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江西省抚州市临川区2017届高三数学下学期5月底模拟考试试题理


江西省抚州市临川区 2017 届高三数学下学期 5 月底模拟考试试题 理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A ? B ? B ? C ,则集合 A, B, C 的关系下列表示正确的是( ) A. A ? B ? C B. C ? B ? A C. B ? C ? A ,则 z 的值为 ( D.5 D. B ? A ? C )

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 A.2 B.3 C. 2 3

3.若角 ? 的终边落在直线 y ? 2 x 上,求 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? 的值( ) A.1 B.2 C. ?2 ) D. ?1

4.下列命题正确的是(

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5.已知双曲线过点 (2,3) ,渐近线方程为 y ? ? 3x ,则双曲线的标准方程是( )

7 x2 y2 ? ?1 A. 16 12

y 2 x2 ? ?1 B. 3 2

y2 ?1 C. x ? 3
2

3 y 2 x2 ? ?1 D. 23 23
,则 的值是

2 6. f ( x) ? a sin x ? b log 3 ( x ? 1 ? x) ? 1 ( a, b ? R ) ,若



) B.-3 C.3 D.5

A.-5

7.现行普通高中学生在高一升高二 时面临着选文理科的问题,学校抽取了部分男、女学生意愿的一 份样本, 制作出如下两个等高堆积条形图, 据这两幅图中的信息, 下列哪个统计结论是不正确 的 ( ... A.样本中的女生数量多于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C.样本中的男生偏爱理科 D.样本中的女生偏爱文科 )

1

第 7 题图 8.执行如图的程序框图,则输出 x 的值是( A. 2016 B.1024 C. ) D.-1

第 8 题图

1 2

9. 某四棱锥的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形,则该四棱锥的表面积是( A. B. C. D.



第 9 题图

第 10 题图

10.《九章算术》 “少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步” (整数部分)及诸分子分母,以 最下面的分母遍乘各分子和“全步” ,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简, 又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例 如: n ? 2 及 n ? 3 时,如图,记 Sn 为每个序列中最后一列数之和,则 S7 为( A. 1089 B.680 C. 840 D.2520 )

11.已知 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点, l1 , l2 为 C 的两条渐近线,点 a 2 b2
4 FB ,则双曲线 C 的离心率为( 5
D. )

A 在 l1 上,且 FA ? l1 ,点 B 在 l2 上,且 FB ∥l1 ,若 FA ?
A. 5 B.

5 2

C.

5 3 5 或 2 2

5 或 5 2
)

x ? ?? ? x ? 1? ? e , x ? a, 12.已知函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 有最大值 M,则 M 的取值范围是( x?a ? ?bx ? 1,

2

A. ? ?

? 1 1 ? ? 2 ,0? ? 2 2e ?

B. ? 0,

? ?

1? ? e2 ?

C. ? 0,

? ?

1 1 ? + 2 2e 2 ? ?

D. ?

? 1 1 1? ? , 2? 2 ? 2e 2 e ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知向量 a, b, 其中a ? 1, b ? 为 .

2 ,且 b ? (2a ? b) ? 1 ,则向量 a , b 的夹角的余弦值

?10m ? 10n ? a ? 14.二项式 ? x ? y ? 的展开式中,含 x 2 y 3 的项的系数是 a ,若 m, n 满足 ? m ? n ? 4 ,则 ? n?0 ?
5

u ? m ? 2n 的取值范围是



15.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说: “罪犯在乙、 丙、丁三人之中” ;乙说: “我没有作案,是丙偷的” ;丙说: “甲、乙两人中有一人是小偷” ;丁说: “乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只 有一人是罪犯,由此可判断罪犯是 .

16.某沿海四个城市 A 、 B 、 C 、 D 的位置如图所示,其中 ?ABC ? 60? , ?BCD ? 135? ,

AB ? 80 n mile ,

BC ? 40 ? 30 3 n mile , CD ? 250 6 n mile ,
D 位于 A 的北偏东 75 ? 方向.现在有一艘轮船
从 A 出发以 50 n mile/h 的速度向 D 直线航行,

60 min 后,轮船由于天气原因收到指令改向
城市 C 直线航行,收到指令时城市 C 对于轮船 的方位 角是南偏西 ? 度,则 sin ? ? .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 S5 ? a5 ? a6 ? 25 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若不等式 2Sn ? 8n ? 27 ? ? ?1? k ? an ? 4? 对所有的正整数都成立,求实数 k 的取值范围.
n

3

18. (本小题满分 12 分)

1 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , AD ? AB ? DC ? BC ? 1 , 2
E 是 PC 的中点,面 PAC ? 面 ABCD .
(1)证明: ED / /面PAB ; (2)若 PC ? 2 , PA ? 3 ,求二面角 A ? PC ? D 的余弦值.
B

P

E

C

A

D

19. (本小题满分 12 分) 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品,每年每人只要交少量保费,发生意外后可一次性 获赔 50 万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为 A 、 B 、 C 三类工种,根据历史数据统计出 三类工种的每赔付频率如下表(并以此估计赔付概率). 工种类别 A B C

赔付频率

1 5 10

2 5 10

1 4 10

(1)根据规定,该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的 20%,试分别确定各类工种每张保 单保费的上限; (2)某企业共有职工 20000 人,从事三类工种的人数分布比例如图,老板准备为全体职工每人购买 一份此种保险,并以(1)中计算的各类保险上限购买,试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.

20.(本题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点为 ,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 ,与抛物线 C 的交点为 ,
2

且 QF ? 2 PQ ,过 的直线 l 与抛物线 C 相交于

两点.

4

(1)求 C 的方程; (2)设 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 两点,试判断 四点是否在同一个圆上?若在,求

出 l 的方程;若不在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x ? bx(a ? 0) 在 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行, ( e ? 2.71828? ) (1)试讨论 f ? x ? 在 (0, ??) 上的单调性; (2)①设 g ? x ? ? x ? ②证明:

1 e x ?1

, x ? (0, ??) ,求 g ? x ? 的最小值;

f ? x? 2 ? x ?1 ? 1? x . a xe ? 1

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 以直角坐标系原点 O 为极点, x 轴正方向为极轴, 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t (t 为 ? y ? sin t

1 ? sin 参数) , C2 的极坐标方程为 ?(
2

2

?)? 8 , C3 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? ? 0, ? ? , ? ? R ,

(1)若 C1 与 C3 的一个公共点为 A (异于 O 点) ,且 OA ? 3 ,求 ? ; (2)若 C1 与 C3 的一个公共点为 A (异于 O 点) , C2 与 C3 的一个公共点为 B ,求 OA ?OB 的取值 范围。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ?

1 a

? a ? 0, m ? R, m ? 0 ? ,

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f ? x ? ? 3 的解集;
5

(2)证明: f ? m ? ? f ? ?

? 1? ??4。 ? m?

临川一中 2017 届高三理科数学模拟考试最后一卷 参考答案 选择题:ADACC 13. ? BDDDA 14. ? ? DB 15.乙 . 16.

2 . 4

? 1 ? ,4 . ? 2 ? ?

6? 2 . 4

17.解: (1)设公差为 d,则 5a1 ?

5? 4 d ? a1 ? 4d ? a1 ? 5d ? 25 ,∴ a1 ? ?1 ,d ? 3 . 2

∴ ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 4 .???????????????????5 分 (2) S n ? ? n ?
3n ? n ? 1? 2

, 2Sn ? 8n ? 27 ? 3n2 ? 3n ? 27 , an ? 4 ? 3n ;

9? 9 9 ? ,当为奇数时, k ? ? ? n ? 1 ? ? ;当为偶数时, k ? n ? 1 ? , n? n n ? 9 9 ∵ n ? 1 ? ? 7 ,当且仅当 n ? 3 时取等号,∴当为奇数时, n ? 1 ? 的最小值为 7, n n

? ?1?

n

k ? n ?1?

当为偶数时, n ? 4 时, n ? 1 ?

9 29 29 P 的最小值为 ,∴ ?7 ? k ? .?????????12 分 n 4 4
(1 分)
B

18.解法一: (Ⅰ)证明:取 PB 的中点 F ,连接 AF , EF .

F M G (3 分)
A

E

1 因为 EF 是 ?PBC 的中位线,所以 EF / / BC . (2 分) 2 1 又 AD / / BC ,所以 AD/ /EF ,所以四边形 ADEF 是平行四边形. 2
所以 DE / / AF ,又 DE ? 面ABP, AF ? 面ABP, 所以 ED / /面PAB .

H
C

D

(5 分)

(Ⅱ)取 BC 的中点 M ,连接 AM ,则 AD/ /MC ,所以四边形 ADCM 是平行四边形.
6

所以 AM ? MC ? MB ,所以 A 在以 BC 为直径的圆上. 所以 AB ? AC ,可得 AC ? 3 .

(6 分) (7 分)

过 D 做 DG ? AC 于 G ,因为面 PAC ? 面 ABCD ,且面 PAC ? 面 ABCD = AC , 所以 DG ? 面 PAC ,所以 DG ? PC . (8 分)

过 G 做 GH ? PC 于 H ,则 PC ? 面 GHD ,连接 DH ,则 PC ? DH , 所以 ?GHD 是二面角 A ? PC ? D 的平面角. 在 ?ADC 中, GD ? (9 分) (10 分)

1 1 2 ,连接 AE , GH ? AE ? . 2 2 2

在 Rt ?GDH 中, HD ?

3 , 2

(11 分)

cos ?GHD ?

GH 6 6 ,即二面角 A ? PC ? D 的余弦值 . ? HD 3 3
(1 分)

(12 分)
P

解法二: (Ⅰ)证明:延长 BA, CD 交于点 K ,连接 PK .

1 因为 AD / / BC ,所以 AD 是 ?KBC 的中位线. (2 分) 2
KA ? KD ? 1 ,所以 ED 是 ?KPC 的中位线,
所以 ED / / PK . (3 分) (5 分)

E

B

C

A

D

又 DE ? 面ABP, AF ? 面ABP, 所以 ED / /面PAB . (Ⅱ)易得 ?KBC 是等边三角形,所以 AB ? AC .

K

(6 分)

因为面 PAC ? 面 ABCD ,且面 PAC ? 面 ABCD = AC , 所以 AB ? 面 PAC ,所以 AB ? PA . 所以 PB ? PK =2 ,连接 KE ,则 KE ? PC . 因为 AC ? 3 ? AP ,连接 AE ,则 AE ? PC . 所以 ? AEK 是二面角 A ? PC ? D 的平面角. 在 Rt ?AEK 中,cos ?AEK ? 分) 解法三: (Ⅰ)证明:与解法一相同. (Ⅱ)取 BC 的中点 M ,连接 AM ,则 AD/ /MC .所以四边形 ADCM 是 平行四边形,
z E y B P

(7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

AE 2 6 6 , 所以二面角 A ? PC ? D 的余弦值 . (12 ? ? 3 EK 3 3

7
M C

x

A

D

所以 AM ? MC ? MB ,所以 A 在以 BC 为直径的圆上,所以 AB ? AC . 因为面 PAC ? 面 ABCD ,且面 PAC ? 面 ABCD = AC , 所以 AB ? 面 PAC . (6 分)

如图以 A 为原点, AC, AB 方向分别为 x 轴正方向, y 轴正方向建立空间直角坐标系. 可得 C

??? ? ??? ?

?

? 3 1 ? 3, 0, 0 , D ? ? 2 ,? 2 ,0? ?. ? ?

?

(7 分)

设 P ? x,0, z ? , ? z ? 0 ? ,依题意有 PA ? 解得 x ?

x 2 ? z 2 ? 3 , PC ?

?x ? 3?
(8 分)

2

? z2 ? 2 ,

3 2 6 . ,z ? 3 3

? ? 2 3 ? 3 2 6 ? ???? ? 3 1 ? ??? 2 6? , DC ? ? , CP ? ? ? P? , 0, , , 0 , 0, ? ? ? ? 3 ? ? ? . (9 分) ? 2 2 ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? CD =0 ? n ? CD ? ? n? 设面 PDC 的一个法向量为 n ? ? x0 , y0 , z0 ? ,则 ? ? ??? ? 即 ? ? ??? ? n ? CP n ? CP =0 ? ? ? ?
得方程的一组解为 n ? ? 1, ? 3,

?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

(10 分)

??? ? ??? ? AB 为面 PAC 的一个法向量,且 AB ? ? 0,1, 0 ? ,设二面角 A ? PC ? D 的大小为 ? ,

??? ? ? AB?n 6 6 则有 cos ? ? ??? ,即二面角 A ? PC ? D 的余弦值 . (12 分) ? ? ? 3 3 AB n
19.解: (Ⅰ)设工种 A 的每份保单保费为 a 元,设保险公司每单的收益为随机变量 X ,则 X 的分 布列为

保险公司期望收益为

1 1 ? ? EX ? a ?1 ? 5 ? ? ? a ? 50 ?104 ? ? 5 ? a ? 5 ????????2 分 10 ? 10 ?
根据规则 a ? 5 ? 0.2a 分 解得 a ? 6.25 元,??????????????????4

8

设工种 B 的每份保单保费为 b 元,赔付金期望值为

50 ?104 ? 2 ? 10 元,则保险公司期望 105

利润为 b ? 10 元, 根据规则 b ? 10 ? 0.2b , 解得 b ? 12.5 元,?????? ??????6 分 设工种 C 的每份保单保费为 c 元,赔付金期望值为

50 ?104 ? 50 元,则保险公司期望利 104

润为 c ? 50 元,根据规则 c ? 50 ? 0.2c ,解得 c ? 62.5 元. ???????????8 分 (Ⅱ)购买 A 类产品的份数为 20000 ? 60% ? 12000 份, 购买 B 类产品的份数为 20000 ? 30% ? 6000 份, 购买 C 类产品的份数为 20000 ?10% ? 2000 份,????????????????9 分 企业支付的总保费为 12000 ? 6.25 ? 6000 ?12.5 ? 2000 ? 62.5 ? 275000 元, 保险公司在这宗交易中的期望利润为 275000 ? 20% ? 55000 元. ?????????12 分

20.解: (1)由题意,Q(

),则

,

∵ 解得



∴抛物线 C 的方程为 (2)假设 A,M,B,N 四点共圆.

??????????????????4 分

由(1)可知,F(2,0). 设 直线 l 的方程为 由 设 则 ∴ 设线段 AB 的中点为点 E,则点 E( ∵ l? ?????????????6 分 ) 可得

l

9

∴设直线 l ? 的方程为



可得

设 则 ∴ 设线段 MN 的中点为点 D,则点 D( ∵A,M,B,N 四点共圆 ∴ 即 ???????????????9 分 ???10 分 整理可得 ?????????8 分 )

∴ ∴直线 l 的方程为 21.(1)解:∵ ∴ ∴ 当 ∴ 当 . ??????????2 分 . . . . ?????????12 分

10



??????????4 分

(2)①解:∵

∴ 当 ∴ ∴ ②证明:由(1)可知,

.??????????????????5 分 . ?????????6 分 ?????????????????????7 分

∴由 即

-



?????????????????10 分

设 ∴ ∴ 又∵ ?????????????????????11 分





????????????????12 分
11

22.解: (1) C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t 2 2 则直角方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 。 , ? y ? sin t

极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,联立极坐标方程 ?

? ?1 ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ,得 ? , ?? ? ? ? ?2 ? 0
? 5? 3 的, ? ? 或者? ? . ??? 5 6 6 2

OA ? 3 ? ?1 -?2 ? 2cos ? ,解得 cos? ? ?


2 ? ?( 1 ? sin 2 ?) ?8 8 ? OB ? ? ? (2)联立 C2 与 C3 的极坐标方程为 ? , 1 ? sin 2 ? ?? ? ? ? ? 当 ? = 时, O 与 A 重合,所以 ? ? ,则

2

2

OA ?OB = 2cos ?

8 cos 2 ? cos 2 ? ? 4 2 ? 4 2 ?4 2 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 ? cos 2 ?

1 2 ?1 cos 2 ?

4 2 ? ????????????10 分 所以 OA ? OB ? 0, ?
23. (1)解:当 a ? 2 时,不等式 f ? x ? ? 3 即为错误!未找到引用源。.

?

1 11 ? 3 ,得 x ? ? ; 2 4 1 1 当 ?2 ? x ? ? 时, x ? 2 ? x ? ? 3 ,无解; 2 2 1 1 1 当 x ? ? 时, x ? 2 ? x ? ? 3 ,得 x ? . 2 2 4
当 x ? ?2 时, ? x ? 2 ? x ? 所以不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x | x ? ? (2)证明: f ? m ? ? f ?

? ?

11 1? 或x ? ? .????? 6 分 4 4?

1 1 1 1 1 ?1? ? ?| m ? a | ? | m ? | ? | ? ? a | ? | ? ? |?| m ? a | ? | ? a | ? a m m a m ?m?

|

1 1 1 1 1 ? | ? | ? |? 2 | m ? |? 4 m a m a m .???????10 分

12


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