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2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:极坐标参数方程


2014 年全国各地高考文科数学试题分类汇编:极坐标参数方程
1. [2014· 广东卷 14]在极坐标系中, 曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sin θ与 ρcos θ=1.以极点为平面直角坐标系的 原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 【答案】 (1,2)

?x=2+ 22t, 2.[2014· 湖南卷 12] 在平面直角坐标系中,曲线 C:? (t 为参数)的普通方程为________. 2 ?y=1+ 2 t
【答案】x-y-1=0 π ? π? θ-6?=1 的距离是________. 3. [2014· 陕西卷 15] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 点?2, ?到直线 ρ sin? 【答 ? ? ? 6? 案】1

?x=1- 22t, 4.[2014· 江苏卷 3] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 与抛物线 2 ?y=2+ 2 t
y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ?y=2+ 2 t
2

2 ?2 ? 2? t =4 1- t ,解得 t1=0,t2=-8 2 ? 2 ? ? ? 5.[2014· 辽宁卷 23] 得?2+

2,所以 AB=|t1-t2|=8

2.

将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

?x=x1, 2 2 y? 2 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上的点(x,y),依题意,得? 由 x1+y1=1 得 x2+? ?2? =1, ?y=2y1. ?x=cos t, y2 即曲线 C 的方程为 x2+ =1.故 C 的参数方程为? (t 为参数). 4 ?y=2sin t
y ? ?x2+ 4 =1, ?x=1, ?x=0, (2)由? 解得? 或? y=0 ? ?y=2. ? 2 x + y - 2 = 0 , ? 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率 k=2,于是所求直线方程为 1 1 x- ?,即 2x-4y=-3, y-1= ? 2? 2?
2

3 化为极坐标方程,得 2 ρcos θ-4ρsin θ=-3,即 ρ= . 4sin θ-2cos θ 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ 23] 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极

? π? . 坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈ ?0,2? ? ?
(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

?x=1+cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π). ?y=sin t,
(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直, π 所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π? 3 3 ? 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. ?2 2 ? 3 3? ?

?x=2+t, x2 y2 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ 23] 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t
(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

?x=2cos θ, 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. ?y=3sin θ
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30° 5 |4cos θ+3sin θ-6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α= . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5


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