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2016高中数学【必修1—必修5】学业水平考试复习题及答案


数学学业水平考试综合复习卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.如果 P ? x ( x ? 1)(2x ? 5) ? 0 , Q ? x 0 ? x ? 10 ,那么( A. P ? Q ? Q B. P ? Q C. P ? Q ) D. (?5,??) 2.若 lg x 有意义,则函数 y ? x 2 ? 3x ? 5 的值域是( A. [ ?

?

?

?

?

) D. P ? Q ? R

29 ,?? ) 4

B. ( ?

29 ,?? ) 4

C. [?5,??)

3.一几何体的正视图和侧视图为边长为 2 的等边三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则此几何体 的表面积为( ) A. 4? ? 2 3 A n 2 ? (n ? 1) B. 2? ? 2 3 ) C C. 3? D. 2? 4.数列 1,3,6,10? 的通项公式 an 可能是( B

1 1 ( n ? 1) ( n ? 1) D 2 2 5.已知 f ( x) 是定义在 [?5, 5] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式中一定成立的是( A. f (?1) ? f (3) B. f (0) ? f (5) C. f (3) ? f (2) D. f (2) ? f (0)
a b 6.设 a, b ? R 且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是(

1 n(n ? 1) 2

)

) )

A. 6 B. 4 2 C. 2 2 D. 2 6 7.下面为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( S=0 i=1 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL _____ a=S/20 PRINT a END A.i>20 B.i<20 C.i>=20 D.i<=20

8.某学校有职工 140 人,其中教师 91 人,教辅行政人员 28 人,总务后 勤人员 21 人。为了解 职工的某种情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.以下的抽样方法中,依随机抽样、分层抽 样、其它方式的抽样顺序的是( ) 方法 1:将 140 人从 1~140 编号,然后制作出有编号 1—140 的 140 个形状、大小相同的号签, 并将号签放人同一箱子里进行均匀搅拌, 然后从中抽取 20 个号签, 编号与签号相同的 20 个人被 选出。 方法 2:将 140 人分成 20 组,每组 7 人,并将每组 7 人按 1—7 编号,在第一组采用抽签法抽出 k 号(1≤k≤7),则其余各组 k 号也被抽到,20 个人被选出。 方法 3:按 20:140=1:7 的比例,从教师中抽取 13 人,从教辅行政人员中抽取 4 人,从总务后 勤人员中抽取 3 人.从各类人员中抽取所需人员时,均采用随机数表法,可抽到 20 个人。 A. 方法 2,方法 1,方法 3 B.方法 2,方法 3,方法 1 C. 方法 1,方法 3,方法 2 D.方法 3,方法 1,方法 2 9.在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) A.若向量 a ? ( x, y) ,向量 b ? (? y, x) ( xy ? 0) ,则 a ? b B.若四边形 ABCD 为菱形,则 AB ? DC , 且 | AB |?| AD |
-1-

C.点 G 是Δ ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 D.Δ ABC 中, AB 和 CA 的夹角等于 180 ? A
?

10.设函数 f ( x) ? sin A. 题号 答案

?

6

x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009 ) 的值等于(

)

1 2
1 2

B.

3 2
3

C. 4

1? 3 2
5 6

D. 2 ? 3 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.840 与 1764 的最大公约数是 __________; 12.在⊿ABC 中, b ? 3, c ? 5, A ? 120? ,则 a ? ; 13. 从一批羽毛球产品中任取一个, 其质量小于 4.8g 的概率为 0.3, 质量小于 4.85g 的概率为 0.32, 那么质量在[4.8,4.85]( g )范围内的概率是____________; 14.若函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 5 在 (4, ? ?) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 _________; 15.设有四个条件:①平面 ? 与平面 ? 、 ? 所成的锐二面角相等;②直线 a//b,a⊥平面 ? ,b ⊥平面 ? ;③a、b 是异面直线,a ? ? ,b ? ? ,且 a// ? ,b// ? ;④平面 ? 内距离为 d 的 两条直线在平面 ? 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线。 其中能推出 ? // ? 的条件有 。 (填写所有正确条件的代号) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 . ( 6 分 ) 从 点 P(?3,3) 发 出 的 一 束 直 线 光 线 l 射 到 x 轴 上 , 经 x 轴 反 射 后 与 圆

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在的直线方程。

-2-

17. (8 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 50, d ? ?3 。 (1)若 an ? 0 ,求 n 的最小值; (2)若 S n ? 0 ,求 n 的最大值; (3)求 S n 的最大值。

18. (8 分)设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x ? R) 的最大值为 M,最小正周期为 T。 (1)求 M、T; (2)若有 10 个互不相等的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M ,且 xi ? 10? (i ? 1 , 2 , ? ,10) , 求 x1 ? x2 ? ? ? x10 的值。

-3-

19. (8 分)如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥面 ABC,BD//AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1, F 为 CD 中点。 (1)求证:EF⊥面 BCD; (2)求面 CDE 与面 ABDE 所成二面角的余弦值。
D

E F A B

C

20. (10 分)已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A、B, AB ? 2i ? 2 j ( i, j 分 别是与 x, y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x) ? x ? x ? 6 .
2

(1)求 k , b 的值; (2)当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值. f ( x)

-4-

数学学业水平考试样卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.函数 y ? log3 ( x ? 4) 的定义域为 ( ) A.R B. (??,4) ? (4,??) 2.sin14?cos16?+cos14?sin16? 的值是( A. C. (??,4) ) D. (4,??)

1 1 3 C. D.2 2 2 3.若集合 A ? ?x | x ? 1 ? 5?, B ? ?x | ?4 x ? 8 ? 0?,则 A ? B ? ( ) A. ?x | x ? 6? B. ?x | x ? 2? C. ?x | 2 ? x ? 6? D. ?
B. 4.某电视台在娱乐频道节目播放中,每小时播放广告 20 分钟,那么随机打开电视机观看这个频 道看到广告的概率为 ( )

3 2

1 1 1 C. D. 3 6 4 * 5.在等比数列 ?an ? 中, an ? 0(n ? N ) 且 a4 ? 4, a6 ? 16, 则数列 ?an ? 的公比 q 是 (
A.

1 2

B.



A.1

B.2

C.3

D.4 ( )

3 1 6.已知 a= ( , sin ? ), b= (cos ? , ) 且 a∥b,则锐角 ? 的大小为 2 3 ? ? A. B. 6 3 ? 5? C. D. 4 12

7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方 形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 ( ) A.

? 2

B. ?
2

C.2 ?

D.4 ?

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 在区间 ( 2,4) 内有唯一零点,则 b 的取 值范围是 ( ) A. R B. (??,0) C. (?8,??) D. (?8,0)

1 ,则( ) x A.y ? 2 B.y ? 2 C.y=2 D.不能确定 1 1 3 1 10.三个数 a ? 3 2 , b ? ( ) , c ? log3 的大小顺序为 ( ) 2 2 A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. c ? b ? a
9.已知 x>0,设 y ? x ? 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

? x( x ? 1), x ? 0 ,则 f (?3) ? ? x(1 ? x), x ? 0 ? 12.在⊿ABC 中,已知 a ? 3, b ? 4, C ? , 则c ? 3 13.把 110010 . (2)化为十进制数的结果是
11.已知函数 f ( x) ? ?
-5-

. .

14.某厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5.现用分层抽样的

方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,则样本容量 n = . 15.2008 年 5 月 12 日,四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震.在随后的几天中,地震专家对 汶川地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 震级 (里氏) 1.6 ? 10 5.0
19

3.2 ? 10 5.2

19

4.5 ? 10 5.3

19

6.4 ? 10 5.4

19

注:地震强度是指地震时释放的能量 地震强度( x )和震级( y )的模拟函数 关系可以选用 y ? a lg x ? b (其中 a , b 为常 数) .利用散点图可知 a 的值等于 . (取 lg 2 ? 0.3 ) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 6 分)某赛季甲,乙两名篮球运动员 每场比赛得分可用茎叶图表示如下: ( Ⅰ ) 某同学根据茎叶图写出了乙运动员的部 分成绩,请你把它补充完整; 乙运动员成绩:8,13,14, ,23, ,28,33,38,39,51. (Ⅱ)求甲运动员成绩的中位数; 甲 (Ⅲ)估计乙运动员在一场比赛中得分落在区 0 间 ?10, 40? 内的概率. 52 1 54 2 976611 3 94 4 0 5

乙 8 346 368 389 1

第 16 题图

-6-

17.(本小题满分 8 分)已知点 P(cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2 x ? 1) ( x ? R ) ,且函数

f ( x) ? OP? OQ ( O 为坐标原点) , (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II) 求函数 f ( x) 的最小正周期及最值.

?

?

18. (本小题满分 8 分) 如图所示, 已知 AB ? 平面BCD,M、 N 分别是 AC、 AD 的中点, BC ? CD. (I)求证:MN∥平面 BCD; A (II)求证:平面 B CD ? 平面 ABC; (III)若 AB=1,BC= 3 ,求直线 AC 与平面 BCD 所成的角.

? N
?M

B C
第 18 题图

D

-7-

19.(本小题满分 8 分)如下图所示,圆心 C 的坐标为(2,2) ,圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切. (I) 求圆 C 的一般方程; (II) 求与圆 C 相切, 且在 x 轴和 y 轴 上的截距相等的直线方程.

20.(本小题满分 10 分) 已知一个等差数列 ?an ? 前 10 项的和是

125 250 ,前 20 项的和是 ? 7 7

(I)求这个等差数列的前 n 项和 Sn。 (II)求使得 Sn 最大的序号 n 的值。

-8-

(必修 1-5)综合卷参考答案 一、选择题

5? ? 2? 2.选 D。 lg x 有意义得 x ? (0,??) ,函数 y ? x 2 ? 3x ? 5 在 x ? (0,??) 时单调递增。
1.选 B。解 P ? ? x 1 ? x ? 3.选 C。几何体是底面半径为 1,高为 2 的圆锥。 4.选 B。递推关系为 an ? an?1 ? n ,累加可求通项;或用代入检验法。 5.选 A。显然 f (3) ? f (1) ? f (?1) 。 6.选 B。 2 a ? 2b ? 2 2 a ? 2b ? 2 2a?b ? 2 23 ? 4 2 7.选 A 。注意循环类型 8.选 C。注意抽样方法的定义 9.选 C。注意向量的数量积是实数,向量的加减还是向量。 10.选 D。此函数的周期为 12,一个周期的运算结果是 0, 2009 ? 12 ? 167 ??5 ,所以只须 求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.解:用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数. 1764 = 840× 2 + 84 840 = 84× 10 +0 所以 840 与 1 764 的最大公约数是 84 12.由余弦定理公式得 a ? b ? c ? 2bc cos120? ? 49 , a ? 7。 13. 0.32 ? 0.3 ? 0.02
2 2 2

? ?

14. a ? 0 显然合题意;当 a ? 0 时, ?

15.①中平面 ? 与平面 ? 、 ? 可以是相交的关系;④中平面 ? 内距离为 d 的两条直线当垂直于

1 ? 4 ,综合得 a ? 0 。 a

两平面的交线时,在平面 ? 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线。其中能推出 ? // ? 的条件 有 ②③ 。

三、解答题 16. (6 分)解:圆的圆心坐标为(2,2), 半径为 1; 点 P 关于 x 轴对称的点为 Q(-3,-3) , 设反身光线斜率为 k , k 显然存在,方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,也就是 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 P 由圆心(2,2)到直线的距离为半径 1 得:

y
C.

2k ? 2 ? 3k ? 3 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3 4 或k ? 。 4 3

x

4 3 故入射光线的斜率为 ? 或 ? ,方程为 3 4 3x ? 4 y ? 3 ? 0或4 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 17. (8 分)略解: (1) an ? 53 ? 3n ? 0, n ? N ? ? n ? Q18; 3 2 103 n ? 0, n ? N ? ? n ? 34 (2) S n ? ? n ? 2 2 (3) S17 ? 342
18. (8 分)解: (1) f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? (2 分)
-9-

o

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)…

M=2; T ?

2? ?? 2

………(4 分)

(2)∵ f ( xi ) ? 2 ,即 sin( 2 xi ? ∴ 2 xi ?

?
6

) ? 2,

(k ? Z ) 6 2 6 又 0 ? xi ? 10? ,∴k=0,1,2,…,9。
∴ x1 ? x 2 ? ? ? x10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9)? ? 10 ?

?

? 2k? ?

?

, xi ? k? ?

?

………(6 分)

?
6

?

140 ? 3

………(8 分)
D

19. (8 分) (1)证明:取 BC 中点 G,连 FG,AG。 ∵AE⊥面 ABC,BD//AE,∴BD⊥面 ABC, 又 AG ? 面 ABC,∴BD⊥AG, 又 AC=AB,G 是 BC 中点, ∴AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD。 ∵F 是 CD 中点且 BD=2, ∴FG//BD 且 FG=

E F A B

1 BD=1, 2

∴FG//AE。……(2 分) C 又 AE=1,∴AE=FG,故四边形 AEFG 是平行四边形,从而 EF//AG。 ∴EF⊥面 BCD。……(4 分) (2)解:取 AB 中点 H,则 H 为 C 在平面 ABDE 上的射影。过 C 作 CK⊥DE 于 K,边接 KH,由三垂线定理的逆定理得 KH⊥DE, ∴∠HKC 为二面角 C—DE—B 的平面角。……(6 分) 易知 EC ? 5 , DE ? 5 , CD ? 2 2 ,

2 1 1 30 。 ? 2 2 ? 3 ? ? 5 ? CK ,可得 CK ? 5 2 2 CH 10 6 ? 在 RtΔ CHK 中, sin HKC ? ,故 cos HKC ? 。 CK 4 4 6 ∴面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值为 。……(8 分) 4
由 S ?DCE ? 20. (10 分)解: (1)由已知得 A(?

b b ,0), B (0, b), 则 AB ? { , b} k k

?b ? ?2 于是 ? k , ? ?b ? 2

?k ? 1 ?? . ?b ? 2
2

(2)由 f ( x) ? g ( x), 得x ? 2 ? x ? x ? 6, 即 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0, 得 ? 2 ? x ? 4,

g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 1 ? ? x?2? ? 5, f ( x) x?2 x?2 g ( x) ? 1 ? ?3 ,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1 时成立, 由于 x ? 2 ? 0, 则 f ( x) g ( x) ? 1 ∴ 时的最小值是-3. f ( x)
- 10 -

一、选择题:1.D

2.B 3.C 12.

4.B

样卷参考答案与评分标准 5.B 6.C 7.C 8.D 9.A 10. D 13.50 14.80 15.

二、填空题:11.-12 三、解答题: 16.解(1) 16,

13

2 3

26 . ?????????????????????????(2?) (2) 36 ?????????????????????????(4?) 9 (3)设乙运动员在一场比赛中得分落在区间 ?10, 40? 内的概率为 p ,则 p ? . ? (6?) 11 17.解(1)依题意, P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2 x ? 1) , ???????(1?)
所以, f ( x) ? OP ? OQ ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2 .

? ) ???????( 5 ? ? 2. 6? 因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最小值为 0 , f ( x) 的最大值为 4 , f ( x) 的最小正周期为 T ? ? . ?????? (8?) 18.解 (1)因为 M , N 分别是 AC , AD 的中点,所以 MN / / CD . 又 MN ? 平面 BCD 且 CD ? 平面 BCD ,所以 MN / / 平面 BCD . ?????(3?) (2)因为 AB ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD ,所以 AB ? CD . 又 CD ? BC且AB ? BC ? B ,所以 CD ? 平面 ABC . 又 CD ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 ABC . ???????????(6?) (3)因为 AB ? 平面 BCD ,所以 ?ACB 为直线 AC 与平面 BCD 所成的角. ?? (7?)
(2) f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

AB 3 ? .所以 ?ACB ? 30 . ? BC 3 ? 故直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30 . ???????????????(8?)
在直角 ?ABC 中, AB=1,BC= 3 ,所以 tan ?ACB ? 19.解 (1) 依题意,半径 r ? 2 ,所以,圆的标准方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 . ??? (2?)
2 2

圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 . ???????????????(4?)

? 2 . 所以 a ? 4 ? 2 2 . ?(6?) 12 ? 12 所求直线方程为: x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 . ????(8?) 125 250 n(n ? 1) d 得到: 20.解(1)将 S10= , S20= ? ,代入公式 Sn=na1+ 7 7 2 125 10a1+45d= 7 250 20a1+190d= ? ??????????????(2?) 7 5 ???????????????(4?) 解方程得:a1=5,d= ? 7 75n ? 5n 2 ???????(5?) 所以:Sn= 14 5 15 1125 (n ? ) 2 ? ?????????(8?) (2)因为 Sn= ? 14 2 56

(2)设直线方程为 x ? y ? a ? 0 ? a ? 0? ,则

2?2?a

- 11 -

所以当 n 取与

15 最接近的整数即 7 或 8 时,Sn 取最大值 2

- 12 -


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