1 a 2, ? an ?1 ?(n ? ) ? 2 ?n ? 1 1 2

? 1

??6 分

(Ⅱ)由(I)得 an ? 2n - 1
bn ? 4 a
2 n ?1

4 1 1 1 = ? ? ? 2 ? 1 (2n ? 1 ? 1 n?n ? 1? n n ? 1 )

Tn ? ( 1 ?

1 1 1 1 1 1 =1-) <1 ? (? ? ) ? ? ) ??? ( 2 2 3 n n ? 1 n ?1

第7页

??12 分 19. ( 1 ) 甲 小 组 做 了 三 次 实 验 , 至 少 两 次 试 验 成 功 的 概 率 为

m m 恒成立 ? ? 1 ? m ? 100 . 100 100 ? m 的最小值为 100 Tn ?

1 1 7 3 1 P( A) ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? C3 ( )3 ? 3 3 3 27
两次连续失败,其中各种可能的情况种数 A4 ? 12 ,
2

??3 分

(2)乙小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有

因此所求的概率 P(B) = ?12 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? ? 2 2 ? 2 32 ? (3)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4

?

1

1 ? 1

3

?7 分

2 1 0 1 0 1 P(? ? 0) ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 9 2 1 1 0 1 0 1 P(? ? 1) ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( 1 ) 0 ( 2 ) 2 ?C2 ( 1 ) 2 ? 1 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 13 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 P(? ? 2) ? C2 ( ) 2 ( )0 ? C2 ( ) 2 + C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 36 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 P(? ? 3) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 3 3 2 6 2 1 2 1 2 1 ?10 分 P(? ? 4) ? C2 ( ) 2 ( )0 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 36
故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

1 1 13 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 9 3 36 6 36 3
梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直。

?12 分

20. 解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 ?????2 分

以 BA, BC, 1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, N BB 则 (4,4,0) B1 0, 8,0) C1 0,8,4) ,( ,( ,

第8页

C(0,0,4)∵ BN 1 ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4) =0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N; ???? 4 分

(II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则

?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? ?? ? ? ? ?? ???? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0 ?

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

??????8 分

(III)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP ? (?2,0, a ) , ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 ??6 分, ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

∵MP//平面 CNB1,

?
b

BP 1 ) ? ??12 分(用几何法参照酙情给分。 PC 3
a 2

2 2 21.解: (I)设椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,所以

a

a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ?????????4 分 4 3

(II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4, t ? ,则切线方程分别为
x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 4 3 4 3 3 3

的坐标都适合方程 x ? t y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? t y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过
3 3

t 3

点(1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C ?1, 0 ? .?????????????9 分 (III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3
? t2 ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , ? 3 ? ?3 ?
2

第9页

所以 y1 ? y2 ?

6t ?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2
2 2 1

2 ? t2 ? 2 t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y ,????12 分 AC ? ? x1 ? 1? ? y ? ? ? 1? y1 ? y1 2 3 3 ?9 ?

所以 1 ? 1 ?
AC BC

?1 1 ? y ? y1 3 3 ?? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 2 2 y1 y2 ? y1 y2 t ?9 ? t ?9 t ?9 3
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12

即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,
3

故存在实数 ? ? 4 ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC .
3
22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-a(x+1), ∴f′(x)=ex-a, ∵a>0,f′(x)=e -a=0 的解为 x=lna. ∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ∵f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立, ∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1.
x

???????????13 分

??1 分 ??3 分 ??4 分

(II)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1

??6 分

上单调递增, ? ?不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F (x)在(- ?, ?)

? F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0恒成立

??7 分

? 对任意的a ? -1,x ? R , m ? g ?(x) 恒成立
g ?( x) ? e x ? a ?
故m?3
i

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 x e e
??9 分
i ? ? i i 2n ? i n ? e 2r 即 ( ) ? e 2 ?? , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 12r 2n 2n

(III) (1) 知 ex≥x+1, x= ? 由 取

12 分

第 10 页

? 1 n 3 2n ? 1 n ) ? ( )n ? ? ? ( ) ?e 累加得( ( 2n 2n 2n

2 n ?1 2

?e

?

2 n ?3 2

??? e

?

1 2

e 2 (1 ? e ? n ) e ? ? ?1 1? e 1? e

?

1

?1n ? 3 n ? ? ? (2n ? 1) n ?

e ( 2n) n 1? e e (a n ) n 1? e
??14 分

故存在正整数 a=2.使得?1

n

? 3 n ? ? ? (2n ? 1) n ?

第 11 页


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