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4--双曲线的简单几何性质(答案)


2.2.2 双曲线的简单几何性质
参考答案 1.B 【解析】∵ e ?
2 2

c ? 2 ,∴ c ? 2a ,又 b2 ? 32 ? 9 , c 2 ? a 2 ? b2 , a

∴ 4a ? a ? 9, a ? 3 . 考点:双曲线的离心率及 a, b, c 的关系. 2.C 【解析】∵ e ?

c2 5 a 2 ? b2 5 b2 1 b 1 c 5 ? ? ,∴ ? . ,∴ 2 ? ,∴ ,∴ ? 2 2 a 2 a 4 a 4 a 4 a 2
1 x. 2

∴渐近线方程为 y ? ?

考点:求双曲线的渐近线. 3.B 【解析】把方程化为标准形式为

y2 x2 ? ? 1, 1 3 m m

? a2 ?

1 2 3 1 3 ,b ? , ? c 2 ? + ? 4 ,解得 m ? 1 .故选 B. m m m m

考点:由双曲线的焦点坐标求参数. 4.B 【解析】设双曲线的方程为 渐近线方程为 y ? ?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,由题意得 c ? 2 ,即 a2 ? b2 ? 4 , a 2 b2

a x , 可 得 a ? 3b , 解 得 a ? 3 ,b ? 1, 所 以 双 曲 线 的 方 程 为 b

y2 ? x 2 ? 1,故选 B. 3
考点:双曲线的标准方程及其简单的几何性质. 5.C 【解析】由题意得 F 1 ? 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0? ,则 F 1F 2 ? 10 ,设 ΡF2 ? x ,则 ΡF 双曲线的性质知

4 x ,由 3

4 x ? x ? 2 ,解得 x ? 6 ,∴ ΡF1 ? 8 , ΡF2 ? 6 ,∴ ?F1ΡF2 ? 90? ,∴ 3 1 ? 8 ? 6 ? 24 .故选 C. △ PF 1F2 的面积是 2
考点:双曲线的性质和应用. 6.D
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2 【解析】 双曲线的渐近线方程为 bx ? ay ? 0 , ∵双曲线的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y ? 3 相切, 2



2b b ?a
2 2

? 3 ,∴ b ? 3a ,∵双曲线的一个焦点为 F 2 2, 0 ,∴ a 2 ? b 2 ? 8 ,∴

?

?

a ? 2 , b ? 6 ,∴双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .故选 D. 2 6

考点:双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用. 7.C 【解析】由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线,所以 b2 ? 2 ,?
2 代入点 P 的坐标可得 y0 ? 1 ,由 c ? 2 可知 F1 ? ?2,0? , F2 ? 2,0? .

x2 y 2 ? ?1, 2 2

???? ???? ? ? PF1 ? PF2 ? ?2 ? 3, y0 ? 2 ? 3, y0 ? 0 .

?

??

?

考点:双曲线性质及向量运算. 8.B 【解析】设 M ? x, y ? ,由题意得 A 1 ? ?a,0? , A 2 ? a,0? ,则 k MA1 ? 则 kMA1 ? kMA2 ?

y y , k MA2 ? , x?a x?a

2 ? y2 x2 y 2 2 2? x M ,又因为点 在双曲线上,所以 ? ? 1 ? y ? b ? 1? , ? 2 2 2 2 2 x ?a a b ?a ?





kMA1 ? kMA2 ?

y2 x2 ? a2




2


2

2 2 2 b2 x ? a b b c ?a2 2 ? ? 2 ? ? e ? 1 ? 2 ? 1 ? e ? 3 ,故选 B. 2 a2 a2 ? x2 ? a2 ? a

考点:直线的斜率,双曲线的离心率. 9. 1 ? k ? 3 【解析】由方程

x2 y2 + ? 1 表示双曲线,可得 ? k ?1?? k ? 3? ? 0 , k ?1 k ? 3

解得 1 ? k ? 3 . 考点:双曲线的简单性质. 10. 12 或 ?9 【解析】由题意得 b ? 3 ,因此 ? 考点:双曲线的性质. 11. 5

? m ? 3, ? m ? 0, 或? 12 或 ?9 . 2 3 则实数 m 的值是 ?? m ? 3 , ?m ? 3 ? 3

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【 解 析 】 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 PF1 ? PF2 ? 2a , 又 因 为 PF 1 ? 2 PF 2 ,所以

PF1 ? 4a, PF2 ? 2a , 又 因 为 PF1 ? PF2 , 所 以 PF1 ? PF2 ? F1 F2

2

2

2

, 即

? 4a ?

2

? ? 2a ? ?? 2 ?c,整理得 c2 ? 5a 2 ,所以 e ?
2 2

c ? 5. a

考点:双曲线的定义及简单的几何性质. 12. (1)

x2 y 2 5 5 ? ?1 或 (2) 3 4 9 16
5k k ?1
2

【解析】 (1) 设经过第一、 三象限的渐近线的方程为 y ? kx , 则

解得 k ? ?4,

4 , 3

b 4 5 ? , e ? ;若双曲线焦点在 y 轴上, a 3 3 a 4 5 5 5 则 ? , e ? ,故所求双曲线的离心率为 e ? 或 e ? . b 3 4 4 3
若双曲线焦点在 x 轴上,则 (2)由题意设 F 1 ? PF2 得 PF 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,由 PF 1 ? PF 2 ?0. 即c ? 5 , 由 (1) 知 ??3 ? c ??3 ? c ? ?16 ? 0 ,

???? ???? ?

b 4 2 2 2 ? , 又 a ? b ? c ? 25 , 所以 a ? 3, b ? 4 , a 3

所以双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 16

考点:直线与圆的位置关系,双曲线的标准方程与几何性质. 13. (1) x ?
2

y2 ? 1 ( 2) y ? 4 x ? 7 2
2 2 2

【解析】 (1)由已知得 2a ? 2, c ? 3 ,? a ? 1, b ? c ? a ? 2 . 所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

(2)设点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意可知直线 l 的斜率存在,则可设直线 l 的方 程为 y ?1 ? k ? x ? 2? ,即 y ? kx ? 1 ? 2k . 把 y ? kx ? 1 ? 2k 代入双曲线 C 的方程 x ?
2

y2 ? 1, 2

得 2?k

?

2

?x

2

? 2k ?1 ? 2k ? x ? ?1 ? 2k ? ? 2 ? 0 ,①
2

2 由题意可知 2 ? k ? 0 ,

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所以 xM ?

x1 ? x2 k ?1 ? 2k ? ? ? 2 ,解得 k ? 4 . 2 2 ? k2

当 k ? 4 时,方程①可化为 14 x 2 ? 56 x ? 51 ? 0 . 此时 ? ? 562 ? 56 ? 51 ? 280 ? 0 ,方程①有两个不等的实数解. 所以直线 l 的方程为 y ? 4 x ? 7. 考点:双曲线方程,直线与双曲线的位置关系. 14. (1) x2 ? y 2 ? 6 (2)证明见解析(3) 6 【解析】 (1)∵ e ?

c 2 ,? ? 2 ,? c 2 ? b2 ? a 2 ,? a2 ? b2 , a
2 2

∴可设双曲线方程为 x ? y ? ? ? ? ? 0? . ∵双曲线过点 4, ? 10 ,∴ 16 ? 10 ? ? ,即 ? ? 6 ,∴双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 6 . (2)证明:由(1)可知,在双曲线中 a ? b ? 6 ,∴ c ? 2 3 , ∴ F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0 ,∴ kMF1 ?

?

?

?

? ?

?

m m , kMF2 ? , 3? 2 3 3? 2 3

2 2 又∵点 M ? 3, m? 在双曲线上,∴ 9 ? m ? 6 , m ? 3 .

∴ kMF1 ? kMF2

m m m2 ? ? ?? ? ?1 ,∴ MF1 ? MF2 . 3 3? 2 3 3? 2 3

( 3 )由( 2 )知 MF1 ? MF2,∴△ MF1F2 为直角三角形.又 F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0 ,

?

? ?

?

m ? ? 3 ,∴ M 3, 3 或 M 3, ? 3 ,由两点间距离公式得:
MF1 ? MF1 ?

?

?

?

?

? ?2 3 ? 3? ? ? 0 ? 3 ? ? 24 ? 12 3 , ? 2 3 ? 3? ? ? 0 ? 3 ? ? 24 ? 12 3 ,
2 2 2 2

∴ S ?F1MF2 ?

1 1 1 MF1 MF2 ? ? 24 ? 12 3 ? 24 ? 12 3 ? ?12 ? 6 . 2 2 2

即△ F1MF2 的面积为 6. 考点:双曲线的标准方程,圆与双曲线的综合.

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