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山东省潍坊市2012届高三上学期期中四县一校教学质量监测 数学(理)试题(含答案)


潍坊市四县一校教学质量监测 高三数学(理科)
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1
2 2 C. a ? b 3 3 D. a ? b

2.若全集 U ? ? ,2,3,4,5,6?, M ? ?2,3?, N ? ? ,4? ,则集合{5,6}等于 1 1 A. M ? N B. M ? N C.(C U M ) ? (C U N ) D.(C U M ) ? (C U N )

2 2 2 3.已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 的否命题是 2 2 2 A.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 2 2 2 C.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3

B.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 2 2 2 D.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

a 4.已知 a ? 0 ,若 ? 0 (2 x ? 2)dx ? 3 ,则 a ?

A.1

B.2

C.3

D.3 或-1

5.已知 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 2 , b ? 3, B ? 60? ,那么

? A 等于 ? A. 135
6.函数 y ?

B. 45

?

C. 135 或 45

?

?

D. 60

?

lg | x | 的图象大致是 x

7.在等比数列 ?a n ?中,an?1 ? an , a2 ? a8 ? 6, a4 ? a6 ? 5 ,则

a5 等于 a7

A.

5 6

B.

6 5

C.

2 3

D.

3 2

?0 ? x ? 2 ? 8.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,则 z ? 2 x ? y 的 ? ?x ? 2 y
最大值为 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

9.设偶函数 f (x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 8 ,则 ?x | f ( x ? 2) ? 0? ? A. ? x | x ? ?2或x ? 4 C. ? x | x ? 0或x ? 6

?

B. ? x | x ? 0或x ? 4

? ?

?

D. ? x | x ? ?2或x ? 2

10.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象 可由函数 g ( x) ? sin x 的图象(纵坐标不变)变换如下 A.先把各点的横坐标缩短到原来的

? 个单位 12 1 ? C.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位 2 6 ? D.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位 6
B.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移

1 ? 倍,再向右平移 个单位 2 12

11.已知等差数列 ?a n ?的公差为 d (d ? 0) ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m 为 A.12 B.10 C.8 D.4

12.设函数 y ? f (x) 在 (??,??) 内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数:
? f ( x), f ( x) ? K ,取函数 f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K

f ( x) ? a ?|x| (a ? 1) .当 K ?

1 时, 函数 f K (x) 在下列区间 a

上单调递减的是 A. (??,0) B. (?a,??) C. (??,?1) D. (1,??)

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)
.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分 13.不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 9 的解集为 14.已知 cos x ?

3 ? , x ? ( ? ,0) ,则 tan 2 x ? . 5 2 ax ? 1 15.函数 f ( x) ? (a 为常数)在(-2,2)内为增函数,则实数 a 的取值范围是 x?2
16.给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, cos x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, cos ? 0 ” ; ②若 0 ? a ? 1 ,则函数 f ( x) ? x 2 ? a x ? 3 只有一个零点; ③若 lg a ? lg b ? lg(a ? b) ,则 a ? b 的最小值为 4; ④对于任意实数 x ,有 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,则当 x ? 0 时,

.

f ' ( x) ? 0 .
其中正确命题的序号是 .(填所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x ? R | log2 (6x ? 12) ? log2 ( x 2 ? 3x ? 2)? B ? x | 2x ?3 ? 4x , x ? R . ,
2

?

?

求 A ? (CRB ). 18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 1 ? (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)已知 a ?

tan A 2c ? . tan B b

7 , bc ? 6 求 b ? c 的值. 2

19.(本小题满分 12 分) (考生注意:本题请从以下甲乙两题中任选一题作答,若两题都答 只以甲题计分) 甲 : 设 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 bn ? 2 ? Sn ; 数 列 ?a n ? 为 等 差 数 列 , 且

a5 ? 9, a7 ? 13.
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn (n ? 1,2,3,? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn . )

乙:定义在[-1,1]上的奇函数 f (x) ,已知当 x ?[?1,0] 时, f ( x ) ? (Ⅰ)求 f (x) 在[0,1]上的最大值; (Ⅱ)若 f (x) 是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分)

1 a ? (a ? R ). 4x 2x

已知函数 f ( x) ? 2a sin ?x cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3(a、? ? 0) 的最大值为 2.

x1 , x2 是集合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0} 中的任意两个元素, | x1 ? x2 | 的最小值为
(Ⅰ)求 a、? 的值 (Ⅱ)若 f (a) ?

? . 2

2 5? ? 4? ) 的值. ,求 sin( 3 6

21.(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上 的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车 流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v(x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 22.(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax2 , x ? 0.( f ( x) 的图像连续不断) (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? (2,??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

( Ⅲ ) 若 存 在 ? , ? ? [1,3] , 且 ? ? ? ? 1 , 使 f (? ) ? f ( ? ), 证 明

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3

高三数学(理科)参考答案
2011.11
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ADACB DDBBA CD 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. [?4,5] 14.

24 7

15. a ?

1 2

16.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

]

?6 x ? 12 ? 0 ? 2 解:由 log2 (6x ? 12) ? log2 ( x2 ? 3x ? 2) 得 ? x ? 3x ? 2 ? 0 ?6 x ? 12 ? x 2 ? 3x ? 2 ?

????????3 分

? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? 即? ,解得: ?1 ? x ? 5 .即 A ? {x | ?1 ? x ? 5} .?????????6 分 2 ?6 x ? 12 ? x ? 3x ? 2 ?

B ? {x ? R | 2x ?3 ? 4x } ? {x ? R | 2x ?3 ? 22 x }
2 2

由2

x 2 ?3

? 22 x 得 x 2 ? 3 ? 2 x ,
??????????????9 分

解得 ?1 ? x ? 3 .即 B ? {x ? R | ?1 ? x ? 3} 则 ?R B = {x ? R | x ? ?1或x ? 3} . 则 A ? (?R B) = {x ? R | 3 ? x ? 5}. 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 1+

???????????????12 分

tan A 2c sin A cos B 2sin C ? 及正弦定理,得1+ ? ,??3 分 tan B b cos A sin B sin B cos A sin B ? sin A cos B 2sin C 即 ? , cos A sin B sin B sin( A ? B) 2sin C ? ? , ??????????????????5 分 cos A sin B sin B 1 在?ABC中,sin( A ? B) ? sin C ? 0,? cos A ? . ??????????6 分 2 ? 0 ? A ? ? ,? A ?

?
2

3

.
2 2

????????????????7 分

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,????????????8 分 又a ? 则

7 1 , bc ? 6, cos A ? , 2 2

49 ? b 2 ? c 2 ? bc = (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ?18 ,????????10 分 4 11 解得 b ? c ? . ????????????????????12 分 2

19.(本小题满分 12 分) 甲:解:(Ⅰ)由 bn ? 2 ? Sn , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? S1 , 又S1 ? b1 , 所以b1 ? 1 ,???1 分

当n ? 2时,由bn ? 2 ? Sn , 可得bn ? bn?1 ? ?(Sn ? Sn?1 ) ? ?bn , ????3 分 b 1 ??????????????????4 分 即 n ? , bn ?1 2
1 1 所以?bn ? 是以b1 ? 1为首项, 为公比的等比数列,于是bn ? n ?1 .??6 分 2 2
(Ⅱ)数列 {an } 为等差数列,公差 d ? 从而 cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ?

1 (a7 ? a5 ) ? 2, 可得an ? 2n ? 1 ,??8 分 2

1 , ??????????????9 分 2n ?1 3 5 7 2n ? 1 ?Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 3 5 7 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ?(1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2 = 1 ? 2?2 ? n 1 2 1? 2 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 3 ? n . ???????????????11 分 = 3 ? n?2 ? n 2 2 2 2n ? 3 从而 Tn ? 6 ? n ?1 .????????????????????12 分 2

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x ?x 乙:乙:解: )设 (Ⅰ …………3 分 4 2 x x ? f (? x) ? ? f ( x),? f ( x) ? a ? 2 ? 4 , x ? [0,1]. x ? [0,1], 则 ? x ? [?1, 0], f (? x) ?

? f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ?[0,1]. …………5 分
令t ? 2 x , t ? [1, 2], a a2 ? g (t ) ? a ? t ? t 2 ? ?(t ? )2 ? 2 4
a 当 ? 1, 即a ? 2, g (t ) max ? g (1) ? a ? 1; 2 a a a2 当1 ? ? 2, 即2<a<4时,g (t ) max ? g ( ) ? ; 2 2 4 当a ? 2, 即a ? 4时,g (t ) max ? g (2) ? 2a ? 4; 综上:当a ? 2时,f(x)最大值为a-1, a2 当2<a<4时,f(x)最大值为 , 4

当 a≥ 4 时,f(x )的最大值为 2a-4. (Ⅱ)因为函数 f(x)在[0,1]上是增函数, 所以 f ' ( x) ? a ln 2 ? 2x ? ln 4 ? 4x ? 2x ln 2(a ? 2 ? 2x ) ? 0,

…………8 分

…………10 分 …………12 分

? a ? 2 ? 2 x ? 0恒成立,a ? 2 ? 2 x ? 2 x ? [1, 2],? a ? 4
20.(本小题满分 12 分)

解: (I) f ( x) ? a sin 2? x ? 3(1 ? cos 2? x) ? 3 ????????2 分

? a sin 2? x ? 3 cos 2? x

? a 2 ? 3 sin(2? x ? ? )

??????????????????4 分

由题意知 a2 ? 3 ? 2 ,则 a ? 1 ,????????????????5 分 由题知 f ( x ) 的周期为 ? ,则 (II)由 f (? ) ?

2? ? ? ,知 ? ? 1 .??????????7 分 2?

2 ?? 2 ?? 1 ? ? 知2 sin? 2? ? ? ? ,即sin? 2? ? ? ? .????????8 分 3 3? 3 3? 3 ? ?

? 3? ? 2? ?? 2? ? ? 5? ? ? ? sin? ? 4? ? ? sin ? ? ? 4? ? ?? ? ? cos? 4? ? ? 3 ?? 3 ? ??????? 10 分 ? 6 ? ? ?2 ?

?? 7 ? ?1? ? ?1 ? 2 sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? . 3? 9 ? ? 3?
2 2

????????12 分

21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意当 0 ? x ? 20 时,v?x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v?x ? ? ax ? b ,?? 2分 显然 v?x ? ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数,由已知得 ? 4分

?200a ? b ? 0 ,?????????? ?20a ? b ? 60

1 ? a?? ? ? 3 解得 ? 200 ?b ? ? 3 ?

?????????????????????6



0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v?x ? 的表达式为 v?x ? = ? 1 ????????7 分 20 ? x ? 200. ? 3 ?200 ? x ?, ? 0 ? x ? 20, ?60x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ?x ? ? ? 1 20 ? x ? 200. ? 3 x?200 ? x ?, ?
当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;??8 分 当 20 ? x ? 200 时, f ?x ? ?

1 1 ? x ? ?200 ? x ?? 10000 x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 ,????10 分 3 3? 2 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值

?????11 分

10000 . 3 10000 ? 3333 , 综上,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?0,200?上取得最大值 3
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.??12 分

22.(本小题满分 14 分) (I)解: f '( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x ? (0, ??) , x 2

??????2 分

令 f '( x) ? 0, 解得x=

2a . 2a

????????????3 分

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(0,

2a ) 2a

2a 2a

(
?

2a , ??) 2a

+

0

f ( x)

极大值

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 (0,

2a 2a ), f ( x) 的单调递减区间是 ( , ??). ??6 分 2a 2a
1 2 x . 8
????7 分

(II)证明:当 a ? 时, f ( x) ? ln x ?

1 8

由(I)知 f ( x ) 在(0,2)内单调递增, 在 (2, ??) 内单调递减. 令 g ( x) ? f ( x) ? f ( ). 由于 f ( x ) 在(0,2)内单调递增, 故 f (2) ? f ( ), 即g(2)>0. 取 x1 ?

3 2

3 2

????????????8 分

3 41 ? 9e2 e ? 2, 则g ( x1 ) ? ? 0. 2 32

所以存在 x0 ? (2, x1 ), 使g ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (2, ??), 使f ( x0 ) ? f ( ).

3 2

??????????10 分

(说明: x1 的取法不唯一,只要满足 x1 ? 2, 且g ( x1 ) ? 0 即可) (III)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(I)的结论知 ? ?

2a ??, 2a

从而 f ( x)在[? , ? ] 上的最小值为 f (? ). ????????11 分 又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ? [1,3], 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3.

故?

? f (2) ? f (? ) ? f (1), ?ln 2 ? 4a ? ?a, ????13 分 即? ? f (2) ? f ( ? ) ? f (3). ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a.
ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . ??????????????14 分 5 3

从而


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