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高考递推数列题型分类归纳解析


递推数列求通项题型分类归纳解析
类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,若 数列? f (n)?可求和 则利用累加法求解。 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法求解。 an

解法:把原递推公式转化为 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解 法 ( 待 定 系 数 法 ): 设 an?1 ? t ? p(an ? t ) , 与 已 知 递 推 公 式 比 较 , 求 出

t=

q 则?an ? t?公比为p的等比数列 p ?1

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

练习:在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) , 若 则该数列的通项 an ? _______________ 练习: 数列?an ?中,a1 ? 1 a2 ? 1 an?2 ? 2an?1 ? 3,求an , ,

类型 4

an?1 ? pan ? q n
an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? q n?1 q q n q

解法: 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q n?1 , 得:

(其中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q
5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

练习1,数列?an ?中,a1 ? 1 a2 ? 2,且an?1 ? 2an ? 2n,求an ,
5 1 ?1? 练习2,数列?an ?中,a1 ? ,且an?1 ? an ? ? ? ,求an 6 3 ?2?
类型 5
n ?1

an?1 ? pan ? f (n)

解法 : 令an?1 ? g (n ? 1) ? p ? an ? g (n)? , 其中g (n)的最高次数与f (n)的最高次数相同。 如f (n)为一次式,则设g (n) ? xn ? y; 若f (n)为二次式,则设g (n) ? xn 2 ? yn ? z
例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

练习:知数列中,a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n,求an
类型 6 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法 (待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) ,与已知递推公式 比较,则 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ,求出 s,t. 则数列?an?1 ? san ?是公比为t的等比数列 ?st ? ?q

例:数列 ?an ? 满足 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? 1, a2 ? 2 ,求数列 ?an ? 的 通项公式。

练习:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 类型 7 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
解法:解这种类型用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a

类型 9 a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。

例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

类型 10

an?1 ?

pan ? q ra n ? h pan ? q (其 ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ? 中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? 当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? , r rx ? h

?

1 ? x ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 2 ? an ? x0 ?

时,则 ?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an


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