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2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案:第2章 2.3 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题


2.3 数学归纳法 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 [对应学生用书 P48] 在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆 自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下. 问题 1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆 倒下. 问题 2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题? 提示:一些与正整数 n 有关的问题. 数学归纳法 一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1,2 等)时结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 那么,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 数学归纳法的两个步骤之间的联系: 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可, 只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得不出正确的结论,因为单靠步骤(1),无法 递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判断.同样只有步骤(2)而缺少步 骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步 骤(2)也就没有意义了. [对应学生用书P48] 用数学归纳法证明恒等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 [思路点拨] 等式的左边有 2n 项,右边共有 n 项,f(k)与 f(k+1)相比左边增二项,右边 增一项,而且左右两边的首项不同.因此,从 n=k 到 n=k+1 时要注意项的合并. 1 1 [精解详析] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 右边= ,命题成立. 2 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - = + +?+ , 2 3 4 2k 2k-1 2k k+1 k+2 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 左边= 1- + - +?+ - + - = + +?+ + - 2 3 4 2k 2k+1 2k-1 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 1 2k+2 = 1 1 1 1 1 + +?+ + + . 2k 2k+1 2k+2 k+2 k+3 1 1 1 1 1 + +?+ + + , 2 k k+2 k+3 2k+1 2k+2 右边= 左边=右边, 上式表明当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)和(2)知,命题对一切非零自然数均成立. [一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (2)证明 n=k+1 时成立,必须用到假设 n=k 成立的结论. 1.用数列归纳法证明:当 n∈N*时, -1+3-5+ ? +(-1)n(2n-1)=(-1)n· n. 证明:(1)当 n=1 时,左边=-1,右边=-1, 所以左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k>1,k∈N*)时等式成立, 即-1+3-5+ ? +(-1)k(2k-1)=(-1)k· k. 那么当 n=k+1

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