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正交编码与伪随机码(1)


第10章 正交编码与伪随机编码
? 数字通信中,正交编码与伪随机序列十分重要 ? 正交编码: 可用作纠错编码、可用来实现码分多址通信 ? 伪随机序列应用广泛: 误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密、 分离多径等

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? 正交编码的概念
? Walsh-Hardmard矩阵 矩阵

? Walsh码 码
? Walsh码的性质 ? 伪随机序列

? m序列

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正交编码
? ? ? ? 正交码就是一些正交的向量 。 1 1 N T 正交性 : N × ab = N ∑ aibi = 0 i =1 N维向量 a = [a a L a ] b = [b1b2 LbN ] 对于定义在区间上的信号 φa (t ) φb (t ) 1 T ∫0 φ a (t )φ b (t )dt = 0
1 2 N

T

? Gc(t)是一个码片的波形,Tc是码片宽度,也就是说 把a、b变成NRZ波形 a b N 1 T 1 T N ∫0 φ a (t )φ b (t )dt = ∫0 ∑ a m g c (t ? mT c )∑ bn g c (t ? nT c )dt
T T 1 = T 1 = T 1 = T
m =1 N n =1

∫ ∑∑a
T 0 m =1 n =1 N

N

m

bn g c (t ? mT c )g c (t ? nT c )dt
T

∑∑a
m =1 n =1 N

N

m

bn ∫ g c (t ? mT c )g c (t ? nT c )dt
0

1 a m bm Tc = ∑1 N m=

∑a
m =1

N

m

bm = 0

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? 若码组 ?x, y ∈ C,(为所有编码码组的集合)满 足 ρ(x, y) = 0 ,则称C为正交编码。即:正交编码 的任意两个码组都是正交的 ? 即:正交编码的任意两个码组都是正交的。 ? 例1:已知编码的4个码组如下:
S1 = (+1,+1,+1,+1); S2 = (1,1,?1,?1); S3 = (1,?1,?1,1); S4 = (1,?1,1,?1)

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Walsh-Hardmard Code
? Walsh-Hardmard矩阵 矩阵
H 1 = [0]
?0 0 ? H2 = ? 0 1? ? ?
?0 ?0 = ? ?0 ? ?0 0 1 0 1 0 0 1 1 0? 1? ? 1? ? 0?

H4

?Hn Hn? H2n = ? Hn Hn? ? ?

? 其中 H n 是 H n 的逻辑取反。若以±1标记 的逻辑取反。若以± 标记 标记Walsh码,0 码 映射成+1, 映射成 映射成-1。 映射成 ,1映射成 。则
H1 = [+ ]
?+ +? H2 = ? + ?? ? ?
?+ ?+ H4 = ? ?+ ? ?+ + + +? ? + ?? ? + ? ?? ? ? ? +?

Hn ? ?H H2n = ? n Hn ? Hn ? ? ?

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Walsh码 码
? H矩阵中的每一行就是一个Walsh码。N阶Walsh矩阵 (或称Hardmard矩阵)的第i行为向量

WiN = Wi N (1), Wi N (2 ), L , Wi N (N )

[

]

? Walsh码构成的信号: ? 用Walsh码可构成一个N码元的双极性NRZ信号,其持 续时间为,Tc是Walsh码的码片(chip)持续时间。 ? 用N维Hardmard矩阵可构造出N个正交信号。

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Walsh码的产生 码的产生
? 用 不 同 频 率 的 方 波 产 生 : Walsh 信 号 中 的 一 部 分 是 Rademacher信号,即不同频率的方波,故可用分频器 产生。剩下的另外一部分不是Rademacher信号的都是 Rademacher信号的相乘结果。 ? 查表法(任何确定信号都可以这样产生)

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9

Walsh码的性质
? ? ? ? ? Walsh信号是正交的 所有N阶Walsh码构成一个N维的完备正交集 两个Walsh函数相乘得另一Walsh函数 Walsh函数与Rademacher信号的关系(10.2.14) Walsh函数频域特性和相关性
N i N j

1 T

?1 i = j ∫0 Wal (t )Wal (t )dt = ?0 i ≠ j ?
T

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伪随机序列
? ? ? ? ? ? 随机序列 “随机”表现为如下特征: 非周期,或者说周期无限长 序列中+1,-1(或者说0、1)出现的频率各为1/2 长度为n的游程的出现频率是 1n 2 自相关: L
?1 m = 0 1 R(m) = lim ∑ ai + mai = E[ai + mai ] = ? L →∞ L i =1 ?0 m ≠ 0

? 互相关:{ak } 若 {a′k } 、是两个不相同的样本序列,则

(m ) = L → ∞ 1 R aa ′ lim L



L

i =1

a i + m a i′ = 0
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m序列发生器
? m序列是一种伪随机序列,它是最长线性反馈 特征寄存的序列的简称,m序列是由常线性反 m 馈的转移寄存而产生的序列,并且具有最长周 期。

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m 序列
? m序列:最长线性反馈移位寄存器序列的简称。 ? m序列发生器举例: 输出序列为: …1000 1001 1010 111…

a4 = a1⊕a0

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四级m序列发生器
a4 + a1 D a3
Clock

D a2

D

D
输出

? 首先设定各级寄存器的状态,在时钟触发下,每次移 位后各级寄存器状态发生变化,观察任何一级寄存器 的输出,发现,在时钟的控制下,会产生一个序列。
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四级m序列发生器(续)
? 在相同级数下,采用不同线性反馈的逻辑所得到的周期 不同,m序列发生器是一种最长周期的。

a4 = a1 ⊕a0 ? 对于4级来说,其反馈逻辑为 ? 它产生15位级周期,第16位后开始重复,这就是周期性。

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四级m序列发生器(续)
? 4级移位寄存器共有 24 即16种状态,除了全0状态外, 其余15种状态都可出现,全0状态是要被禁止的。 ? 如果改变反馈逻辑,就不能得到最长周期的m序列。 ? 如4级,反馈逻辑为 a4 = a2 ⊕a0,那么它只能形 成100010 ? 周期为6, 所以线性反馈移位寄存器是和它的反 馈逻辑有关。 ? 反馈电路如何连接才能输出序列最长?是本节要讨论 的问题。

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一般情况:n级
? 一般情况下,n级线性反馈寄存器,它的线性反馈逻辑 可表示为(递推方程) an = C1an?1 ⊕C2an?2 ⊕C3an?3 ⊕L⊕Cna0
Ci = 0表 n ? i级 出 参 反 示 输 未 加 馈 – –表示反馈线的连接状态
Ci

Ci =1表 n ? i级 出 入 馈 线 示 输 加 反 连

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n级
? ? 上式可改写为 定义一个多项式

∑C a
i=0

n

i n?i

=0
n

f (x) = ∑Ci xi
i=0

?

?

– 称之为线性反馈移位寄存器的特征多项式。 特征多项式与输出序列的关系 – 产生m序列的n级移位寄存器,其特征多项式必须 是n次本原多项式。 母函数G(x)=1/f(x)
G ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x + ... =
n

∑a
k =0



k

xk
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n次本原多项式
? f (x) 是n次本原多项式,需满足以下条件:


(1) f (x)是 约 , 是 能 分 。 既 的 即 不 再 解

( ) (x)可 除 xm +1 这 m = 2n ?1 2 f 整 , 里
() (x)不 整 x +1 这 q < m。 3 f 能 除 , 里
q

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m = 24 ?1=15
x15 +1 = (x4 + x +1)(x4 + x3 +1)(x4 + x3 + x2 +1)(x2 + x +1)(x +1)

根据本原多项式的定义 x4 + x +1 x4 + x3 +1 和 是本原多项式。
c4 +
C1=1


D c2 D c3 D

x4 + x +1

D

c0=1 + c3=1 D c1 D c2
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x4 + x3 +1

D

D

本原多项式的系数
? 通常,一个本原系统式系数都表示为八进制形式。 –例如,对于4级
23 → 0 1 0 0 1 1 → x4 + x +1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ C5 C4 C3 C2 C1 C0
31 → 0 ↓ 1 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 1 ↓ → x4 + x3 +1

C5 C4 C3 C2 C1 C0
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m序列的性质
(1)均衡性 n 由n级移位寄存器产生的m序列周期为 2 ?1 。 除全0状态外,其它状态都在m序列一个周期内 出现,而且只出现一次,m序列中“1”和“0”概率 大 致相同,“1”的只比“0”的多一个。 (2) 游程分布 游程:序列中取值相同的那些相继的元素合称为一个 “游程”。 游程长度:游程中元素的个数。 m序列中,长度为1的游程占总游程数的一半;长度为2 的游程占总游程的1/4, 长度为k的游程占总游程数的 2 ? k 。
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m序列的性质(续)
(3)移位相加特性 同一m序列的不同相移的序列相加还是m序列 (同一m序列指特征多项式相同,但相移可能不同的m序 列。不同m序列指特征多项式不同的m序列。)

M p ⊕ Mr = M s
(4)m序列的有相关函数。当二进制序列中“0”、“1” 分别表示为“-1”和“+1”时,其自相关函数为

ρ(i) = A ? B
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m序列的性质(续)
ρ(i) = A ? B

? A为序列与其i次移位序列在一个周期内逐位码元 相同的数目 ? B为序列与其i次移位序列在一个周期内逐位码元 不同的数目
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(5)m序列的自相关函数
? 是一个以p为周期的序列。如果把s(t ) 做成双极性NRZ信, 则s(t)自相关函数为
? 1 mmod p = 0 1 ? R(m) = ∑ ak ak + m = ? 1 ? mmod p ≠ 0 p k =0 ? p ?
p ?1

? 是一个以

? τ modpT ? 1 ? c ?1? ?1+ ? τ modpTc ≤ Tc 1 pTc ? Tc ? p ? ? ? Rs (τ ) = ∫0 s(t )s(t +τ )dt = ? pTc 1 ? ? τ modpTc > Tc ? p ? pT
c

周期的函数

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(6)m序列互相关: 同一m序列的两个不同相移的序列的互相关可 由自相关类推。 不同m序列的互相关相对而言比较差。 给定级数n时可设计的不同m序列的个数:不是 很多 (7)功率谱密度 对上述自相关函数进行傅立叶变换,得到m序列 的功率谱密度 可以看到m序列的噪声功率谱密度为近似白噪声

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伪噪声特性
? 如果我们对一个正态的白噪声进行采样,若取样值为 ‘+’,则记为1,为‘-’记为0,则构成一个随机序列, 该随机序列有如下性质: ? (1)序列中0、1个数出现概率相等 ? (2)序列中长度为1的游程占1/2,长度为2的游程占 1/4,…且长度为k的游程中,0游程与1游程个数相同。 ? (3)该序列的噪声功率谱为常数。 ? m序列的性质与随机噪声相似,因此称为伪随机序列。 ? 真正的随机序列是不可重复的,伪随机序列可以任意 地重复。
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