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浙江专版高考数学二轮专题复习第一部分专题三数列与数学归纳法讲义(含答案)

专题三 数列与数学归纳法 第一讲 考点一 利用an与Sn的关系求通项 数列的通项 一、基础知识要记牢 ? ?S1,n=1, an=? ?Sn-Sn-1,n≥2, ? 使用时要注意对第一项的求解与检验,如果符合 an=Sn-Sn-1 的规 律才能合并,否则要写成分段的形式. 二、经典例题领悟好 [例 1] (2018 届高三·浙东北三校联考)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, an+1 =4Sn+4n+1,n∈N ,且 a2,a5,a14 恰是等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 3? ? * (2)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,?Tn+ ?k≥3n-6 恒成立,求实数 k 的取 2? ? 值范围. [解] (1)∵an+1=4Sn+4n+1(n∈N ), ∴an=4Sn-1+4(n-1)+1(n≥2), 两式相减,得 an+1-an=4an+4(n≥2), ∴an+1=(an+2) (n≥2). 又 an>0,故 an+1=an+2(n≥2). 即 an+1-an=2(n≥2). 又 a5=a2a14,即(a2+6) =a2(a2+24),解得 a2=3, 又 a2=4S1+4+1,故 a1=S1=1. ∴a2-a1=3-1=2,故数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,故 an=2n-1. 易知 b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3 . (2)由(1)可知 Tn= -3 1-3 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * * 2 = 3 n+1 -3 . 2 n+1 3 -3 3? 2n-4 ? + ?k≥3n-6 对任意的 n∈N*恒成立,即 k≥ n 对任意的 n∈N*恒成立. ∴? 2 2 3 ? ? 2n-4 令 Cn= n , 3 2n-4 2n-6 - 则 Cn-Cn-1= n - n-1 = 3 3 n- 3 n (n≥2), -1- 故当 n=2,3 时,Cn>Cn-1,当 n≥4,n∈N 时, * Cn<Cn-1,∴C3= 最大,∴k≥ . 2 27 2 27 ?2 ? 故 k 的取值范围为? ,+∞?. ?27 ? 对于数列,an 和 Sn 有关系 an=? ? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2, ? 这是一种重要的关系,是已知 Sn 求通项 an 的常用方法.首先利用 Sn“复制”出 Sn-1,就是“用两次”,再作差求出 an. 三、预测押题不能少 1.设各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足 Sn-(n +n-3)Sn-3(n +n) =0,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{an} 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 解:(1)由题意知, 2 2 * S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N . * 2 2 2 a1 1 a1+ + a2 1 a2+ +…+ an 1 an+ 1 < . 3 令 n=1,有 S1-(1 +1-3)S1-3×(1 +1)=0, 可得 S1+S1-6=0,解得 S1=-3 或 2, 即 a1=-3 或 2,又 an 为正数,所以 a1=2. (2)由 Sn-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N 可得, (Sn+3)(Sn-n -n)=0,则 Sn=n +n 或 Sn=-3, 又数列{an}的各项均为正数, 所以 Sn=n +n,Sn-1=(n-1) +(n-1), 所以当 n≥2 时, 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 又 a1=2=2×1,所以 an=2n. (3)证明:当 n=1 时, 当 n≥2 时, 1 a1 1 a1+ 1 = 1 1 1 = < 成立; 2×3 6 3 < 1 an an+ = 2n n+ n- n+1 1 ? 1? 1 - = ? ?, 2?2n-1 2n+1? 所以 1 a1 a1+ + 1 a2 a2+ +…+ 1 an an+ -2- 1 1??1 1? ? 1 - 1 ?? < + ?? - ?+…+? ?? 6 2??3 5? ?2n-1 2n+1?? 1 ? 1 1 1 1 1?1 = + ? - < + = . 3 2 n +1? 6 2? ? 6 6 3 所以对一切正整数 n, 有 1 a1 a1+ + 1 a2 a2+ +…+ 1 an an+ 1 < . 3 考点二 利用累加、累乘、代入等方法求通项 一、基础知识要记牢 累加即利用恒等式 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)求通项; 累乘即利用恒等式 an =a1· · ·…· a2 a3 a1 a2 an 求通项. an-1 二、经典例题领悟好 [例 2] (1)已知正项数列{an}中,a1=1,且(n+2)·an+1-(n+1)an+anan+1=0,则它的通项 公式为( A.an= C.an= ) 1 n+1 B.an= 2 n+1 2 2 n+2 2 D.an=n (2)已知数列{an}中,a1=1,且 an+1=an(1-nan+1),则数列{an}的通项公式为________. [解析] =0. 又{an}为正项数列, 所以(n+2)an+1-(n+1)an=0,即 则当 n≥2 时,an= (1)因为(n+2)an+1-(n+1)an+anan+1=0,所以[(n+2)an+1-(n+1)an](an+1+an) 2 2 an+1 n+1 = , an n+2 an an-1 a2 n n-1 2 2 · ·…· ·a1= · ·…· ·1= , an-1