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空间向量求空间角.教案


空间向量求空间角
教学知能目标: 1.理解空间向量求解空间角的一般方法; 2.能用空间向量解决空间角问题。 教学情感目标:培养学生探究新知的精神,培养学生数形结合的能力,化归的能力。 教学重点:理解空间向量求解空间角的一般方法,并能利用空间向量解决空间角问题。 教学难点:线面角,面面角的化归。 一、复习引入: 1 .在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AB, AB ? AC, AC ? PA,
P

PA ? PB ? PC ? 2 , 则面 ABC 的法向量是什么?面 PBC
的法向量又怎么求? 2 .空间向量的数量积运算公式是什么? 二、新课探究: 四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面是的边长为 1 的正方形,侧 棱垂直底面, AB ? 1, AA 1 ? 4, E, F , G 分
A1 D1

A C B
Z

C1

别是 CC1 , AC, BB1 的中点。 问题 1:求异面直线 B1F , D1E 所成角的余弦值.
A

B1 E

G D F C Y

探究:如何用空间向量求异面直线所成的角? 设 l1 与 l2 是两异面直线,a, b 分别为 l1、 l2 的方向向量, 它们所成角为 ? , l1、 l2 所成的角为 ? ,则 θ 与 ? 相等或 互补,则 cos? ? cos? ?
X

B

a

a ?b a b
α b

问题 2:求直线 AC 与平面 AGF 所成角的余弦值; 1

探究:如何用空间向量求直线与平面所成的角? 如图,设 l 为平面 ? 的斜线, l

? ? A , a, 为 l 的方
a A φ

B n C

向向量, n 为平面 ? 的法向量,它们所成角为 θ, l 与 平面 ? 所成的角为 ? ,则 sin? ? cos? ?

a?n a n
α

问题 3:求二面角 A ? AG ? F 的平面角的余弦值。 1

探究:如何用空间向量求二面角? 平面 ? 与 ? 相交于直线 l, 平面 ? 的法向量为 n1 , 平面 ? 的法向量为 n2 , ? n1, n2 ? = ? ,则二面角

α A l

n1 n2 φ O β B

? ? l ? ? 为 ? 或 ? ? ? .设二面角的大小为 ? ,则
cos ? ? cos ? ? n1 ? n2 n1 n2

三、巩固提高: 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 (1)当时 SA ? 2a 时,求异面直线 a 的正方形, AB 和 SC 所成角的余弦值; (2)当 SA ? 2a 时 求直线 BD 和平面 SCD 所成角的余弦值; ( 3)

Z S

SA 的值为多少时,二面角 B ? SC ? D 的大 AB 小为 120? ?

A D Y

B X

C

四、小结: 1. 求异面直线所成的角 ? 时, 一定要注意 ? ? (0?,90?] , 从而有 cos ? ? cos ? ? 2.求直线与平面所成的角 ? 时,一定要注意它和 ? a, n ? 之间的关系,从而有

a ?b a b

sin ? ? cos ? ?

a?n a n

3.求二面角 ? 时一定要注意它和 ? m, n ? 之间的关系,从而有

cos ? ? cos ? ?

m?n m n

,同时还要观察图形确定二面角的范围。

五、作业:选修 2-1,习题 3.2A 组 1,2,4,6


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