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数列导学案全套

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 例 1. 根据下面的通项公式,分别写出数列的前 5 项。 (1) an ?

1 数列的概念

姓名:

n n?2

(2) an ? ( ?1) cos
n

n? 4

例 2.写出下面数列的一个通项公式。 (1)3,5,7,9,…… (3)9,99,999,9 999,…… (2)1,2,4,8,…… (4)2,0,2,0……

变式: 观察下面数列的特点,用适当的数填空。 (1)1,4,9,( ),25,36;

1 1 1 , ( ) , , ; 3 7 9 1 1 1 1 (3) ? , , ( ) , ,? ; 2 ?1 2 ? 2 2? 4 2?5 1 1 3 5 (4) ,- , , ( ) , , ( ); 2 2 8 32
(2)1, (5)1,

2 1 , , ( 2 2

) ,

1 。 4

课堂练习: 1. 教材 P6 练习 1-4 2. 根 据 下 列 5 个 图 形 及 相 应 点 的 个 数 的 变 化 规 律 , 试 猜 测 第 n 个 图 中 有 ___________个点.











作业布置:

教材习题 1-1 A 组 4

B组1

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 例 1.判断下列无穷数列的增减性 (1)2,1,0, -1,……,3-n,…… (2)

1 数列的函数特征

姓名:

1 2 3 n , , ,……, ,…… 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 1 n , ,- , ,……, ( ? ) ,……的图像,并分析数列的增减性. 2 4 8 16 2

总结判断数列增减性的方法,并与函数作一区别与联系. 例 2.作出数列 ?

例 3. 一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B)共有 8 站,从 A 地出发时,装 上发往后面 7 站的邮件各一个,到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上 该站发往下面各站的邮件各一个.试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画 出该数列的图像,并判断该数列的增减性.

变式 1.求此数列 {an } 的通项公式并出最大项.

2.已知数列 {an } 的通项公式是 an ? ?2n2 ? 9n ? 3 ,求数列 {an } 的最大项

?a1 ? 1, ? 例 4.设数列 {an } 满足: ? 写出这个数列的前五项. 1 (n ? 1) ?an ? 1 ? a n ?1 ?

课堂练习 教材 P8 练习

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 例 1 判断下面数列是否为等差数列. (1) an ? 2n ? 1 (2) an ? (?1)n 例 2 已知等差数列 {an } , a1 ? 1 , d ? 2 ,求通项 an .

3 等差数列(一)

姓名:

例 3(1)求等差数列 9,5,1,…的第 10 项; (2)已知等差数列 {an } , an ? 4n ? 3 , 求首项 a1 和公差 d .

例 4 已知在等差数列 {an } 中, a5 ? ?20, a20 ? ?35 , 试求出数列的通项公式. 变式 1.已知等差数列 {an } 的首项为 a1 , 公差为 d , 数列 {bn } 中, bn ? 3an ? 4 , 则 {bn } 是否为等差数列?并说明理由. 变式 2.一个等差数列的首项为 的范围?

1 , 公差 d ? 0 ,从第 10 项起每一项都比 1 大,求公差 d 25

变式 3. 求在 100 到 500 之间能被 11 整除的整数的个数.

课堂练习: 教材 P13 练习. 作业布置:习题 1-2 A组 7 B组 1

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 例 5 已知(1,1),(3,5)是等差数列 {an } 图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像 (3)判断这个数列的单调性.

4 等差数列(二)

姓名:

例 6.一个木制梯形架的上、下两底边分别为 33cm, 75cm 把梯形的两腰各 6 等分,用平行 木条连接各对应分点,构成梯形架的各级,试计算梯形架中间各级的宽度.

课堂练习: 1. 教材 P14 练习 2, 2. ① (09 安徽文)已知 {an } 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 , 则 a20 等 于( ) A. -1 B.1 C. 3 D. 7

② (09 辽宁文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2 ( )

③ 已知等数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64

作业布置:习题 1-2

A 组 8,9

导 学 案
编写人: 高二年级备课组

5 等差数列前 n 项和 (一)

第2期 班级:

姓名:

1.求和 1+2+3+4+……+n=? 并解决本节提出的问题。 问题如下: 如图 1-14 所示,有 200 根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的 圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?

2.求前 n 个正奇数的和,并说明它与图 1-17 的关系.

3.例 8 在我国古代,9 是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 相关 的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图 1-18),最高一层的中心是一块 天心石,围绕它的第一圈有 9 块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多 9 块,共有 9 圈.请问: (1) 第 9 圈共有多少块石板? (2)前 9 圈一共有多少块石板?

变式训练: 等差数列 ?an ? 中,(1)已知 a 11 = -1,求 S 21 ;

(2)已知 an ? 11 ? 3n ,求 Sn .

4、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,如果 S 12 =84,S 20 =460,求 S 28 . 5、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n ? 7n ? 8 ,求 ?an ? 的通项公式.
2

作业布置

习题 1-2 A 组 11、12、13

导 学 案
编写人: 高二年级备课组

6 等差数列前 n 项和 (二)

第2期 班级:

姓名:

1.在数列 {an } 中, an ? 2n ? 3 ,求这个数列自第 100 项到第 200 项之和 S 的值. 变式: 在小于 100 的正整数中共有多少个数能被 3 除余 2 ? 这些数的和是多少?

2.例 10 (首项与公差的选取)在新城大道一侧 A 处,运来 20 棵新树苗.一名工人从 A 处起沿 大道一侧路边每隔 10m 栽一棵根苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这 20 树苗,并返回 A 处, 植树工人共走了多少路程?

思考: 把树苗放在什么地方才能使这名工人把这 20 棵树苗栽完且走最少的路并求出此值.

3.教材例 11.(建模型解应用题)九江抗洪指挥部接到预报,24 时后有一洪峰到达.为确保安全, 指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指战员和九江干 群连续奋战外,还需调用 20 台同型号翻斗车,平均每辆工作 24 时,但目前只有一辆车投入施工, 其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔 20 分能有一辆车到达,指挥部最多可调集 25 辆车, 那么在 24 时内能否构筑成第二道防线?

4.等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,求该数列前多少项的和最小?

课堂练习 (1)教材 P 18 练习 (2)等差数列 {an } 的前 m 项和为 30, 前 2m 项和 100, 则它的前 3m 项和为 (3) 两等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 作业布置 习题 1-2 A 组 14 B 组 3,4

S n 2n ? 3 a ? , 则 9 ? Tn 3n ? 1 b9

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 等比数列的概念。 2.学生展示课本例 1 归纳等比数列通项公式 (1)1, ?

7

等比数列(一)

姓名:

1.讨论课本 P21 页问题(1) (2),观察上面问题的两个数列项与项之间变化规律,总结

1 1 1 1 , ,? , ; 2 4 8 16

(2)1,1,…,1; (4) a , a , a ,…, a
2 3 n

(3)1,2,4,8,12,16,20;

3.展示课本例 2 一个等比数列的首项是 2,第 2 项与第 3 项的和是 12,求它的第 8 项的值.

变式 1.三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3,9,就成为等 比数列,求此三个数。

变式 2.在等比数列中,已知首项为 , 末项为 A.3 B.4 C.5

9 8

1 2 ,公比为 ,则项数为( 3 3
D.6



变式 3. 已知数列 {an } :满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1. (1)求证: ?an ? 1? 是等比数列。 (2)求 an 的表达式。

课堂练习 P23 练习 1 作业布置 A 组 5,6,7

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 1.说明等比数列的单调性,并填写下表. 表 1-4

8

等比数列(二)

姓名:

a1
q 的范围

a1 ? 0
0 ? q ?1
q ?1 q ?1

a1 ? 0
0 ? q ?1
q ?1 q ?1

{an } 的单调性
2.例 3.在各项为负数的数列 {an } 中,已知 2an ? 3an?1 ,且 a 2 ? a 5 ? (1)求证: {an } 是等比数列,并求出通项. (2)试问 ?

8 . 27

16 是这个等比数列中的项吗? 如果是,指明是第几项,如果不是,请说明理由. 81

3.教材例 4 (学习数学应用建模)据报载,中美洲地区毁林严重.据统计,在 20 世纪 80 年代 末 ,每时平均毁林约 48hm2, 森林面积每年以 3.6% ~ 3.9% 的速度减少 ,迄今被毁面积已达 1.3× 107 hm2,目前还剩 1.9× 107 hm2,请你回答以下几个问题: (1)如果以每时平均毁林约 48hm2 计算,剩下的森林经过多少年将被毁尽? (2)根据(1)计算出的年数 n, 如果以每年 3.6% ~ 3.9%的速度减少,计算 n 年后的毁林情况; (3)若按年 3.6%的速度减少,估算经过 150 年后、 经过 200 年后、 经过 250 年后及经过 300 年后森林面积的情况,经过多少年森林将被毁尽?

变式与性质 :1. ①已知 {an } 是等比数列 , 且 an ? 0 , a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 , 那 么

a3 ? a5 的值等于(

)

A. 5

B.10

C.15

D.20

② 设 {an } 是由正数组成的等比数列,且 a5a6 ? 81 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 的值 是( ) A. 5 B.10 C.20 D.40 2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12, 求这四个数. 作业布置: P39 复习题一 A B, 第 16 题

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期

9

等比数列前 n 项和 (一)

姓名:

1.阅读课本 P26 问题,你能探究出推导一般等比数列前n项和公式吗? 一天,小林和小明做“贷款”游戏,他们签订了一份合同.从签订合同之日起,在整整一 个月(30 天)中,小明第一天贷给小林 1 万元,第二天贷给小林 2 万元 … 以后每天比前一天 多贷给小林 1 万元. 而小林按这样的方式还贷: 小林第一天只需还 1 分钱, 第二天还 2 分钱, 第三天还 4 分钱…以后每天还的钱数是前一天的两倍. 合同开始生效了,第一天小林支出 1 分钱,收人 1 万元;第二天,他支出 2 分钱,收人 2 万元;第三天,他支出 4 分钱,收人 3 万元… 到了第 10 天,他共得到 55 万元,付出的总 数只有 10 元 2 角 3 分.到了第 20 天,小林共得 210 万元,而小明才得到 1 048 575 分,共 1 万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月该多好!试计算下双方在 30 后得到的 钱数. (教材用两种方法推导等比数列前 n 项和公式)

2.(1)已知等比数列 ?an ? 中, a1 =2,q=3. 求 S3 (2)求等比数列 1,

1 1 1 , , , ? 的前 10 项的和。 2 4 8

3.课本例 6(等比数列前 n 项和的应用)五洲电扇厂去年实现利税 300 万元,计划在以后 5 年中每年比上年利税增长 10%,问从今年起第 5 年的利税是多少?这 5 年的总利税是多少(结 果精确到万元)? 4.在等比数列 ?an ? 中,若 a6 ? a4 ? 216 , a3 ? a1 ? 8, S n ? 40,求q, a1 n, 5.求数列 a, a , a ,?, a ?的前 n 项和。
2 3 n

课堂练习 1.教材 P28. 2.(07 陕西)5.各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , 若 Sn ? 2 , S3n 1 4 ? 于( ) A.16 B. 26 C. 30 D. 80 3. 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 已 知 S1, 2S2, 3S3 成 等 差 数 列 , 则 {an} 的 公 比 为 ____________. 作业布置: 习题 1-3 A 组 10 P38 页复习题一 A. 14 ,则 S 4 n 等

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期

10 等比数列前 n 项和 (二)

姓名:

例 7 一个热气球在第一分上升了 25m 的高度,在以后的每一分里,它上升的高度都是它 在前一分上升高度的 80%,这个热气球上升的高度能超过 125m 吗? (注意找通项式,体会数 学模型)

例 8. 如图 1-20 所示,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内 作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆,如此下去,求前 n 个内 切圆的面积和.

图 1-20

1.一个等比数列的首项为 1, 项数为偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170, 求这个数 列的公比和项数.

2. (错位相减法求和).求数列 1,3a,5a ,7a ,?,(2n ?1)a
2 3

n ?1

前 n 项和.

课堂练习: 练习 2 P29 作业布置: 习题 1-3 B组

1,2

导 学 案
编写人: 高二年级备课组 班级: 第2期 (暂不考虑利息税).

11 数列在日常生活中 的应用

姓名:

例 1 (零存整取模型)银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入 一笔相同数目 的现金 ,这是零存 :到约定日期, 可以取出全部本利和 , 这是整取. 规定每次存入的钱不计复利

(1)若每月存入金额为 x 元,月利率 r 保持不变,存期为 n 个月,试推导出到期整取时本利和的公 式; (2)若每月初存入 500 元,月利率为 0.3%, 到第 36 个月末整取时的本利和是多少? (3) 若每月初存入一定金额, 月利率为 0.3%,希望到第 12 个月末整取时取得本利和 2000 元. 那么每月初应存入的金额是多少?

例 2(定期自动转存模型)银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入 一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金 就是第 1 年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)我们来讨论以下 问题: (1)如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款,定期年利率为 r,连存 n 年后,再取出本利和.试求出储 户 n 年后所得本利和的公式; (2)如果存入 1 万元定期存款,存期 1 年,年利率为 1.98%, 那么 5 年后共得本利和多少万元?

例 3 (分期付款模型)小华准备购买一台售价为 5000 元的电脑,采用分期付款方式.并在一年 内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后 2 个月第 1 次付款,再过 2 个月第 2 次付 款……购买后 12 个月第 6 次付款,每次付款金额相同,约定月利率为 0.8%,每月利息按得利计 算.求小华每期付的金额是多少?

4、教材 P35 思考与交流 课堂练习 教材 P34、35 练习 作业布置 习题 1-4 1、2