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湖北省新联考2017届高三第四次联考数学(理)试题 Word版含答案


新联考 2016—2017 学年第四次联考 理科数学试题 第Ⅰ卷(选择题
1.已知集合 A ? x | y ? A.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求.

?

x , B ? ?x | x 2 ? x ? 0? ,则 A ? B ?

?

?x | x ? 0?

B.

?x | 0 ? x ? 1?

C.

?x | x ? 1?

D. x | x ? 0或x ? 1

?

?

2.设复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? i ( i 为虚数单位),则 z ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 1

D. 2

3.在 ? ?1, 2? 内任取一个数 a ,则点 ?1, a ? 位于 x 轴下方的概率为 A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

2 4.若 x ? 2m ? 3 是 ?1 ? x ? 4 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是

A.

??3,3?

B.

? ??, ?3? ??3, ???
D. ??1,1?

C.

? ??, ?1? ? ?1, ???
14? 3 10? 3

5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. B. C.

8? 3

D.

5? 3

6.已知直线 l 过双曲线 ? :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点且与 ? 的一条渐近线平行,若 a 2 b2

l 在 y 轴上的截距为 6a ,则双曲线的离心率为
A.

3

B. 2

C.

6

D. 2 3

7.已知定义 ? x ? 表示不超过的最大整数,如 ? 2? ? 2, ? 2.2? ? 2 , 执行如图所示的程序框图,则输出 S ? A.1991 B. 2000 C. 2007 8.若 tan ? ? D. 2008

1 ? ? 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 6sin cos cos ? ? 3 2 2

-1-

1 10 ? ? ? ? ? ? ? ? 9.如图所示,单位位圆上的两个向量 a, b 相互垂直,若向量 c 满足 c ? a ? c ? b ? 0 ,则 c
A. 1 B. C. D.

1 3

1 9

?

??

?

的取值范围是 A.

?0,1?

B.

?0, 2 ? ? ?

C. ?1, 2 ?

?

?

D. ?1, 2?

10.直线 y ? kx ? 4, k ? 0 与抛物线 y 2 ? 2 2 x 交于 A,B 两点,与抛物线的准线交于点

C,若 AB ? 2 BC ,则 k ?
A.

2

B.

3 2 2

C. 2 2

D.

5 2 2 ? ? ?? 上单调递减 , ? 6 3? ? ? ? 7? ? 上单调递增 , ?12 12 ? ?

11.已知函数,且,则下列说法正确的是 A. f ? x ? 的一条对称轴为 x ?

5? 12

B.存在 ? 使得 f ? x ? 在区间 ? ? D.存在 ? 使得 f ? x ? 在区间 ?

C. f ? x ? 的一个对称中心为 ?

? 5? ? ,0? ? 12 ?

12.设定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,若 f ? 3? ? 1 ,且

3 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? ln ? x ?1? ,则不等式 ? x ? 2017 ? f ? x ? 2017 ? ? 27 ? 0 的解集为
3

A.

? 2014, ???

B. ? 0,2014?

C.

?0,2020?

D.

? 2020, ???

第Ⅱ卷(非选择题
13 ? 2016 ? x ??1 ? x ?
2017

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. .的展开式中, x
2017

的系数为

.(用数字作答)

?7 x ? 3 y ? 2 y ? 14.已知点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 4 x ? 5 y ? 11 ,则 的取值范围为 x?3 ?3 x ? 2 y ? 14 ?
15.已知函数 f ? x ? ? ? 时, f ? a ? b ? ?

.

?lg x, x ? 1 ,若 f ?a ? ? f ? b ?? lg x,0 ? x ? 1
.

??0 ?a

?b

? ,则 a ? b 当取得最小值

1

4

-2-

16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

cos A a ? ,则 cos B ? cos C b ? c

3 cos C ? 2sin B 的最小值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17. (本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 an ? 1 , 其前 n 项和 Sn 满足 6Sn ? an 2 ? 3an ? 2. (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 1 1 ? Tn ? . ,且其前 n 项和为 Tn ,证明: 10 6 an an ?1

18.(本题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2CD=4,AD=2,过点 C 作 CO⊥AB,垂足为 O, 将 ?OBC 沿 CO 折起, 使得平面 CBO 与平面 AOCD 所成的二面角的 大小为 ? ? 0 ? ? ? ? ? ,E,F 分别为 BC,AO 的中点.

(1)求证: EF // 平面 ABD ; (2)若 ? ?

?
3

,求二面角 F ? BD ? O 的余弦值.

19.(本题满分 12 分) 随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访,5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购,2 名倾向于选择实体店,5 名 女性购物者中有 2 名倾向于选择网购,3 名倾向于选择实体店. (1)若从 10 名购物者中随机抽取 2 名,其中男、女各一名,求至少 1 名倾向于选择实 体店的概率; (2)若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名,设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者 的人数,求 X 的分布列和数学期望.

x2 y 2 20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A ? 0,3? ,与双曲线 a b x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点 14 13
-3-

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 A 点作两条相互垂直的直线,分别交椭圆 C 于 P,Q 两点,则 PQ 是否过定点?若 是,求出定点的坐标,若不是,请说明理由. 21.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 8a2 ln x ? x2 ? 6ax ? b ? a, b ? R ? . (1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ,求 a , b 的值; (2)若 a ? 1 ,证明: ?x1, x2 ? ? 0, ??? ,且 x1 ? x2 ,都有

?

?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 14 成立. x1 ? x2

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给 分;作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分 10 分)选修 4-4:参数方程与极坐标系

1 ? x ? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以坐标原点 O ?y ? m ? 3 t ? ? 2
为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4 ? 0 . (1)若直线 l 与曲线 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若 m ? 0 ,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2a ? x ?

1 . a

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 4 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ? m2 ? m ? 2 2 对任意实数 x 及 a 恒成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

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