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2015年高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案


圆锥曲线专题测试题
一、填空题(共 14 小题,每题 5 分,计 70 分) 1. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ,则黄金椭圆的离心率为 2.中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 y =
2 2



2 x ,其离心率是

x y 点 M 在双曲线上且 MF1 ^ x 轴, 则 F1 到直线 F2 M F2 , = 1 的焦点为 F1 、 6 3 的距离为 ____________ 4.抛物线 y = 4 x2 的焦点坐标为 ____________
3. 已知双曲线 5. 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆
2 2

x2 + y 2 = 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
____________

外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 6. 椭圆 面积为

x y + = 1 的焦点 F1 、F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ^ PF2 ,则△ F1 PF2 的 25 9
____________

7.已知抛物线 y 2 = 4 x ,一定点 A(3,1) ,F 是抛物线的焦点,点 P 是抛物线上一点, |AP|+|PF|的最小值____________。 8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 1,则侧棱和底面所成的角为____________。

9. 以下同个关于圆锥曲线的命题中①设 A、 B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | - | PB |= k , 则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若

??? ?

??? ?

??? ? 1 ??? ? ??? ? OP = (OA + OB), 则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2 x2 - 5x + 2 = 0 的两根可分别作为 2 x2 y 2 x2 = 1与椭圆 + y 2 = 1 有相同的焦点.其中真 椭圆和双曲线的离心率;④双曲线 25 9 35
命题的序号为
2

____________。 (写出所有真命题的序号) .

x y2 ? ? 1 表示椭圆的充要条件是 10.方程 9 ? k k ?1
11.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x m2 n2

轴上的椭圆的概率是 . 12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距 离地面 m( km) ,远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四 种说法:①焦距长为 n ? m ;②短半轴长为 (m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ? 其中正确的序号为______ __. .

n?m ; m ? n ? 2R

x2 y 2 ? ? 1 内的点 M (1,1) 为中点的弦所在直线方程为 13.以椭圆 16 4
14. 设 F1,F2 分别是双曲线 x ?
2

???? ???? ? y2 ? 1的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF 1 ? PF 2 ?0, 9

则 PF1 ? PF2 ?

???? ???? ?



二、解答题(6 大题共 90 分,要求有必要的文字说明和步骤)

1

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20 圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF .求点 P 的坐标;
15.点 A、B 分别是椭圆 . 16. (1) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 (2) 已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25 1 2 x +6, 点 P(2, 4) 、A、B 在抛物线上, 且直线 PA、PB 的倾斜角互 2

17.已知抛物线 C: y=-

补. (Ⅰ)证明:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅱ)当直线 AB 在 y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的 a2 b2 4 距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5
18.双曲线 19.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方 的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.。 (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ? FA ,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K (m,0) 是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

20. 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2
4 14 ,PF | ? . 2 | 3 3

PF1 ? F 1F 2 , | PF 1? |

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对 称,求直线 l 的方程.

2

高三数学圆锥曲线测试答案
1.

2 2

2.

3或

6 2
°

3.

6 5

4.

(0,

1 ) 16

5.

4 3

6. 9

7. 4

8. 45

9.③④

10. 1 ? k ? 9(k ? 5)

11.

1 2

12.① ② ③

13. x ? 4 y ? 5 ? 0

14. 2 10

15. 解:由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2 16 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:
由于 y ? 0, 只能 x ?

? x2 2 ? ? y ?1 2 ?9 x ? y2 ? 1 ? y ? x?2 2 9 .联立方程组 ? ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . x ? x2 18 9 x,y x ,y x ,y ?? 设 A( 1 1 ),B( 2 2 ),AB 线段中点为 M( 0 0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 ? 1 5 2 5 1 所以 y 0 =x 0 +2= 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为 ( ? , ) 5 5 4 (2)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 5 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,
从而 c=4,a=2,b=2 3 .

y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12 .
(17) (Ⅰ)证: 易知点 P 在抛物线 C 上, 设 PA 的斜率为 k, 则直线 PA 的方程是 y-4=k(x-2). 代入 y=-

1 2 x +6 并整理得 x2+2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根 xA 及 2, 2

由韦达定理得: 2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4). 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补, 故 PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1), -k2+4k+4) ∴kAB=2. (Ⅱ) ∵AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=-

1 2 1 x +6 消去 y 得 x2+2x+b-6=0. 2 2

3

1 ? 2 2) [4 ? ( 2 b ? 6) ] ? 2 5(16 ? 2b) . |AB|=2 (
∴S=

1 1 b |AB|d= · 2 ( 5 16 ? 2b) ? 2 2 5

16 ? 2b ? b ? b 3 64 3 . (16 ? 2b) ? b ? b ? ( ) ? 3 9 16 此时方程为 y=2x+ . 3
(18) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1, 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1)

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = s= d1 +d2=

a2 ? b2 b(a ? 1) a2 ? b2

.

.

ab

a2 ? b2 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 c 5
于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.

=

2ab . c

5 ≤e2≤5.由于 e>1>0, 4 5 所以 e 的取值范围是 ?e? 5 2
解不等式,得 (19) 解: (1)抛物线 y ? 2 px的准线为 x ? ?
2

p p , 于是 4 ? ? 5,? p ? 2. 2 2

∴抛物线方程为 y2= 4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4) , 由题意得 B(0,4) ,M(0,2) , 又∵F(1,0) , ∴ k FA ? 则 FA 的方程为 y=

4 3 ; MN ? FA,? k MN ? ? , 3 4

4 3 (x-1) ,MN 的方程为 y ? 2 ? ? x. 3 4

8 4 ? ? x? y ? ( x ? 1) ? ? ? ? 5 3 , 得? 解方程组 ? ?y ? 2 ? ? 3 x ?y ? 4 ? ? 5 4 ? ?

8 4 ? N ( , ). 5 5

(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m), 4?m

即为 4 x ? (4 ? m) y ? 4m ? 0, ,令 d ? 2, 解得m ? 1

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d ?

| 2m ? 8 | 16 ? (m ? 4)
2

?当m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相交.
4

20 解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4,
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? 所以椭圆 C 的方程为 =1. 9 4
(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 2 已知圆的方程为(x+2) +(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 所以 2 4 ? 9k 2
解得 k ?

8 , 9

所以直线 l 的方程为 y ?

8 ( x ? 2) ? 1, 9

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4


2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 = , 9 x1 ? x2
8 , 9 8 (x+2) , 9

即直线 l 的斜率为

所以直线 l 的方程为 y-1=

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

5

2015 高考数学圆锥曲线练习
一、选择题
1、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两 点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

2、 已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 a 2 b2

到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

3、椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 16 12
(C)

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 8
(D)
2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y 2 ? ?1 12 4

4、已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 |, 则 cos ?F 1 PF2 ? (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

5、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2
2 2

) C、 4 D、 2 5

B、 2 3

6、方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2, 0,1, 2,3},且 a , b, c 互不相同,在所有这些方程所 表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条 ) C、36 条
2 2

D、48 条 ) D、既不

7、对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( A、充分不必要条件 充分也不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件

6

8、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2。若 a 2 b2

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

x2 y2 9、已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程 a b
为 A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

[

10、已知双曲线

x2 y2 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5
B

A

3 14 14

3 2 4

C

3 2

D

4 3

二 、填空题
x2 y 2 ? 1(a 为定值, 1、 椭圆 2 ? 且 a ? 5) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a 5 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
2、已知双曲线 x
2

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1⊥P F2,

2

则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 3、 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 4、 设 P 为直线 y ?

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , 则 m 的值为 ▲ . m m ?4

x2 y 2 b x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点,F1 是左焦点,PF1 3a a b

垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? 5 、 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若 | AF |? 3, 则
2

| BF | =______。

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有相同的渐近线, 6、已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与双曲线 C 2 : 4 16 a b
且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ?

b?

三、解答题
1、 (本小题满分 14 分)

7

已知椭圆错误!未找到引用源。 (a>b>0),点 P(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用 源。 )在椭圆上。 (I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的 斜率的值。 2、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , a 2 b2

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

4、 已知椭圆 C:

x2 y2 2 + 2 =1 (a>b>0) 的一个顶点为 A (2,0) , 离心率为 , 直线 y=k(x-1) 2 a b 2

与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 5、如图,椭圆 M :

10 时,求 k 的值 3

x2 y 2 3 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

8

形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求

| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

6、如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0) 上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点。 7、在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2) 过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ? 2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求
2 2

证: OP ⊥ OQ 8、设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值.

9

2015 高考数学圆锥曲线练习答案
一、选择题
1、 【答案】 C 【解析】 由题设知抛物线的准线为:x ? 4 , 设等轴双曲线方程为:x ? y ? a ,
2 2 2

将 x ? 4 代入等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a = 4 3 ,
2 2

10

解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 2、D 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 3a ,此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上,即(0,p/2)到直线 y ? 3x 的距离为 2,可知 p=8 或数形结合,利用直 角三角形求解。 3、C 解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
4 、 C 【 解 析 】 解 : 由 题 意 可 知 , a ? 2 ? b,?c ? 2 , 设 | PF 1 |? 2 x,| PF2 |? x , 则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理可得
cos ?F1PF2 ? PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

5、B[解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为(

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
2 2 2 6、B[解析]方程 ay ? b x ? c 变形得 x ?

a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b

所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

?a ? 1, c ? 0, 或2, 或3 ? (1)若 b=-2, ?a ? 2, c ? 0, 或1, 或3 ; (2)若 b=2, ?a ? 3,c ? 0, 或1, 或2 ?
以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1 ?

? m ? 0, ? 7、B.【解析】方程 mx ? ny ? 1 的曲线表示椭圆,常数常数 m, n 的取值为 ? n ? 0, 所以, ? m ? n, ?
2 2

由 mn ? 0 得不到程 mx ? ny ? 1 的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示
2 2

椭圆,能推出 mn ? 0 ,因而必要.所以答案选择 B. 8、B【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了
11

函数与方程,转化与化归思想. 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知 : AF 1 ? a ?c , F 1F 2 ? 2c ,

F1B ? a ? c . 又 已 知 AF1 , F1F2 , F1B 成 等 比 数 列 , 故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 , 即
a2 ? c2 ? 4 c2,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . ? 5 a 5

9、A【解析】设双曲线 C : 又? C 的渐近线为 y ? ?

x2 y2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为

x2 y2 =1. 20 5

2 10 、C.解答:根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a ? 5 ? 9 ,所以

a ? 2 ,因此 e ?

3 .故选 C. 2

二 、填空题
1、

2 2 2 ,[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5 3 c 2 ? c ? 2,? e ? ? a 3
2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,

2、 2 3 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?

? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
3、 【答案】2。 【解析】由

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 ∴ e= = a m
4 、

12

5、 【答案】

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ? 6、 【答案】1,2

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 渐近线为 y ? ?2 x ,而 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x , 【解析】双曲线的 a 4 16 a b
所以有

x2 y2 b ? 2 , b ? 2a ,又双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点为 ( 5,0) ,所以 c ? 5 ,又 a a b

c 2 ? a 2 ? b 2 ,即 5 ? a 2 ? 4a 2 ? 5a 2 ,所以 a 2 ? 1, a ? 1, b ? 2 。

三、解答题
5 2 a, a) 在椭圆上 5 2

1、 【解析】(Ⅰ) 点 P(

1 2 1 2 a a b2 5 b2 3 6 2 5 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? e ? 1? 2 ? ? e ? a b a 8 a 8 4
(Ⅱ) 设 Q(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ;则 A(a, 0)

AQ ? AO ? a 2 (1 ? cos ? ) 2 ? b 2 sin 2 ? ? a 2 ? 3cos 2 ? ? 16cos ? ? 5 ? 0 ? cos ? ?
直线 OQ 的斜率 kOQ ?

1 3

b sin ? ?? 5 a cos ?
c a

e) 在椭圆上,得 2、 【答案】解: (1)由题设知, a 2 =b2 ? c2,e= ,由点 (1 ,

13

12 e2 1 c2 ? ? 1 ? ? =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 a 2 b2 a 2 a 2b 2
c 2 =a 2 ? 1 。

, ∴

? 3? 由点 ? e , ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

(2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1, 0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , ∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?



AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0? = ? my1 ? ? y12 = m2 ? 1 ?
2 2 2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? m2 ? 2 m2 ? 2
。②

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 。解 得 m 2 =2。 m2 ? 2 m2 ? 2 2

1 2 = 。 m 2
AF1 ∥ BF2
, ∴

( ii ) 证 明 : ∵

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF 1 AF 1

1

14

∴ PF1 =

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

?

?

同理。 PF2 = ∴

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

?

?

?

?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

?1 , m ?2
2

2

2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上列式求解。 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 , ? 2 ? ? ?
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

6 ,用待定系数法求解。 2

3、 【解析】 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

2 2 2 所以 a ? b ? c ? 2 ,

所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2
2 2 整理得 2k ? m ? 1 ? 0



15

? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2 m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ? 4、

2 2 x? 2。 x? 2 或 y ? ? 2 2

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. 解: (1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ? ? y ? k ( x ? 1) ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2 设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ?1) ,
x1 ? x2 ? 4k 2 2k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 2 2

所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] = 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? )

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2

|k| 1 ? 2k 2



| k | 4 ? 6k 2 10 1 | k | 4 ? 6k 2 所 以 △ AMN 的 面 积 为 S ? | MN | ?d ? . 由 ,解得 ? 2 2 1 ? 2k 3 2 1 ? 2k k ? ?1 .
5、 【答案】(21)(I) e ?
c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m , ?

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
16

由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

2

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

| PQ | 1 3 2 4 5 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. t 4 5 3 3 | ST |
②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. 3 5 | ST |

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. 5 | ST |

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. 3 5 | ST |
6、 解答:
2 2 (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ;则 x1 ? 2 py1, x2 ? 2 py2
2 2 2 OA ? OB ? x12 ? y 12 ? x 2 ?y 2 ? 2 py ?1 y ? y 1 2 py ? 2 2 2

? ( y1 ? y 2)(2 p ? y 1 ? y )2? 0 ? y ? ? 1 y ( 2 2 p , y , y 1 ? 0) 2
得:点 A, B 关于 y 轴对称(lfxlby)

OA ? OB ? AB ? 8 3 ? A(?4 3,12), B (4 3,12)
代入抛物线 E 的方程得: p ?

x2 ? 2 ? 抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y 2y

(II)设 P( x0 ,

2 x0 1 1 ) ;则 y ? x 2 ? y? ? x 4 2 4

过点 P 的切线方程为 y ? 令 y ? ?1 ? Q(

1 2 1 1 1 2 x0 ? x0 ( x ? x0 ) 即 y ? x0 x ? x0 4 2 2 4

2 x0 ?4 , ?1) 2 x0

17

设 M (0, t ) 满足: MP? MQ ? 0 及 MP ? ( x0 , y0 ? t ), MQ ? (
2 得: 4(t 2 ? t ? 2) ? (1 ? t ) x0 ? 0 对 x0 ? 0 均成立

???? ???? ?

????

???? ?

2 x0 ?4 , ?1 ? t ) 2 x0

? t 2 ? t ? 2 ? 0,1 ? t ? 0 ? t ? 1
以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1)

7、[解](1)双曲线 C :

x2
1 2

? y 2 ? 1 ,左焦点 F (?
2 6 2 2

6 2

, 0) .
2 2 , 2

设 M ( x, y ) ,则 | MF | ? ( x ? 由 M 是右支上一点,知 x ? 所以 M (
6 2 2 2

) ? y2 ? ( 3x ?

)

……2 分
6 2

,所以 | MF |? 3x ?

2 2

? 2 2 ,得 x ?

.

, ? 2) .
2 2

……5 分

(2)左顶点 A(?

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 x 平行的直线方程为: y ? 2 ( x ?
2 4

过 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

2 2

) ,即 y ? 2 x ? 1 .
……8 分

? ?y ? ? 2 x ?x ? ? ,得 ? 1 ? ?y ? 2 x ?1 ?y ? 2

.
2 4

所求平行四边形的面积为 S ?| OA || y |?

.
|b | k 2 ?1

……10 分

(3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b .因直线与已知圆相切,故
2 2 即 b ? k ? 1 (*).

? 1,

由?

? y ? kx ? b 2 2 2 ,得 (2 ? k ) x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 2 x ? y ? 1 ?

2 kb ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ? . ?1? b 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? k 2 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
(1? k 2 )( ?1? b 2 ) 2?k 2

? 22k? kb2 ?
2 2

?1? b 2 ? k 2 2?k 2

. ……16 分

由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,所以 OP⊥OQ. 8、 【解析】设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r , 则|FE|= p , | FA |?| FB|= | FD | = r ,E 是 BD 的中点, (Ⅰ) ∵ ?BFD ? 90 ,∴ | FA |?| FB|= | FD | = 2 p ,|BD|= 2 p ,
0

p ? y0 , 2 1 p 1 ∵ ?ABD 的面积为 4 2 , ∴ S?ABD = | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 , 解得 p =2, 2 2 2
设 A( x0 , y0 ),根据抛物线定义得,|FA|=
18

∴F(0,1), FA|= 2 2 ,

∴圆 F 的方程为: x2 ? ( y ?1)2 ? 8 ;

(Ⅱ) 【解析 1】 ∵ A, ?ADB ? 900 , B, F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径,

1 3 3 | AB | ,∴ ?ABD ? 300 ,∴ m 的斜率为 或- , 2 3 3 3 3 p ∴直线 m 的方程为: y ? ? p, x ? ,∴原点到直线 m 的距离 d1 = 4 3 2 3 2 3 设直线 n 的方程为: y ? ? x ? b ,代入 x 2 ? 2 py 得, x 2 ? x ? 2 pb ? 0 , 3 3 4 2 p ∵ n 与 C 只有一个公共点, ∴ ? = p ? 8 pb ? 0 ,∴ b ? ? , 3 6 3 3 p ∴直线 n 的方程为: y ? ? p, x ? ,∴原点到直线 n 的距离 d2 = 12 3 6
由抛物线定义知 | AD |?| FA |? ∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 3.
2 x0 p 【解析 2】由对称性设 A( x0 , )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 x 3 3 3p p , ) x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

19


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