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江苏省无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测考试数学试题Word版含答案.doc


数学
一、填空题 (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.) 1.命题“若 ln a ? ln b ,则 a ? b ”是____________命题(填“真”或“假” ) . 2.某工厂生产甲、乙、丙、丁 4 类产品共计 1200 件,已知甲、乙、丙、丁 4 类产品的数量 之比为 1:2:4:5,现要用分层抽样在方法从中抽取 60 件,则乙类产品抽取的件数为 _____________. 3.函数 y ?

x ?1 ? 2 ? x 的定义域为___________.

a 4.已知集合 A ? 1, 2 , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B ? ____________.

?

?

?1 ? ?2?

5.执行如图所示的流程图,则输出 M 的应为____________.

6.若复数 ? ? x ? 1 ? ? y ? 1? i ? ? ? 2 ? i ? ? 0 ? x, y ? R ? ,则 x ? y ? _____________. 7.已知盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片,从中随机地抽取一张,记下数字后再放回,再 随机地抽取一张,记下数字,则两次抽得的数字之和为 3 的倍数的概率为___________. 8.已知向量 a , b 满足 a ? 2, b ? 1, a ? 2b ? 2 3 ,则 a 与 b 的夹角为____________.

? y?x ? 9.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 M ,最小值为 m ,且 M ? m ? 0 , ? x?a ?
则实数 a 的值为_____________. 10.已知 f ? x ? ? cos ?

1 ?x ?? ? ? ,若 f ?? ? ? ,则 sin ? ? ____________. 3 ?2 4?

11.若函数 y ? ? __________.

?

x 2 ? a, x ? 0

? x ? a ? ln x, x ? 0

,在区间 ? ?2, 2 ? 上有两个零点,则实数 a 的取值范围为

2 * 12.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 4 S n ? 2an ? n ? 7 n n ? N ,则

?

?

a11 ? ______________.
13.已知正实数 a , b 满足 a ? 3b ? 7 ,则 14.已知正实数 x, y 满足

1 4 ? 的最小值为___________. 1? a 2 ? b

x ? 2 y ? 2 ? ln x ? ln y ,则 x y ? ___________. 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 已知三点 A?1, ?1? , B ?3,0? , C ? 2,1? , P ,为平面 ABC 上的一点, AP ? ? AB ? ? AC 且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP?AB ? 0, AP?AC ? 3 .
(1)求 AB?AC ; (2)求 ? ? ? 的值. 16.(本题满分 14 分)

??? ? ??? ?

E 如图,在正方体 ABCD ? A (1) BD1 / / 平面 EAC ; 1B 1C1D 1 中, 为棱 DD 1 的中点,求证:
(2)平面 EAC ? 平面 AB1C .

17.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b sin A ? 3a cosB . (1)求 B ;

(2)若 cos A sin C ? 18.(本题满分 16 分)

3 ?1 ,求 A . 4

某工厂第一季度某产品月生产量依次为 10 万件,12 万件,13 万件,为了预测以后每个月的 产量,以这 3 个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y (单位:万件)与月份

b ns ? s . x 的关系. 模拟函数 l : y ? ax ? ? c ;模拟函数 2 : y ? m? x
(1)已知 4 月份的产量为万件,问选用哪个函数作为模拟函数好? (2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过 15 万件,请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量. 19.(本题满分 16 分)
* 已知正项数列 ?an ? 为等比数列,等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n n ? N ,且满足:

?

?

S13 ? 208, S9 ? S7 ? 41, a1 ? b2 , a3 ? b3 .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
* (2)设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a nbn n ? N ,求 Tn ;

?

?

(3)设 cn ? ?

?an , n为奇数 ,问是否存在正整数 m ,使得 ? bn , n为偶数

cm ? cm?1 ? cm?2 ? 8 ? 3? cm ? cm?1 ? cm?2 ? .
20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ?

sin x 的定义域为 ?0,2? ?, g ? x ? 为 f ? x ? 的导函数. ex

(1)求方程 g ? x ? ? 0 的解集; (2)求函数 g ? x ? 的最大值与最小值; (3)若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ax 在定义域上恰有 2 个极值点,求实数 a 的取值范围.

参考答案 一、填空题 1.真 2.10 3. ?1 ? 1, ? 5. 2 6. 0 7. , 2? 4. ?1,

? ?

1? 2?

1 7 8. 120°9. -1 10. ? 3 9

11.

?0,2 ? ln 2?
12. -2 13.

13 ? 4 3 14
??? ?

14.

2

二、解答题 15.解: (1)因为 AB ? ? 2,1? , AC ? ?1, 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 所以 AB?AC ? 2 ? 2 ? 4 . . . . . . . . . . . . . . .4 分

????

??? ? ??? ?

所以 ?

??1 ? 2? ? ? 1 ,则 ? ? ? ? . . . . . . . . . . . . . .14 分 3 ? 2 ? ? ? 2?

16.证明: (1)连 BD 交 AC 于 O ,连 EO , 因为 O 为 BD 的中点, E 为 DD1 的中点,所以 EO / / BD1 . . . . . . . . . . . .3 分 又 BD1 ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以 BD1 / / 平面 EAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)因为 AC ? BD, DD1 ? 平面 ABCD ,所以 DD1 ? AC, BD ? DD1 于 D ,

所以 AC ? 平面 BDD1 ,所以 AC ? BD1 , . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 同理可证 AB1 ? BD1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 又 AC ? AB1 于 A ,所以 BD1 ? 平面 AB1C , . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 因为 EO / / BD1 ,所以 EO ? 平面 AB1C , 又 EO ? 平面 EAC , 所以平面 EAC ? 平面 AB1C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 17.解: (1)因为

a b ? ,所以 b sin A ? a sinB , sin A sin B

又 b sin A ? 3a cos B ,所以 3a cos B ? a sin B , . . . . . . . . . .3 分 即 tan B ? 3 ,所以角 B ? (2)因为 cos A sin C ?

?
3

. . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

3 ?1 3 ?1 ? 2? ? ,所以 cos A sin ? , . . . . . . . . . .8 分 ? A? ? 4 4 ? 3 ?

? 3 ? 1 3 1 3 1 ? cos 2 A 1 3 ?1 2 cos A ? ? sin 2 A ? ? 2 cos A ? 2 sin A ? ? ? 2 cos A ? 2 sin A?cos A ? 2 ? 2 4 4 ? ?
, 所以 sin ? 2 A ?

? ?

??

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ??? , 3? 2 ? ?, ?

因为 0 ? A ? 所以 2 A ?

2? ? ? ? 5? ,所以 2 A ? ? ? , 3 3 ?3 3 ?

7? 5? ,A? . . . . . . . . . . . . . .14 分 3 6 12 b 18.解: (1)若用模拟函数 1: y ? ax ? ? c ,则有 x

?

? ? 10 ? a ? b ? c ? 1 25 b ? , . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ?12 ? 2a ? ? c ,解得 a ? , b ? ?3, c ? 2 2 2 ? b ? 13 ? 3a ? ? c ? 3 ?
即y?

x 3 25 ? ? ,当 x ? 4 时, y ? 13.75 . . . . . . . . . . . . . .5 分 2 x 2

若用模拟函数 2: y ? m? n x ? s ,则有

? 10 ? mn ? s 1 ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ?12 ? mn ? s ,解得 m ? ?8, n ? , s ? 14 , 2 ?13 ? mn 3 ? s ?
即 y ? 14 ? 23? x ,当 x ? 4 时, y ? 13.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 所以选用模拟函数 1 好. . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 (2)因为模拟函数 1: y ?

x 3 25 ? ? 是单调增的函数,所以当 x ? 12 时,生产量远大于 2 x 2

他的最高限量, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 模拟函数 2: y ? 14 ? 23? x ,也是单调增,但生产量 y ? 14 ,所以不会超过 15 万件,所以 应该选用模拟函数 2: y ? 14 ? 23? x 好. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 分 当 x ? 6 时, y ? 14 ? 23?6 ? 13.875 , 所以预测 6 月份的产量为 13.875 万件. . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分 19.解: (1)因为数列 ?bn ? 为等差数列,且 S13 ? 208, S9 ? S7 ? 41 , 即?

? S13 ? 13b7 ? 208 ,解得 b7 ? 16 ,公差为 3, . . . . . . . . . . . . .2 分 ? S9 ? S7 ? b9 ? b8 ? 41

所以 b1 ? ?2 ,得 bn ? 3n ? 5 . . . . . . . . . . . . . .3 分 又 a1 ? b2 ? 1, a3 ? b3 ? 4 ,
n ?1 n? N* . 所以 an ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

?

?

(2) Tn ? a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? ?2 ?1 ?1? 2 ? ?? ?3n ? 5? ? 2 则 2Tn ? ?2 ? 2 ?1? 2 ??? ?3n ? 5? ? 2 , . . . . . . . . . . . . . .②
2 n

n?1

, . . . . . . . . .①

将①—②得:

?Tn ? ?2 ? 3 ? ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? ? ? 3n ? 5? ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 2 ? ? ? 3n ? 5? ? 2n ? 2 ? ?8 ? 3n ? ? 2n ? 8
n * 所以 Tn ? ? 3n ? 8 ? ? 2 ? 8 n ? N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

?

?

(3)因为 cn ? ?

? 2n ?1 , n为奇数 ?3n ? 5, n 为偶数



当 m ? 1 时, c1 ? . . . . . . . . . . .9 分 c2 ? c3 ? 8 ? 11 ?? 4 ? 8 ? 12,3? c1 ? c2 ? c3 ? ? 18 ,不等, 当 m ? 2 时, c2 ? c3 ? c4 ? 8 ? 1? 4? 7 ? 8 ? 36 , . . . . . . . . . . . . . . .10 分 3? c2 ? c3 ? c4 ? ? 3?1? 4 ? 7? ? 36 成立, 当 m ? 3 且为奇数时, cm?2 , cm 为偶数, cm?1 为奇数, 所以 cm ? . . . . . . . . . . . . .12 分 cm?1 ? cm?2 ? 8 为偶数, 3? cm ? cm?1 ? cm?2 ? 为奇数,不成立, 当 m ? 4 ,且 m 为偶数时,若 cm ? cm?1 ? cm?2 ? 8 ? 3? cm ? cm?1 ? cm?2 ? ,
m 即 ? 3m ? 5 ??2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 ? 3m ? 1? ? 8 ? 3 3m ? 5 ? 2m ? 3m ? 1 , 2 2m ? 18m ? 20 . 得 9m ? 12m ? 8 ? . . . . . . . . . . . . (*) 2 m 24 ? 18m ? 20 ,所以(*)不成立. 因为 9m ? 12m ? 8 ?2 ? ? 36m ? 12m ? 8 ?? . . . . . .15

?

?

?

?

?

?

分 综上得 m ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分

sin x cos x ? x , . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 ex e cos x sin x ? 5? ? x ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 所以 g ? x ? ? ; . . . . . . . . . . . . . . .3 分 x e e 4 4 cos x sin x sin x cos x cos x (2)因为 g ? ? x ? ? ? x ? x ? x ? x ? ?2 x , . . . . . . . . . . .4 分 e e e e e ? 3? 令 g? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 或 x ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 2 2
20.解: (1)因为 f ? ? x ? ? ?

x
g? ? x ?

0

? ?? ? 0, ? ? 2?

? 2
0

? ? 3? ? ? , ? ?2 2 ?

3? 2
0

? 3? ? ? , 2? ? ? 2 ?

2?

?
1

?
?
2

?
? e?2?
1 ?? ? . . . . . . . .7 分 ??? ? . ?2? e2

g ? x?

?

?e

?

?

e

?

3? 2

所以 g ? x ? 的最大值为 g ? 0? ? 1,所以 g ? x ? 的最小值为 g ? (3)因为 F ? ? x ? ? ?

sin x cos x ? x ? a ? g ? x? ? a , ex e

所以函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ax 在定义域上恰有 2 个极值点,等价于 g ? x ? ? a ? 0 在定义域上

恰有 2 个零点且在零点处异号,即 y ? g ? x ? 与 y ? a 的图象恰有两个交 点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9分 由(2)知 F ? ? 0 ? ? g ? 0 ? ? a ? 1 ? a, F ? ?
? ?? ? ?? ? 2 ? ? g ? ? ? a ? ?e ? a , 2 2 ? ? ? ?

?

3? ? ?a ? 3? ? ? 3? ? ? F ? ? ? g ? ? ? a ? e 2 , F ? ? 2? ? ? g ? 2? ? ? a ? e?2? ? a , ? 2 ? ? 2 ?

若 F??

?? ? ? 3? ? ? 0 ,则 F ? ? ?2? ? 2

? ?? ? ? ? F?? ? ? 0 , ? ?2?

所以 F ? ? x ? ? 0 至多只有 1 个零点,不成立, . . . . . . . . . . . . . . .10 分 所以只有 F ? ?

?? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 ??0; ?2?

若 F?? 分

? 3? ? 2

? . . . . . . . . . .12 ? ? 0 ,则 F ? ? 2? ? ? 0 ,所以 F ? ? x ? ? 0 只有 1 个零点,不成立, ?

所以 F ? ?

? 3? ? 2

? . . . . . . . . . . . . . . .13 分 ? ? 0. ?

? 3? 若 F?? ? 2

3? ? 3? ? 2 ? ? 0 ,即 a ? e ,在 x ? 2 处同号,不成立; ?

若 F ? ? 2? ? ? 0 ,则 F ? ? x ? ? 0 有 3 个零点,不成立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 所以只有 F ? ? 2? ? ? 0 .
? ? ? ?? ? ?? ? ? ? F ? ? ? g ? ? ? a ? ?e 2 ? a ? 0 所以满足的条件为: ? ? 2 ? , ?2? ? F ? ? 2? ? ? g ? 2? ? ? a ? e ?2? ? a ? 0 ?

解得 ?e

?

?
2

? a ? e?2? 或 a ? e
?

?

3? 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分
? 3? 2

注:利用图像直接得出 ?e

?
2

? a ? e?2? 或 a ? e

扣 4 分.


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