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2014年郑州市第二次质量预测文科数学试题附Word版答案


2014 年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学 参考答案

一、 选择题 DBAC BAAC BADD 二、填空题 13. (0, ); 三、解答题 17.解(Ⅰ) m ? n ? cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) , 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( A ? B) ? ? cos C ? cos 2C ,---------2 分 即 2cos2 C ? cos C ?1 ? 0 , 故 cos C ? 或 cos C ? ?1 ,---------4 分 又 0 ? C ? ? ,所以 C ?
??? ? ??? ?
1 2

1 2

14. ?2;

15. [1, 4];

16. ? .

1 2

?
3



---------6 分 ① ② ---------10 分 ---------12 分

(Ⅱ)因为 CA ? CB ? 18 ,所以 CA ? CB ? 36 , 及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 12 , 由①、②解得 AC ? 6, BC ? 6 .

由余弦定理 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos60? ,---------8 分

18. 解(Ⅰ)如图(2):在 ?ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 的中点,所以 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF, ∴ AB // 平面 DEF. ---------6 分 (Ⅱ)由直二面角 A ? DC ? B 知平面 ADC ? 平面 BCD , 又在正 ?ABC 中, D 为边 AB 中点, AD ? CD 所以 AD ? 平面 BCD ,---------9 分
1 3 1 1 1 3 , V三棱锥E? FCD ? ? S?BCD ? AD ? , V三棱锥A? BCD ? ? S?BCD ? AD ? 3 6 3 2 2 24

所以,多面体 D-ABFE 的体积 V = V三棱锥A?BCD ? V三棱锥E ? FCD ?

3 .-----12 分 8

19.解(Ⅰ)所有参与调查的人数为 800 ? 100 ? 450 ? 150 ? 200 ? 300 ? 2000 ,
45 ? 2000 ? 100 . ---------5 分 900 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2 ? 9.0 ,---------7 分 (Ⅱ)总体平均数 x ? 6

由分层抽样知: n ?

从这 6 个分数中任取 2 个的所有可能取法为: (9.2,9.6) 、 (9.2,8.7) 、 (9.2,9.3) 、
(9.2,9.0) 、 (9.2,8.2) 、 (9.6,8.7) 、 (9.6,9.3) 、 (9.6,9.0) 、 (9.6,8.2) 、 (8.7,9.3) 、 (8.7,9.0) 、 (8.7,8.2) 、 (9.3,9.0) 、 (9.3,8.2) 、 (9.0,8.2) ,共计 15 种.--------10



由 | x ? 9.0 |? 0.5 知,当所取的两个分数都在 [8.5,9.5] 内时符合题意,即 (9.2,8.7) 、
(9.2,9.3) 、 (9.2,9.0) 、 (8.7,9.3) 、 (8.7,9.0) 、 (9.3,9.0) 符 合 , 共 计 6 种 , 所 以 , 所 求 概 率 6 P ? . ---------12 分 15 y y y y 3 ? ? ? ,---2 分 20.解(Ⅰ)由题知 x ? ?2 ,且 k1 ? , k2 ? , 则 x?2 x?2 x?2 x?2 4

整理得,曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) .-----------5 分 4 3

(Ⅱ)设 NQ 与 x 轴交于 D(t , 0) ,则直线 NQ 的方程为 x ? my ? t (m ? 0) , 记 N ( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由对称性知 M ( x2 , ? y2 ) ,
?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由? 消 x 得: (3m2 ? 4) y2 ? 6mty ? 3t 2 ?12 ? 0 ,-----7 分 ? x ? my ? t

所以 ? ? 48(3m2 ? 4 ? t 2 ) ? 0 ,且 y1,2 ?
6mt ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 故? 2 ? y ? y ? 3t ? 12 , 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?

?6mt ? ? , 2(3m2 ? 4)

------------9 分

由 M 、N、S 三点共线知 kNS ? kMS ,即 所以 y1 (my2 ? t ? 4) ? y2 (my1 ? t ? 4) ? 0 ,

y1 ? y2 , ? x1 ? 4 x2 ? 4

整理得 2my1 y2 ? (t ? 4)( y1 ? y2 ) ? 0 ,-----------10 分 所以
2m(3t 2 ? 12) ? 6mt (t ? 4) ? 0 ,即 24m(t ? 1) ? 0 , t ? 1 , 3m2 ? 4

所以直线 NQ 过定点 D(1, 0) .--------12 分

21.解(Ⅰ)由题知 f ?( x) ?

1? x ( x ? R) , ex

当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1 ,当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1 ,-----------2 分 所以函数 f ( x) 的增区间为 (??,1) ,减区间为 (1, ??) , 其极大值为 f (1) ? ,无极小值.-----------5 分 (Ⅱ)设切点为 ( x0 , f ( x0 )) ,则所作切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 所以直线 l 的方程为: y ?
1 ? x0 , e x0
1 e

x0 1 ? x0 ? x0 ( x ? x0 ) , e x0 e 1? x 4 4 x 注意到点 P (0, 2 ) 在 l 上,所以 2 ? x00 ? x0 0 (? x0 ) ,-----7 分 e e e e

整理得: 令 g ( x) ?

x0 2 4 ? ? 0 ,故此方程解的个数,即为可以做出的切线条数, e x0 e 2
x ( x ? 2) x2 4 ? 2 ,则 g ?( x ) ? ? , x ex e e

当 g ?( x) ? 0 时, 0 ? x ? 2 ,当 g ?( x) ? 0 时, x ? 0 或 x ? 2 , 所以,函数 g ( x) 在 (??,0),(2, ??) 上单调递减,在 (0, 2) 上单调递增,---9 分 注意到 g (0) ? ?
4 4 ? 0, g (2) ? 0, g (?1) ? e ? 2 ? 0 , 2 e e

所以方程 g ( x) ? 0 的解为 x ? 2 ,或 x ? t (?1 ? t ? 0) , 即过点 P (0, 2 ) 恰好可以作两条与曲线 y ? f ( x) 相切的直线.----10 分 当 x ? 2 时,对应的切线斜率 k1 ? f ?(2) ? ? 当 x ? t 时,对应的切线斜率 k 2 ?
1 , e2
4 e

1? t , et 1? t t ?2 令 h(t ) ? t (?1 ? t ? 0) ,则 h?(t ) ? t ? 0 , e e

所以 h(t ) 在 (?1, 0) 上为减函数,即1 ? h(0) ? h(t ) ? h(?1) ? 2e ,1 ? k2 ? 2e , 所以 m ? k1 ? k2 ? (
e2 ? 1 2e3 ? 1 , ) .------------12 分 e2 e2

22.解(Ⅰ)如图,连结 AM ,由 AB 为直径可知 ?AMB ? 90? ,



CD ? AB ,所以 ?AEF ? ?AMB ? 90? ,因此 A、E、F、 M 四点共圆. ------4



(Ⅱ)连结 AC ,由 A、E、F、M 四点共圆,所以 BF ? BM ? BE ? BA ,---6 分 在 RT ?ABC 中, BC 2 ? BE ? BA ,------8 分 又由 MF ? 4 BF ? 4 知 BF ? 1, BM ? 5 ,所以 BC 2 ? 5 , BC ? 5 .---10 分 23 . 解 (Ⅰ)圆 O : ? ? cos ? ? sin ? , 即 ? 2 ? ? cos?? ? si n? , 故圆 O 的 直 角 坐 标 方 程 为 : x2 ? y2 ? x ? y ? 0 , ------2 分
?? 2 ? 直线 l : ? sin , 即 ? s i n? ? ? c o s?? , 1 ?? ? ? ?
? 4? 2

则 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 : x ? y ? 1 ? 0 . ------4 分 (Ⅱ)由 ⑴知 圆 O 与 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ,
? x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ? x ? 0, 将两方程联立得 ? 解得 ? ------6 分 ? y ? 1, ?x ? y ?1 ? 0

即 圆 O 与 直 线 l 在 直 角 坐 标 系 下 的 公 共 点 为 ( 0,1 ) , ------8 分
?? 将( 0,1 ) 转化为极坐标为 ? ?1, ? ,即为所求.------10 分
? 2?

24.解 (Ⅰ)由 f ( x) ? 5x ? 1 化简可得 | 2 x ? a |? 1,即 2 x ? a ? 1 或 2 x ? a ? ?1 ,--2 分 解得: x ?
a ?1 a ?1 或x? , 2 2

所以,不等式 f ( x) ? 5x ? 1 的解集为 {x | x ?

a ?1 a ?1 或x ? } .------4 分 2 2

(Ⅱ)不等式 | 2 x ? a | ?5 x ? 0 等价于 5 x ? 2 x ? a ? ?5 x ,
a ? x?? , ? ?5x ? 2 x ? a, ? 3 即? 化简得 ? ------6 分 ?2 x ? a ? ?5x, ?x ? a , ? 7 ?

若 a ? 0 ,则原不等式的解集为 {x | x ? } = {x | x ? ?1} , 此时, a ? ?7 ;------8 分 若 a ? 0 ,则原不等式的解集为 {x | x ? ? } = {x | x ? ?1} , 此时, a ? 3 .综上所述, a ? ?7 或 a ? 3 .------10 分
a 3

a 7


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