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2011年浙江省高考数学试卷及答案(文科)


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绝密★考试结束前

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部 分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3

S ? 4? R2
球的体积公式

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径 如果事件 A, B 互斥 ,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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一.选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.若 P ? {x x ? 1}, Q{x x ? 1} ,则 A. P ? Q C. CR P ? Q B. Q ? P D. Q ? CR P

2.若复数 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则 (1 ? z ) ? z ? A. 1 ? 3i B. 3 ? 3i X+2y-5≥0 3.若实数 x,y 满足不等式组 2x +y -7≥0,则 3x+4y 的最小值是 x≥0,y≥0 A.13 B.15 C.20 D.28 C. 3 ? i D.3

4.若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 A. a 内存在直线与异面 C. a 内存在唯一的直线与 l 平行 B. a 内不存在与 l 平行的直线 D. a 内的直线与 l 都相交
2 B

s s s 5. ?ABC 中, A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B , n c A c A ? 在 角 则i o o
A.-

?

1 2

B.

1 2 1 ”的 a

C.-1

D.1

6.若 a , b 为实数,则“ 0?ab?1 ”是“ b? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

A.

B.

C.

D.

8.从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概 率是 A.

1 10

B.

3 10

C.

3 5

D.

9 10

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9.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)与双曲线 C2 : x 2 ? ? 1 有公共的焦点,C2 的一 a2 b 4

条渐近线与 C1C2 的长度为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 A.a2 =

13 2

B.a2=13
2

C.b2=

1 2

D.b2=2
x

10.设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? ,若 x ? ?1 为函数 f ? x ? e 的一个极值点,则 下列图象不可能为 y ? f ? x ? 的图象是

A.

B.

C.

D.

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.设函数 k f ( x ) ?

4 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =__________________。 1? x

12 . 若 直 线 与 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与 直 线 2 x ? my ? 6 ? 0 互 相 垂 直 , 则 实 数

m =_________________。
13.某小学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某此数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图) 。根据频率分布直 方图 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_____________________。

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14.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是 15.若平面向量 α、β 满足 ? ? 1 ? ? 1 ,且以向量 α、β 为邻边的平行 四边形的面积为



1 ,则 α 和 β 的夹角 θ 的取值范围是____________。 2

16.若实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是_________。 17.若数列 ?n(n ? 4)( ) n ? 中的最大项是第 k 项,则 k =__________。

? ?

2 ? 3 ?

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 .( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,

0 ?? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低

点,点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ )若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的值. 3

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19. (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 (a1 ? R), 且 等比数列。 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )对 n ? N ,试比较
?

1 1 1 , , 成 a1 a2 a4

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n , 与 的大小。 a2 a2 a2 a2 a1

20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, PO ⊥ 平面 ABC ,垂足 O 落在线段 AD 上. (Ⅰ )证明: AP ⊥BC ; (Ⅱ )已知 BC ? 8 , PO ? 4 , AO ? 3 , OD ? 2 .求二面角 B ? AP ? C 的大小.

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21. (本大题满分 15 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax, a ? 0
2 2

(I)求 f ( x) 的单调区间

x ? ?1, e? (II)求所有实数 a ,使 e ?1 ? f ( x) ? e 对 恒成立。注:e 为自然对数的底数。
2

22. (本大题满分 15 分)如图,设 P 为抛物线 条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B 两点。

C1 :

x2 ? y 上的动点。过点 P 做圆 C2 的两

(Ⅰ )求 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离。 (Ⅱ )是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分,若存在,求出点

P 的坐标;若不存在,请说明理由。

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数学(文科)试题参考答案
一.选择题: 题号 答案 二.填空题. 11. - 1 12.1 16.
2 3 3

1 C

2 A

3 A

4 B

5 D

6 D

7 B

8 D

9 C

10 D

13.600 17.4

14.5

? 5? 15. [ , ] 6 6
三.解答题

18.本题主要考查三角函数的图像与性质,三角运算等基础知识。满分 14 分。 (Ⅰ )解:由题意得, T ?

2?

?

?6

3
因为 P(1, A) 在 y ? A sin( 又因为 0 ? ? ?

?
3

x ? ? ) 的图像上,所以 sin(

?
3

? ? ) ? 1.

?
2

,所以 ? ?

?
6

(Ⅱ )解:设点 Q 的坐标为( x0 , A ).

2? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4, ? A) 3 6 3 2? 连接 PQ,在△PRQ 中,∠ PRQ= ,由余弦定理得 3
由题意可知

?

x0 ?

?

?

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 cos ?PRQ ? ? ? , 2RP.RP 2 2 3. 9 ? A2
解得 A2=3,又 A>0,所以 A= 3 。

19.本题主要考查等差数列等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知 识,同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ )解:设等差数列{an}的公差为 d,由 ( 得 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) 。从而 a1d ? d

1 2 1 1 ) ? ? , a2 a1 a4

2

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因为 d ? 0 ,所以 d ? a1 ? an 故通项公式 an ? na. , (Ⅱ )解:记 Tn ?

1 1 1 ? 2 ? ... n , 因为 a2 ? 2n a , a2 a2 a2

1 1 (1 ? ( )) n 1 1 1 1 1 2 2 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ]. Tn ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? . 1 a 2 2 2 a a 2 1? 2
所以,当 a>0 时, Tn ?

1 1 ;当 a<0 时, Tn ? 。 a1 a1

20.本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想 象能力和推理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ )证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥ BC, 又 PO⊥ 平面 ABC,得 PO⊥ BC。 因为 PO∩AD=0,所以 BC⊥ 平面 PAD,故 BC⊥ PA. (Ⅱ )解:如图,在平面 PAB 内作 BM⊥ 于 M,连 CM. PA 因为 BC⊥ PA.,得 AP⊥ 平面 BMC,所以 AP⊥ CM. 故∠ BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角。 在 Rt⊿ ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41 在 Rt⊿ POD 中, PD2=PO2+OD2, 在 Rt⊿ PDB 中, PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36,得 PB=6. 在 Rt⊿ POB 中, PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5 又 cos ?BPA ?

PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 ? , 2 PA ? PB 3
2 2 , 所以 BM ? PB sin ?BPA ? 4 2 3

从而 sin ?BPA ? 同理 CM ? 4 2

因为 BM2+MC2=BC2,所以 ?BPA =900
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即二面角 B-AP-C 的大小为 900。

21.本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概 括、推理能力。满分 15 分。 (Ⅰ )解:因为 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax ,其中 x ? 0 ,

a2 ( x ? a)(2 x ? a) 2x ? a ? ? 所以 f '( x) ? 。 x x
由于 a ? 0 ,所以 f ( x ) 的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞) (Ⅱ )证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即 a ? c 由(Ⅰ )知 f ( x ) 在[1,e]恒成立, 要使 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对 x ? [1, e] 恒成立, 只要 ?

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1
2 2 2 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e

,解得 a ? e 。

22.本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ )解:由题意可知,抛物线 C1 的准线方程为: y ? ? 所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为 | ?

1 , 4

1 11 ? (?3) |? . 4 4

(Ⅱ )解:设点 P 的坐标为(x0, x02),抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点 D。 再设 A,B,D 的横坐标分别为 xA , xB , xD 过点 P(x0, x02)的抛物线 C1 的切线方程为:

y ? x02 ? 2x0 ( x ? x0 ).

(1)

当 x0 ? 1 时,过点 P(1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ?

15 ( x ? 1) 。 8

17 , xB ? 1, xD ? ?1, xA ? xB ? 2 xD 。所以 x02 ?1 ? 0 。 15

设切线 PA.PB 的斜率为 k1 , k2 ,则

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PA : y ? x02 ? k1 ( x ? x0 ), PB : y ? x02 ? k2 ( x ? x0 ),
将 y ? ?3 分别代入(1)(2)(3) , , ,得

(2) (3)

x02 x02 ? 3 x02 ? 3 xD ? ( x0 ? 0); xA ? x0 ? ; xB ? x0 ? (k1 , k2 ? 0), 2 x0 k1 k2
从而 xA ? xB ? 2 x0 ? ( x0 ? 3)(
2

1 1 ? ). k1 k2



| ? x0 k1 ? x0 2 ? 3 | k12 ? 1

? 1,

即 ( x02 ?1)k12 ? 2( x02 ? 3) x0k1 ? ( x02 ? 3)2 ?1 ? 0 同理 ( x02 ?1)k22 ? 2( x02 ? 3) x0k2 ? ( x02 ? 3)2 ?1 ? 0 所以 k1 , k2 是方程 ( x02 ?1)k 2 ? 2( x02 ? 3) x0k ? ( x02 ? 3)2 ?1 ? 0 的两个不相等的根,从而

k1 ? k2 ?

2 x0 ( x0 2 ? 3) ( x 2 ? 3)2 ? 1 , k1 ? k2 ? 0 2 x0 2 ? 1 x0 ? 1

因为 xA ? xB ? 2 xD ,

x02 ? 3 1 1 1 1 1 所以 2 x0 ? (3 ? x0 )( ? ) ? ,即 ? ? 。 k1 k2 x0 k1 k2 x0
2

从而

2(3 ? x02 ) x0 1 ? , (3 ? x02 )2 x0

进而得 x04 ? 8, x0 ? ? 4 8. 综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为 (? 4 8, 2 2)

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