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广东省仲元中学2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(文)试题(word)版


广东仲元中学 2015 学年度第一学期高二级期中考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分为 150 分,考试用时为 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1 10 名同学参加投篮比赛,每人投 20 球,投中的次数用茎叶图表示(如图),设其平均数为 a ,中 位数为 b ,众数为 c ,则有( ) A a?b?c B b?c?a C

0 1 2

99 2567778 0

c?a?b
第 1 题图 )

D c?b?a 2.运行右图所示的程序,则输出的结果为( A.23 B.21 C.19 D.17

3.下列四个命题: ①对立事件一定是互斥事件; ②若 A,B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A,B,C 彼此互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. 其中错误命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 第 2 题图

4.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法取 10 人 参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层 抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2, ??,270;使用系统抽样时,将学生统一 随机编号 1,2, ??,270,并将整个编号依次分为 10 段 如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结 论中,正确的是( ) A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、③都可能为分层抽样 D ①、④都可能为系统抽样 5.一物体沿斜面自由下滑,测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系 为 s ? 3t 3 ,则当 t=1 时,该物体在水平方向的瞬时加 速度 为( . .. A. 18 B. 9
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) C.6 D.3

6.下列命题的说法错误的是(

) B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”为真命题.

A.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题.

2 C.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. 2 2 D.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 , 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.
a b 7.已知 a 、 b 为实数,则“ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(

)

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.在区间 [?3,3] 上随机取一个数 x ,使得函数 f ( x) ? ln( 1 ? x) ? x ? 2 有意义的概率为( ) A. 1 9.点 P 在曲线 C: y ? 范围是( A. ) B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

3 cos x ? 2015上移动,若曲线 C 在 P 处的切线的倾斜角为 α ,则 α 取值

[0,

?
3

]?[

2? ,? ) 3

B.

[0,

?
6

]?[

5? ,? ) 6

C.

[0,

?
6

]?[

5? ,? ] 6

D. 3 )

[

? 2?
, 3

]

10. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S∈( A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5]

D.[-3,6]

11. 在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图示, f′(x)为函数 f(x)的导数,则关于 x 的不等式 x·f′(x)<0 的解集为( ) A. (??,?1) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1,??) C. (?2,?1) ? (1,2) D. (??,?2) ? (2,??)

第 10 题图

第 11 题图

第 12 题图

12.如图,P( x0 , f ( x0 )) 是函数 y ? f ( x ) 图像上 一点, 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线交 x 轴于点

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A , PB ? x 轴,垂足为 B ,若 ?PAB 的面积为

1 , f '( x0 ) 为函数 f ( x ) 在 x ? xo 处的导数值,则 2

f '( x0 ) 与 f ( x0 ) 满足关系式(
A. f '( x0 ) ? f ( x0 )


2

B. f '( x0 ) ? ? ? f ( x0 ) ? ?

C. f '( x0 ) ? ? f ( x0 ) D. ? ? f '( x0 ) ? ? ? f ( x0 )

2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设某总体是由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个 体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出 来的第 5 个个体的编号是______. 7816 6572 0802 6316 0702 4369 9728 1198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 14.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%. 现采用随机模拟试验的方法估计这三 天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨, 用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试 验产生了如下 20 组随机数: 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为 . 15.已知命题 p 与命题 q

p :对任意实数 x ,都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立;
2 q :关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根.

若 p ? q 为假且 p ? q 为真,则实数 a 的取值范围是



? 16. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 区 间 [?2,2] 的 奇 函 数 , 若 f ( x) ? x ? f ( x) ? 0 , 则 不 等 式 (? x ? 1? ) f (? 1 x?)的解集是 0
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与 相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5
? ? ?

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)已知该厂技改前 50 吨甲产品的生产能耗为 45 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程, 预测生产 50 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?

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(参考公式: b ?

?

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

?nx y
_

_ _

,参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
2

? n ( x)

18.(本题满分 12 分)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b .(1)求点 P(a,b)落 在正方形区域 ? ? {( x, y) | 1 ? x ? 5,2 ? y ? 6} 的概率;(2)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的 长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 19.(本题满分 12 分)为了了解高二男生体重情况,某 中学从高二男生中随机测量了 M 名男生的体重, 所得数 据整理后列出了频率分布表如下: (1)求 a, b, M , N 的值. (2)画出频率分布直方图和折线图 (3)估计该校高二男生的平均体重是多少? 组 别 频数 1 4 20 15 8 频率 0 02
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[52,56) [56,60) [60,64) [64,68) [68,72) [72,76) 合 计

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0 08
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0 40
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0 30
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0 16
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a
M

b N

20 .(本题满分 12 分)已知某厂每天的固定成本是 20000 元,每天最大规模的产品量是 350 件。每

1 R ( x) ? ? x 2 ? 400 x 生产一件产品,成本增加 100 元,生产 x 件产品的收入函数是 ,记 L( x), P( x) 2 总利润 平均利润= 分别为每天的生产 x 件产品的利润和平均利润 总产量 ). .... (
(1)每天生产量 x 为多少时,利润 L( x) 有最大值?; (2)每天生产量 x 为多少时,平均利润 ....P ( x) 有最大值?若该厂每天生产的最大规模为 180 件, 那么每天生产量 x 为多少时,平均利润 ....P ( x) 有最大值?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx , g ( x) ?
2

1 2 mx ? x, m ? R, 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值;
(Ⅰ)当 m ?
2 2 22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ), g ( x) ? b ln x .

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(1)若 b ? e ,求曲线 g ( x) 在点 P(e, g (e)) 处的切线方程。 (2) 关于 x 的不等式 ( x ?1)2 ? f ( x) 的解集中的恰有 3 个整数,求实数 a 的取值范围; (3) 对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k , m ,使得 f ( x) ? kx ? m 和

g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”.设 a ?

2 , 2

b ? e ,试探究 f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存
在,请说明理由.

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2015 学年度第一学期高二级期中考试文科数学卷参考答案 1-12.DBDCA ABBAD AB
4

13.

11

14. 0.3

15. (?? ,0) ? ( ,4)

1 4

16. [ ?1,1)

17.由题意,得∑ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,...........1 分 =
i 1

x=
^

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 =4.5 y = =3.5,...2 分 4 4
^ ^

i 1

2 2 2 2 ∑ x2 i =3 +4 +5 +6 =86,.....3 分 =

4

66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 则b= = =0.7,.....5 分 86-4×4.52 86-81
^

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,....7 分

故线性回归方程为y =0.7x+0.35............8 分 (3)根据线性回归方程的预测,现在生产 50 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ×50+ 0.35 = 35.35,...........9 分 故消耗能源减少了 45-35.35=9.65(吨)............10 分 18.先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b 包含的基本事件有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),?,(6,5),(6,6) 共 36 个...................................3 分

(1) 落在区域 ? 的点包含有 9 基本事件:(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),
(3,5),(4,3),(4,4),(4,5)................................5 分

9
所以点 P(a,b)落在 正方形区域 ? ? {( x, y) | 1 ? x ? 5,2 ? y ? 6} 的概率 36 (2)∵三角形的一边长为 5,三条线段围成等腰三角形, ∴当 a=1 时, b=5, 共 1 个基本事件; 当 a=2 时, b=5, 共 1 个基本事件;

?

1 4

.......7 分



a=3 时,b=3,5,共 2 个基本事件;当 a=4 时,b=4,5,共 2 个基本事件 当 a =5 时,b=1,2,3,4,5,6,共 6 个基本事件;当 a=6 时,b=5,6,共 2 个基本事 件.........................10 分 ∴满足条件的基本事件共有 1+1+2+2 +6+2 =14 个..................11 分 ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为 14 7 = . 36 18 19.(1) M ? ....................12 分

1 ? 50 0.02

a ? 50 ? (1 ? 4 ? 20 ? 15 ? 8) ? 2 ........2 分
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N ? 1, b ?

2 ? 0.04 50

........4 分 折线图.......9 分

(2)如图示..........8 分 (3) 样本的平均身高

= 54 ? 0.02 ? 58 ? 0.08 ? 62 ? 0.40 ?66 ? 0.30 ? 70 ? 0.16 ? 74 ? 0.04 = 64.48 ..11 分 所以估计该校高二男生的平均体重是 64.48 .........12 分

1 L( x) ? ? x 2 ? 300 x ? 20000 20. 解:(1)依题意得利润 , x ? (0,320] 2 1 1 L( x) ? ? x 2 ? 300 x ? 20000 ? ? (x ? 300) 2 ? 25000 ........3 分 2 2
∵ x ? (0,320] ,∴当 x ? 300 时, L( x) 有最大值。........4 分

.........2 分

(2)依题意得

1 ? x2 ? 3 0 0 x? 20000 1 20000 P( x )? 2 ?? ( x? ? ) x 2 x

300 , x ? (0,320] .....6 分

1 20000 40000 ? x 2 ? P ( x) ? ? ? ? , 2 x2 2x2
当 x ? (0, 200) 时, P?( x) ? 0 , P( x) 在 (0, 200) 递增, 当 x ? (200,320) 时, P?( x) ? 0 , P( x) 在 (0, 200) 递增. ......8 分 ∴当 x ? 200 时, P( x) 有最大值........9 分 若 x ? (0,180] ,由上可知 P( x) 在 (0,180] 上为增函数, ∴当 x ? 180 ,平均利润 ....P ( x) 有最大值......11 分 答:(1)当产量为 300 件时, L( x) 有最大值;(2)当产量为 200 时, P( x) 有最大值,若该最大 产量为 180 件时,则当产量为 180 时, P( x) 有最大值. .....12 分

1 1 1 ? x2 21.解:⑴ f ( x) ? lnx ? x2 , x ? 0, f ?( x) ? ? x ? ( x ? 0) 2 x x

????????2 分

由 f ?( x) ? 0, 得 1 ? x 2 ? 0, 又 x ? 0, 所以 0 ? x ? 1.所以 f ( x) 的单增区间为 (0,1) . ???4 分

1 (2)方法一:令 G( x) ? F ( x) ? (mx ? 1) ? lnx ? mx2 ? (1 ? m) x ? 1, ?????????5 分 2

1 ?mx2 ? (1 ? m) x ? 1 . ?????????6 分 ? mx ? (1 ? m) ? x x 当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G ?( x) ? 0. 所以 G ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,
所以 G?( x) ?

1 3 又因为 G(1) ? ln1 ? m ?12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0, 2 2
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所以关于 x 的不等式 F ( x) ? mx ? 1 不能恒成立.
?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 ?? 当 m ? 0 时, G ?( x) ? x m( x ? 1 )( x ? 1) m . x

?????????8 分

令 G ?( x) ? 0, 得 x ?

1 1 1 ,所以当 x ? (0, ) 时, G ?( x) ? 0; 当 x ? ( , ??) 时, G?( x) ? 0 . m m m

1 1 因此函数 G ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数. m m

1 1 1 1 1 1 故函数 G ( x) 的最大值为 G( ) ? ln ? m ? ( )2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? ln m. m m 2 m m 2m
1 1 1 ? ln m, 因为 h(1) ? ? 0, h(2) ? ? ln2 ? 0, 2m 2 4 h ( m ) m ? (0, ?? ) 又因为 在 上是减函数,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 .
令 h(m) ? 所以整数 m 的最小值为 2.

????10 分

?????12 分

1 方法二:⑵由 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,得 lnx ? mx2 ? x ? mx ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 2
问题等价于 m ?
lnx ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2

????????5 分

令 h( x ) ?

lnx ? x ? 1 ,只要 m ? h( x)max . 1 2 x ?x 2

????????6 分

1 ( x ? 1)(? x ? lnx) 1 2 因为 h?( x) ? , 令 h?( x) ? 0, 得 ? x ? lnx ? 0 . 1 2 2 ( x ? x) 2 2

1 1 1 设 ? ( x) ? ? x ? lnx ,因为 ? ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,?????8 分 2 2 x 1 不妨设 ? x ? lnx ? 0 的根为 x0 .当 x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 . 2
所以 h ( x ) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

所以 h( x)max

1 1 ? x0 lnx0 ? x0 ? 1 1 2 ? h( x0 ) ? ? ? . 1 2 1 x 0 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) 2 2

???????10 分

1 1 1 因为 ? ( ) ? ln2 ? ? 0,? (1) ? ? ? 0 2 4 2 1 1 所以 ? x0 ? 1. 此时 1 ? ? 2, g ( x)max ? (1, 2). 所以 m ? 2, 即整数 m 的 最小值为 2 ?? 12 分 2 x0
22.解:(1) g ?( x) ?

e , g?(e) ? 1 ,切线方程为 y ? e ? x ? e 即 x ? y ? 0 ??2 分 x
2

(2)解法一:不等式 ( x ? 1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,
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等价于 (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,
2

令 h( x) ? (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1 ,由 h(0) ? 1 ? 0 且 h(1) ? ?a2 ? 0(a ? 0) , 所以函数 h( x) ? (1 ? a2 ) x2 ? 2 x ? 1 的一个零点在区间 (0,1) , 则另一个零点一定在区间 (?3, ?2) ,

故?

?h(?2) ? 0, 4 3 解之得 ? a ? . 3 2 ?h(?3) ? 0,
2

????6 分

2 2 解法二: (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,

(1? a2 ) x2 ? 2x ?1 ? ?(1? a) x ?1??(1? a) x ?1? ? 0 ,
1 1 1 ?x? ?1, ,又因为 0 ? 1? a 1? a 1? a 1 4 3 ? ?2 ,解之得 ? a ? . 所以 ?3 ? 1? a 3 2
所以 (3)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
'

????6 分

1 2 e x 2 ? e ( x ? e )( x ? e ) x ? e ln x ,则 F ' ( x) ? x ? ? . ? 2 x x x

所以当 0 ? x ? e 时, F ( x) ? 0 ;当 x ? 因此 x ?

e 时, F ' ( x) ? 0 .

e 时, F ( x) 取得最小值 0 ,

e e 处有公共点 ( e , ) . 2 e 设 f ( x ) 与 g ( x) 存在 “分界线”,方程为 y ? ? k ( x ? e ) , 2 e 即 y ? kx ? ? k e , 2 e 2 由 f ( x) ? kx ? ? k e 在 x ? R 恒成立,则 x ? 2kx ? e ? 2k e ? 0 在 x ? R 恒成立 . 2
则 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x ? 所以 ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? 4(k ? e )2 ? 0 成立, 因此 k ? e . 下面证明 g ( x) ?

e ex ? ( x ? 0) 恒成立. 2 e e e ( e ? x) ,则 G?( x) ? ? e ? . 2 x x

设 G ( x ) ? e ln x ? x e ?

所以当 0 ? x ? e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ?
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e 时, G ' ( x) ? 0 .

e e 时 G ( x) 取得最 大值 0 ,则 f ( x) ? ex ? ( x ? 0) 成立. 2 e 故所求“分界线”方程为: y ? ex ? . ????12 分 2
因此 x ?

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