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天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编5:数列


天津市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 5:数列
一、选择题 1 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 在正项等比数列 ?a n ?中, a 2 a 4

数列 ?bn ? 满足 bn ? log 2 a n ,则数列 ?bn ?的前 6 项和是 A.0 B.2 C .3

? 4 , S 3 ? 14 ,
( )

D.5

【答案】C 2 . (2011 年高考(天津理) )已知 {an } 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为 {an } 的前 n

项和, n ? N ? ,则 S10 的值为 ( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 【答案】 【命题立意】本小题主要考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式和等比中项等基础知识, 熟练运用公式进行计算. D【解析】由已知得 a7 2 ? a3 ? a9 即 (a1 ? 12)2 ? (a1 ? 4)(a1 ? 16) 解得 a1 ? 20 ,所以 an ? 20 ? 2(n ? 1) ? 22 ? 2n ,所以 S10 ?

a1 ? a10 20 ? 2 ?10 ? ?10 ? 110 2 2

3 ( .2010 年高考 (天津理) ) 已知 ? an ? 是首项为 1 的等比数列, sn 是 ? an ? 的前 n 项和,且 9 s3 ? s6 ,则数列 ?

?1? ? ? an ?

的前 5 项和为





15 A. 或 5 8
【答案】C

31 B. 或5 16

31 C. 16

15 D. 8

4 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) )已知等差数列

?a ?中,a +a =16,S = 99 ,则 a
n
7 9 11

2

12

的值是 A.15
【答案】A

( B.30 C.31 D.64



5 . (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)已知正项等比数列 ? an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存

在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则 A.

3 2

B.

5 3

1 4 ? 的最小值为 m n 25 C. 6
2

( D.不存在



【答案】A

【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5 q 2 =a5 q ? 2a5 ,即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 。若存在两项 an , am , 有 am an ? 4a1 ,即 am an ? 16a12 , a12 q m? n?2 ? 16a12 ,即 2m? n ?2 ?16 ,所以 m ? n ? 2 ? 4, m ? n ? 6 , 即

1 4 1 4 m? n 1 4 m n 1 4 m n 3 m?n ) ? (5 ? ? ) ? (5+ 2 ? ) =, 当 且 仅 当 ? 1 。 所 以 ? ? ( ? )( m n m n 6 6 n m 6 n m 2 6

4m n = 即 n 2 ? 4m2 , n ? 2m 取等号,此时 m ? n ? 6 ? 3m ,所以 m ? 2, n ? 4 时取最小值,所以最小 n m
值为

3 ,选 A. 2

6 . (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷) 已知等比数列{an}的首项为 1,若 4a1 , 2a2 , a3 成

等差数列,则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?





16 33 2 【 答 案 】 A 【 解 析 】 因 为 4a1 , 2a2 , a3成 等 差 数 列 , 所 以 4a1 ? a 3 ? 4a 2 , 即 4a1 ? a1q ? 4a1q , 所 以
A. B.2 C. D.

31 16

33 16

q 2 ? 4q ? 4 ? 0,即 (q ? 2)2 ? 0,q ? 2 ,所以 an ? a1q n ?1 ? 2n ?1 ,所以

?1? 1 1 ? ( ) n ?1 ,所以 ? ? 的前 5 项 an 2 ? an ?
( )

1 1(1 ? ( )5 ) 2 ? 2[1 ? ( 1 )5 ] ? 31 ,选 和 S5 ? 1 2 16 1? 2
A.
7 . (2009 高考(天津理))设 a ? 0, b ? 0. 若

A.8

B.4

1 1 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 ( a b 1 C .1 D. 4



【答案】B 8 . (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比

数列,则 A.1

a2 等于 a1
B.2 C .3 D.4





【答案】C

【解析】 因为 S1 , S2 , S4 成等比数列,所以 S1S 4 ? S 2 2 ,即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d ) 2 ,即 d 2 ? 2a1d , d ? 2a1 , 所以

a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 a1 a1 a1

C.

9 . (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)设 S n 是等差数列{an}的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,



a5 的值为 a3 1 A. 6
【答案】D

( B.



1 3

C.

3 5

D.

5 6

【解析】由 S5 ? 3(a2 ? a8 ) 得,

a 5(a1 ? a5 ) 5 ? 3 ? 2a5 ,即 5a3 ? 6a5 ,所以 5 ? ,选 a3 6 2

D.

10 .( 天 津 市 五 区 县 2013 届 高 三 质 量 检 查 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 比 数 列 ? an ?

中, a1 ? a2 ? ??? ? a5 ? 27, A.±9
【答案】C

1 1 1 ? ? ??? ? ? 3 ,则 a3 ? a1 a2 a5
C.±3 D.3





B.9

11 . (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 等差数列{a n }中,如果 a1 ? a4 ? a7 =39 ,

a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为
A.297
【答案】C

( D.66



B.144

C.99

【解析】由 a1 ? a4 ? a7 =39 ,得 3a4 =39,a4 =13 。由 a3 ? a6 ? a9=27 ,德 3a6 =27,a6 =9 。所以

S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9 ? (13 ? 9) = = =9 ?11=99 ,选 2 2 2

C.

12 . ( 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

a ? ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), f ( x) ? ? 2 ? a ? 0, a ? 1? 数列 ?an ? 满足 an ? f (n)(n ? N* ) ,且 ?an ? 是单调递增数列,则 x ? 5 ?a ( x ? 6). ?
实数 a 的取值范围是 A. ? 7,8 ? B. ?1,8 ? C. ? 4,8 ? D. ? 4, 7 ? ( )

【答案】C 13. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)若?ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比

数列,则?ABC 是 A.直角三角形 【答案】C
2 2 2

( B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
?



解:设三个内角 A, B, C 为等差数列,则 A ? C ? 2B ,所以 B ? 60 .又 a, b, c 为等比数列,所以 ac ? b ,
2

即 b ? a ? c ? 2ac cos 60 ? a ? c ? ac ? ac , 即 a ? c ? 2ac ? 0 , 所以 (a ? c) ? 0, a ? c , 所以 三角形为等边三角形,选 C. 14 .( 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ) 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为
? 2 2 2 2
2

S n ? n 2 ? n ? 1, bn ? (?1) n a n (n ? N * ) ,则数列 {bn } 的前 50 项的和为
A.49
【答案】A





B.50

C.99

D.100

15. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)已知正项等比数列{a n }满足: a7 =a6 ? 2a5 ,

若存在两项 an , am 使得 am an ? 4a1 ,则

A.

3 2

B.

5 3
2

1 4 ? 的最小值为 m n 25 C. 6 D.不存在





【答案】A

【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5 q =a5 q ? 2a5 ,即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 。若存在两项 an , am ,
2
2 2 m? n ?2 ? 16a12 ,即 2m? n ?2 ?16 ,所以 m ? n ? 2 ? 4, m ? n ? 6 , 有 am an ? 4a1 ,即 am an ? 16a1 , a1 q



1 4 1 4 m? n 1 4 m n 1 4 m n 3 m?n ) ? (5 ? ? ) ? (5+ 2 ? ) =, 当 且 仅 当 ? 1 。 所 以 ? ? ( ? )( m n m n 6 6 n m 6 n m 2 6

4m n = 即 n 2 ? 4m2 , n ? 2m 取等号,此时 m ? n ? 6 ? 3m ,所以 m ? 2, n ? 4 时取最小值,所以最小 n m
值为 A.
16. (天津市十二校 2013 届高三第二次模拟联考数学 (理) 试题) 已知等差数列 ? an ? 的公差 d

3 ,选 2





? 0 ,且 a1 , a3 , a13
( )

成等比数列,若 a1 ? 1, Sn 是数列 ? an ? 的前 n 项的和,则 A.4 B.3

2 S n ? 16 (n ? N * ) 的最小值为 an ? 3 9 C. 2 3 ? 2 D. 2

【答案】A 二、填空题 17. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)正项等比数列

中,若





等于______.

【答案】16

【解析】在等比数列中,

a2 a98 ? a40 a60 ,所以由 log 2 (a2 a98 ) ? 4 ,得 a2 a98 ? 24 ? 16 ,即 a40 a60 ? 16 。

18. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一

个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个花盆(如图).

设第 n 层共有花盆的个数为 f (n) ,则 f (n) 的表达式为_____________________.
【答案】 f (n) ? 3n ? 3n ? 1
2

19. (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)在数列 {an } 中, an

7 ? (n ? 1)( )n ,则数列 {an } 中的 8

最大项是第
【答案】6 或 7

项。

7 7 7 ? ? (n ? 1)( ) n ? ( n ? 2)( ) n ?1 (n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? a ? a ? n ? ? n ?1 8 8 8 【解析】假设 an 最大,则有 ? ,即 ? ,所以 ? , ?an ? an ?1 ?(n ? 1)( 7 ) n ? n?( 7 ) n ?1 ?(n ? 1) 7 ? n ? ? 8 8 8 ? ?
即 6 ? n ? 7 ,所以最大项为第 6 或 7 项。
20 . (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学) 若 S ?

1 1 1 ,则 ? ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

S?
【答案】

.

n 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) , 所 以 S ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1

【解析】

1 1 n 。 ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1
21 . ( 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) 对 于 各 数 互 不 相 等 的 整 数 数 组

(i1 , i2 , i3 , ?, in ) (n 是不小于 3 的正整数),若对任意的 p, q ? {1,2,3, ?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称
i p , iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组
(2,3,1) 的 逆 序 数 等 于 2. 若 数 组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) 的 逆 序 数 为 n, 则 数 组 (in , in ?1 , ?, i1 ) 的 逆 序 数 为 _________;
【答案】

n 2 ? 3n 2

22. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)等差数列{an}中, a1 ? 1, a7 ? 4 ,在等比数列

{bn}中, b1 ? 6, b2 ? a3 则满足 bn a26 ? 1 的最小正整数 n 是____.
【答案】6

解:在等差数列中, a7 ? a1 ? 6d ? 4 ,所以 d ?

1 , a3 ? a1 ? 2d ? 1 ? 1 ? 2 .所以在等比数列中 b2 ? b1q , 2

b2 2 1 2 5 2 7 1 . 所 以 a2 ? , bn ? b1q n ?1 ? 6( )n ?1 . 则 由 ? ? 5? ? 1 ? 6 a ?2 1 d b1 6 3 2 2 3 1 27 bn a26 ? 6( )n ?1 ? ? 35? n ? 1 ,得 5 ? n ? 0 ,即 n ? 5 ,所以 n 的最小值为 6. 3 2 23. (天津市红桥区 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题(Word 版含答案) )等比数列 ? an ? 中, a3 ? 6 ,


q?

前三项和 S3 ?
【答案】 ?

?

3

0

4 xdx ,则公比 q(q ? 1) 的值为_________.

1 2
2 ,Sn 为{an}的

24. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷)设{an}是等比数列,公比 q ?

前 n 项和.记 Tn ?

17 S n ? S 2 n , n ? N * ,设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=__________; a n ?1
a1[1 ? ( 2) n ] 1? 2 17 a1[1 ? ( 2) ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ? 2 1? 2 ? n a1 ( 2)
n

【答案】 4 【解析】设首项为 a1 , 则 S n ?

, S2 n ?

a1[1 ? ( 2) 2 n ] 1? 2

, an ?1 ? a1 ( 2) , 所以
n

Tn ?
?

17 S n ? S 2 n a n ?1

1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 ? 1? 2 ( 2) n
n

?

1 1 ? [( 2) n ? ? 17] 1? 2 ( 2) n

,





1 6 16 ? ? , 2 ) 2)n ? 4 , n ? 4 时取等号 8 当且仅当 (( 2) n ? 2 n ,即 ( ,此 n ) ( ) ( 2 2) 1 1 9 ,有最大值,所以 n0 ? 4 . 2)n ? ? 17] ? ? (8 ? 17) ? n ( 2) 1? 2 2 ?1 ﹡ n 25. (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学) 设数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2 , (n∈N ), 且 a1 ? 1 , (
n

1 ? 2 n ? ( 1 时 Tn ? ? [( 1? 2

6 ) 2

则数列 {an } 的通项公式为
【答案】 an ? 3 ? 2 , n ? N
n n ?

.

2 【解析】设 an ?1 ? x?

n ?1

? 3( an ? x? 2 n ) ,即 an?1 ? 3an ? 3x ? 2n ? x? 2 n ?1 ? 3an ? x ? 2 n ,所以 x ? 1 ,即

an?1 ? 2n ?1 ? 3( an ? 2 n ) ,所以数列 {an ? 2n } 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,公比 q ? 3 的等比数列,所以 an ? 2n ? 3 ? 3n?1 ? 3n ,所以 an ? 3n ? 2n , n ? N ? .
26. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)数列{a n }中, 若 a 1 =1,an ?1 ? 2an ? 3(n≥1) ,

则该数列的通项 a n =________。
【答案】 an ? 2
n ?1

? 3, n ? 1

【解析】因为 an ?1 ? 2an ? 3 ,所以 an ?1 ? 3 ? 2an ? 3 ? 3 ? 2(an ? 3) ,即数列 {an ? 3} 是以 a1 ? 3 ? 4 为 首项,公比 q ? 2 的等比数列,所以数列的通项 an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

? 2n ?1 , n ? 1 。所以 an ? 2n ?1 ? 3, n ? 1

三、解答题 27. (天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) )已知等比数列{an}的公比 q≠1,a1 =3,

且 3a2、2a3、a4 成等差数列. (I)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{bn},b1=q,bn=3an-1+rbn-1(n≥2,n∈N )(r 为常数,且 qr≠0,r≠3). ①写出 b2,b3,b4; ②试推测出 bn 用 q,r,n 表示的公式,并用数学归纳法证明你推测的结论.
【答案】

*

28 .( 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足

a1 ? 1, a 2 ? 3, a n ?1 ? 4a n ? 3a n ?1 n ? N * , n ? 2 ,
(1)证明:数列 {a n ?1 ? a n } 是等比数列,并求出 {a n } 的通项公式 (2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N ,有
*

?

?

【答案】解:(1)由 a n ?1

b b1 b ? 2 ? ? ? n ? 2n ? 1 成立,求 S n a1 2a 2 nan ? 4a n ? 3a n ?1 可得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ), a2 ? a1 ? 2 ,

?{an?1 ? an } 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列
? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

2(1 ? 3 n ?1 ) ? 1 ? 3 n ?1 1? 3 b (2) n ? 1时, 1 ? 3, b1 ? 3, S1 ? 3 a1 b n ? 2 时, n ? 2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2, bn ? 2nan ? 2n ? 3 n ?1 nan ?

S n ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ? ? 2 ? n ? 3n ?1

? 2(1 ? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? n ? 3n?1 ) ? 1
设 x ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
0 1 2
1 2 3

n ?1
n ?1

则 3x ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 3

? n ? 3n

2 x ? n ? 3 ? (3
n

n ?1

?3

n?2

3n ? 1 ??? 3 ) ? n?3 ? 2
0 n

1? 3 ? S n ? ? n ? ? ? 3n ? 2? 2 ? 1? n 3 ? 综上, S n ? ? n ? ? ? 3 ? 2? 2 ?
29 . ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 的 前

n 项和

1 Sn ? ?an ? ( )n ?1 ? 2( n 为正整数) 2 n (Ⅰ)令 bn ? 2 an ,求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; n ?1 5n (Ⅱ)令 Cn ? 的大小,并予以证明 an , Tn ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ,试比较 Tn 与 n 2n ? 1 1 1 Sn ? ?an ? ( )n ?1 ? 2 a ? 1 S ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 2 2 【答案】解:(I)在 中,令 n=1,可得 1 1 1 Sn?1 ? ?an?1 ? ( )n?2 ? 2, ? an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ? ( )n?1 2 2 当 n ? 2 时, , 1 n?1 ? 2a n ? an?1 ? ( ) ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 2 . n ? bn ? 2 an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 .


b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

于是

bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?
cn ?

n 2n .

(II)由(I)得

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n n 2 ,所以
① ②



①-②



1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)

于是确定 由

Tn与

5n n 2n ? 1 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小
n

2 ? 2n ? 1. 证明如下: 可猜想当 n ? 3时, 证法 1:(1)当 n=3 时,由上述验算显示成立.
(2)假设 n ? k ? 1 时 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立
n 综合(1)(2)可知,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.

证法 2:当 n ? 3 时,

综上所述,当 n ? 1, 2时

Tn ?

5n 5n Tn ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时 2n ? 1

30( .天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 设数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且满足 S n =2-a n ,

n=1,2,3,? (1)求数列{a n }的通项公式; (4 分) (2)若数列{b n }满足 b 1 =1,且 b n ?1 =b n +a n ,求数列{b n }的通项公式; (6 分) (3)设 C n =n(3- b n ) ,求数列{ C n }的前 n 项和 T
【答案】 (1)a 1 =S 1 =1
n

。 (6 分)

1分 1分 1分

n≥2 时,S n =2-a n S n ?1 =2-a n ?1 a n =a n +a n ?1 2a n = a n ?1 ∵a 1 =1 1分

an 1 = a n ?1 2
∴a n =(

1 n ?1 ) 2 1 n ?1 ) 2

1分

(2)b n ?1 -b n =(

1分

1 ? b2 ? b1 ? ( ) 0 ? 2 ? 1 1 ? b3 ? b2 ? ( ) ? 2 ? 1 n?2 ? bn ? bn ?1 ? ( ) ? 2 ?

1分

1 1 ∴b n -b 1 =( )+??+( ) n ? 2 = 2 2
1 2
n?2

1?

1
1分

2 n ?1 1 1? 2

=2-

∴b n =3-

1 2
n?2

1分 1分

∵b 1 =1 成立 ∴b n =3-(

1 n?2 ) 2 1 n?2 ) 2
1分

(3)C n =n( T n =1×(

1 ?1 1 1 ) +2( ) 0 +??+n( ) n ? 2 2 2 2

1 1 1 1 T n =1×( ) 0 +??+(n-1) ( ) n ? 2 +n( ) n ?1 2 2 2 2

1?
=2+

1

2 n ?1 -n( 1 ) n ?1 1 2 1? 2
1 n?2 1 n ?1 ) -n( ) 2 2 1 2
n ?3

=2+2-(

∴T n =8-

-

n 2
n?2

=8-

n?2 2 n?2
已知 A( , ) , B( , ) 是函数

31 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)

的图象上的任意两点(可以重合) ,点 M 在

直线

上,且 + 的值及 ,当

. + 的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(1)求 (2)已知

(3)在(2)的条件下,设 使得不等式

}的前 项和,若存在正整数 、

成立,求 和

的值.

【答案】

解: (Ⅰ)∵点 M 在直线 x=

上,设 M

.

又 ∴ +

= =1. =

,即





① 当 ② 当

时, 时,

=

, ,

+

=



+

=

+ 综合①②得,

= + + . =1 时, ,k= + + + +

=

=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 ∴ n≥2 时,

. , , ② ①

①+②得,2 当 n=1 时, (Ⅲ) = =

=-2(n-1),则 =0 满足 , =1+

=1-n. =1-n. = . .

=1-n. ∴ +

=2∴



=

-2+

=2-



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,



32. (2010 年高考(天津理) )在数列 ? an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差
*

∴1< <3, ∴m=1.

为 dk ? (Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk ?
*

(i)设 q1 ? 1.证明 ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? qk ? 1 ?
n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 ( n ? 2) 2 k ?2 a k

(ii)若 a2 ? 2 ,证明

【答案】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基

础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法?

?a ? 4k , k ? N * ? 2k ? 1 2k ? 1 ? a ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 所以 a 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3 = 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1
(Ⅰ)证明:由题设,可得 a =2k(k+1)

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2 a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 于是 2k ? 1 ? , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? a k a k a a 2k 2k ? 1 2k ? 1 2k * ,a 所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a , a 成等比数列? 2k 2k ? 1 2k ? 2 ,a ,a ,a (Ⅱ)证法一 :(i) 证明 : 由 a 成等差 数列 , 及 a , a 成等 比数列 , 得 2k ? 1 2 k 2 k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1 * 当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N
由 a1 =0,得 a

2k ? 1

从而

1 ? q k ?1 2 ?

1 1 ?1 q k ?1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1? q ? 1? ? ? k ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1

q k ?1 2 a a a ( ) 2 k ? 2 2 k ? 1 k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 所以 ? ? , 从而 ? ,k ? N * a a k a k2 2k ? 1 2k 2k a a ? 2 a4 k2 (k ? 1) 2 22 ? ? a2 ? ? ? ? 2 ? 2k 2 ? a 2 k ?1 因此, a 2 k ? 2 k ? 2 k a 2k ?2 a 2 k ?4 a2 (k ? 1) 2 (k ? 2) 2 12 k ?1 ? a2k ? ? 2k (k ? 1), k ? N * k
以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. ? k ? 2 ak
n

m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k ? 1) 2 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k n

m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k ( k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2 k ( k ? 1) k ?1 ? 2 k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4, 6,8... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )
*

k 2 2 m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? ? ? 4 m ? ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak 1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
n

2

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , ? 2 n ? ? 2, n ? 3,5, 7 ··· 从而 ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak 证法二:(i)证明:由题设,可得 dk ? a2 k ?1 ? a2 k ? qk a2 k ? a2 k ? a2 k (qk ? 1),

综合(1)(2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

d k ?1 ? a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk 2 a2 k ? qk a2 k ? a2 k qk (qk ? 1), 所以 d k ?1 ? qk d k a a ? d k ?1 d d q ?1 qk ?1 ? 2 k ?3 ? 2 k ? 2 ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 1 ? ? k ? ?1, 由 q1 ? 1 可知 qk ? 1, k ? N * ?可得 qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1
所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1? ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 ? 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ? 列?由等差数列的通项公式可得 从而

? 1 ? a3 1 ? 2, ? 1 ?于是,由(i)可知所以 ? ? 是公差为 1 的等差数 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?

1 k ?1 = 1 ? ? k ? 1? ? k ,故 qk ? ? qk ? 1 k

d k ?1 k ?1 ? qk ? ? dk k d d d d k k ?1 2 . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d k ? 2k ? 所以 k ? k . k ?1 ........ 2 ? d1 d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1
于是,由(i)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一?
33. (天津市宝坻区 2013 届高三综合模拟数学(理)试题)设 {a n } 是各项都为正数的等比数列,

?bn ?是等差

数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 13, a5 ? b3 ? 21. (Ⅰ)求数列 {a n } , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n ? bn } 的前 n 项和 Tn .
【答案】解:(Ⅰ)设数列 {a n } 的公比为 q ( q ? 0), 数列 ?bn ? 的公差为 d

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ? 依题意得: ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13

2q 4 ? q 2 ? 28 ? 0 ? (q 2 ? 4)(2q 2 ? 7) ? 0 ∵ q ? 0 ∴ q ? 2 ,将 q ? 2 代入 (1') 得 d ? 2

∴ an ? 2n ?1 ,bn ? 2n ? 1. (Ⅱ) 由 题 意 得

Tn ? S1 b L ? n S nb 1? S 2 b 2?

? a1b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a1 ? a2 ? a3 )b3 ? L ? (a1 ? a2 ? L ? an )bn
? (21 ? 1)b1 ? (22 ? 1)b2 ? L ? (2n ? 1)bn

? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn )
令 S ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn 则 2 S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2
2 3 n ?1



? bn


n n ?1

①-②得: ? S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 L ? 2 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
1 2 3

? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2[1 ? 22 (2n ?1 ? 1)] ? (2n ? 1) ? 2n ?1
∴ S ? (2n ? 3) ? 2

?6 n(1 ? 2n ? 1) 又 b1 ? b2 ? L ? bn ? ? n2 2 ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? 6 ? n 2
34. (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)已知数列 {an }的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项,数列

n ?1

{bn }中, b1 = 1 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ) 求数列 {an }, {bn } 的通项公式 an 和 bn ; (Ⅱ) 设 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
【答案】解:(Ⅰ)∵ a n 是 S n 与 2 的等差中项,

∴ S n ? 2a n ? 2 ②



S? = a2, ? S n ? 2an ∴ ? 2, S又 2S ann?? n- 1 n,(n ? 2, n ? N ) n ?1 1 ?
*

由 ①-② 得

?

an ? 2, ( n ? ?0, N * ), 即数列?an ? 是等比数列。 ?2, ann? an ?1
得 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2,解得a1 ? 2。
n

? an ? 2an ? 2an ?1 ,

又S n-S n ?1=an,(n ? 2, n ? N * )

再由 S n ? 2a n ? 2 ∴ an ? 2

?点( P bn , bn ?1 )在直线x-y+2=0上, ? bn ? bn ?1+2=0 .
(Ⅱ)? cn=(2n ? 1)2n ,

∴ bn ?1 ? bn ? 2,即数列?bn ?是等差数列,又b1 ? 1 , ?b n ? 2n ? 1。 ① ②
n ?1

?Tn=a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2 n , ? 2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (2n ? 3)2 ? (2n ? 1)2
2 3 n 2 3 n n ?1

. ,

①-②得: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 2 +2 ? 2 +?+2 ? 2 ) ? (2n ? 1)2 即: ?Tn ? 1? 2 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
3 4 n ?1

) ? (2n ? 1)2

n ?1

,

∴ Tn ? (2n ? 3)2 2an+1-an=

n ?1

?6

35 . ( 天 津 市 六 校 2013 届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) ) 已 知 数 列 {an} 中 ,a1=1, 若

n-2 1 ,bn=ann(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 ,且其前 n 项和为 Tn,求证:Tn<3. n(n ? 1)

(1)求证:{ bn }为等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)若 Cn=nbn+

b 【答案】解:(1) n ?1 ? bn

a n ?1 ?

an 1 n?2 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) 1 ? ? 1 1 2 an ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) ----6

? {bn}为等比数列, 又? b1 =
(2)由(1)可知

1 1 1 , q= ? bn ? ( ) n ---------------------7 2 2 2

n 1 ? n 2 n( n ? 1) 1 2 3 n 1 1 1 ? ????? ? Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 2 2 2 2 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) n?2 1 ? Tn ? 3 ? n ? ? 3 ------------------------13 2 n ?1 Cn ?
36 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 数 列 {an} 满 足

4a1=1,an-1=[(-1) an-1-2]an(n≥2),(1)试判断数列{1/an+(-1) }是否为等比数列 ,并证明;(2) 设 an ? bn=1, 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

n

n

2

1 2 ? (?1) n ? an an ?1 1 1 [ ? (?1) n ] ? ?2[ ? (?1) n ?1 ] an an ?1 1 ? (?1) n an ? ?2(n ? N * 且n ? 2) 即 1 ? (?1) n ?1 an ?1
【答案】解:(1)由

(?1) n an ?1 ? 2 1 ? (?1) n ? (?1) n an an ?1 2(?1) n an ?1 ? 2 ? ? ? ?2 另: 1 1 (?1) n an ?1 ? 1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n an ?1 an ?1
?1 ? ? ? ? (?1) n ? 是首项为 3 公比为-2 的等比数列 ? an ? 1 1 ? (?1) n ? 3(?2) n ?1 ? ? 3(?2) n ?1 ? (?1) n ?1 an an
(2)由 an bn ? 1
2

? bn ?

1 ? 9 ? 4n ?1 ? 6 ? 2n ?1 ? 1 2 an

9(4n ? 1) 6(2n ? 1) Sn ? ? ?n 4 ?1 2 ?1 n n = 3 ? 4 ? 6 ? 2 ? n ? 9(n ? N *)
37. (天津市蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,通项 an 满



Sn q ? ( q 是常数, q ? 0 且 q ? 1 ). an ? 1 q ? 1 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 1 1 (Ⅱ)当 q ? 时,证明 Sn ? ; 4 3

(Ⅲ) 设 函 数 f ( x) ? log q x, bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) , 是 否 存 在 正 整 数 m , 使

1 1 1 m ? ? ? ? 对 n ? N * 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. b1 b2 bn 3
【答案】

? log q (q ? q 2 ?? ? q n ) ? log q q (1? 2??? n )

? 1? 2 ??? n n(n ? 1) ? 2 1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 所以 bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 2n )? 所以 ? ? ? ? 2(1 ? b1 b2 bn n ?1 n ?1

38. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为

(Ⅰ)求 数列 ? an ? 的通项公式;

S n ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ? ) .

(Ⅱ)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列, 设数列 ?

【答案】设等比数列 ? an ? 的前

? 15 ?1? ? 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 16 ? dn ? ?

n 项和为 S n ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2( n ? N ? ) .
? ?1? ? 的前 n 项和 ? dn ? ?

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式 ; (Ⅱ)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,设数列 ?

Tn ,证明: Tn ?

【D】18.解(Ⅰ)由 an ?1 ? 2 Sn ? 2(n ? N )得 an ? 2 Sn ?1 ? 2(n ? N , n ? 2 ),
* *

15 . 16

两式相减得: an ?1 ? an ? 2an , 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 ,

即 an ?1 ? 3an (n ? N , n ? 2 ),
*

∵ {a n } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ,又 a2 ? 2a1 ? 2,

3 ∴ a n ? 2?

n ?1

3 , an ? 2?3 (Ⅱ)由(1)知 an ?1 ? 2?
n

n ?1

∵ an ?1 ? an ? (n ? 1)d n , 令 Tn ?

∴ dn ?

4 ? 3n ?1 , n ?1

1 1 1 1 ? ? ? ? , d1 d 2 d 3 dn 2 3 4 n ?1 则 Tn ? +? ① ? ? 0 1 2 4?3n ?1 4?3 4?3 4?3 1 2 3 n n ?1 ② Tn ? ? ?? ? n ?1 1 2 4?3 4?3n 3 4?3 4?3 2 2 1 1 1 n ?1 ①-②得 Tn ? ? ? ?? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 3 ? ? ?3 ? ? ? n 1 2 4 4 ? 3 8 8? 3n 1? 3 15 2n ? 5 15 ?Tn ? ? ? 16 16? 3n ?1 16
39 . ( 2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且

Sn ? 2an ? 2 (n ? N * ) ,
数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P(bn , bn ?1 ) (n ? N ) 在直线 y ? x ? 2 上.
*

(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ;

(Ⅲ)设 cn ? an ? sin 2

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . 2 2

【答案】 【解】(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 (n ? 2) ,∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 ∴ an ? 2
n
*

又点 P(bn , bn ?1 ) (n ? N ) 在直线 y ? x ? 2 上,∴ bn?1 ? bn ? 2 , ∴ {bn } 是等差数列,公差为 2,首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)∴ an ? bn ? (2n ? 1) ? 2
1 2

n
3 4 n ?1

∴ Dn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ?? (2n ? 3) ? 2 ①—②得

? (2n ? 1) ? 2n

① ②

2 Dn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ? ?? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1

? Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ?? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1

? 2 ? 2?

4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 1? 2 Dn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6
? 2n
n为奇数

(Ⅲ) cn ? ?

? ?(2n ? 1) n为偶数 T2 n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?b2 n )
? 2 ? 23 ? ? ? 22 n ?1 ? [3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)] ? 22 n ?1 ? 2 ? 2n 2 ? n 3

40. (天津市五区县 2013 届高三质量检查(一)数学(理)试题)已知数列 ? an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2 ?

1 ,数列 an

?bn ? 中 bn ?

(I)求证:数列 ?bn ? 是等差数列:

1 ? .其中 n ? N . an ? 1

1 1 1 ?1 ? ? ? ... ? ; S1 S2 Sn ?3 ? 3 ? 1 n ? (Ⅲ)设 Tn 是数列 ?( ) ? bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? . 4 ? 3 ? a 1 1 【答案】解:(Ⅰ) bn ?1 ? ? ? n , an ?1 ? 1 1 ? 1 an ? 1 an 1 而 bn ? , an ? 1 an 1 ? ? 1. n ? N * ∴ bn ?1 ? bn ? an ? 1 an ? 1 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列 ∴ { bn }是首项为 b1 ? a1 ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? n , 1 1 1 n(n ? 1) , bn ? n. ? Sn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 3 3 3 6
(Ⅱ)设 S n 最是数列 ? bn ? 的前 n 项和,求

1 6 1 1 = 6( ? ? ), Sn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 故有 ? ??? ? 6(1 ? ? ? ? ? ? ? ) S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1 1 6n =6 (1 ? )? n ?1 n ?1 1 1 (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 ( ) n ? bn ? n ? ( ) n , 3 3 1 1 1 则 Tn ? 1? ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n . 3 3 3 n 1 1 1 1 ?1? ∴ Tn ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ( ) n ?1 3 3 3 3 ?3? 1? 1 ? 1 2 1 1 1 1 1 则 Tn ? ? ( ) 2 ? ( )3 ++ ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? ?1 ? ( ) n ? ? n ? ( ) n ?1 , 2? 3 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 n 1 3 ∴ Tn ? ? ( )n ?1 ? ? ( )n ? 4 4 3 2 3 4
于是
? x ? 0, ? 41. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)对 n∈N 不等式 ? y ? 0, 所表示的平面 ? ? y ? ? nx ? 2n ?

区域为 Dn, 把 Dn 内的整点 ( 横坐标与纵坐标均为整数的点 ) 按其到原点的距离从近到远排成点列 2 (x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),求 xn,yn;(2)数列{an}满足 a1=x1,且 n≥2 时 an=yn ( 1 ? 1 ? ? ? 1 ). 证明: 2 2 y12 y2 yn ?1 当 n≥2 时,
a n ?1 a 1 ;(3)在(2)的条件下,试比较 1 1 1 1 ? n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 与 4 的大小关系. (n ? 1) 2 n 2 n 2 a1 a2 a3 an

【答案】解:(1)当 n=1 时,(x1,y1)=(1,1)

n=2 时,(x2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3) n=3 时,(x4,y4)=(1,4) n时 (xn,yn)=(1,n)? ?

? xn ? 1 (n ? N *) ? yn ? n

1 1 1 1 ? an ? n 2 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ? ( n ? 1) 2 ) a a 1 ? ? n ?1 2 ? n ? 2 (2)由 ? 2 n ? an ?1 ? ( 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ) (n ? 1) n 2 2 2 2 2 ? 1 2 3 n ? (n ? 1) 1 1 1 5 ? 2 ? 4, n ? 2 时, (1 ? )(1 ? ) ? 2 ? ? 4 成立 (3)当 n=1 时, 1 ? a1 a1 a2 4

an ?1 an ? 1 an ? 1 n2 ? 即 ? an ?1 (n ? 1) 2 (n ? 1) 2 n2 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ? ? ? ? a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an 1 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an ?1 ? ? ? ? (1 ? an ) = ? a a2 a3 a4 an
由(2)知当 n≥3 时, = 2?

1 22 32 (n ? 1) 2 n2 ? 2 ? 2? ? ? an ?1 4 3 4 n2 (n ? 1) 2

an ?1 1 1 1 1 ? 2[1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2] 2 2 (n ? 1) 2 3 (n ? 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? (n ? 2) ? 2[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] n n(n ? 1) n ? 1 n 2 2 3 n ?1 n 1 2 = 2(2 ? ) ? 4 ? ? 4 得证 n n
= 2?
42. (天津市红桥区 2013 届高三第一次模拟考试数学 (理) 试题 (Word 版含答案) )(本小题满分 l3 分)

已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 为 和 S n , 点 ( n,

Sn )在直线 n

1 11 上 . 数 列 { bn } 满 足 x? 2 2 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0( n ? N * ) ,且 b1=5,{ bn }前 10 项和为 185. y?
( I )求数列{ an }、{ bn }的通项公式; (II)设 cn ?
【答案】

3 1 ,数列的前 n 和为 Tn,求证: Tn ? . ( 2an ? 11 )( 2bn ? 1 ) 3

43. (天津市河北区 2013 届高三总复习质量检测(二)数学(理)试题)若数列{An}满足 An ?1 ? An ,则称数列
2

{An}为“平 方递推数列”. 已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在二次函数 f ( x ) ? 2 x 2 ? 2 x 的图像上,其中 n ? N * . (I)证明数列{2an+l}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+l)}为等比数列; (Ⅱ)设(I)中“平方递推数列”{2an+l}的前 n 项之积为 Tn,即

Tn ? ( 2a1 ? 1)( 2a 2 ? 1) ? ( 2a n ? 1) ,求数列{an}的通项及 Tn 关于 n 的表达式;
(Ⅲ)记 bn ? (3n ? 2)(log 5 Tn ? 1) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
【答案】

44. (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 (理) ) 设数列 ? a

n

? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 ,

an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? .
(Ⅰ)求数列

?nan ? 的前 n 项和,求 Tn . ?an ? 的通项公式; T (Ⅱ)记 n 为数列
?????????????????2 分

【答案】解: (Ⅰ)由题意, an ?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn ?1 ? 1 .

两式相减,得 an ?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,

a2 ? 4 ,?????????????????4 分 a1

所以数列 ? an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列,????????5 分
n ?1 所以数列 ? an ? 的通项公式是 an ? 4 ( n ? N? ). ????????????6 分
2 n ?1 (Ⅱ)因为 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 4 ,

2 3 n ?1 n 所以 4Tn ? 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? 1) ? 4 ? n ? 4 , ????????8 分

两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ? n ? 4n ? 整理得, Tn ?

1 ? 4n ? n ? 4n , ???11 分 1? 4

3n ? 1 n 1 ? 4 ? ( n ? N? ). 9 9

????????????13 分

45 . ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 a1 ? 2 , 点 (an , an ?1 ) 在 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n ? 1, 2,3?
(1)证明数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (2)设 Tn ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a2 ) ?? ? (1 ? an ) ,求 Tn 及数列 ? an ? 的通项; (3)记 bn ?

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? an an ? 2
2

【答案】(Ⅰ)由已知 an ?1 ? an ? 2an ,

? an ?1 ? 1 ? (an ? 1)2

? a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an ?1 ) lg(1 ? an ?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即 ?2 lg(1 ? an ) ?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2 由(*)式得 an ? 3
2
2n?1

n ?1

? lg(1 ? a1 ) ? 2n ?1 ? lg 3 ? lg 32
0 1 2 n-1

n?1

?1 ? an ? 32 (*)
2

n ?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+a n ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
?1
(Ⅲ)? an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? an (an ? 2) 又 bn ?

? 31? 2? 2

?…+2n-1

=3

2n -1

?

1 1 1 1 ? ( ? ) an ?1 2 an an ? 2

?

1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2( ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1 n?1 n 2 ? an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an ?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ? 2n . 3 ?1
46. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和

1 S n ? ?a n ? ( ) n ?1 ? 2(n ? N * ) ,数列{bn}满足 bn ? 2 n a n . 2
(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列 ?

5n ?n ?1 ? ; a n ? 的前 n 项和为 Tn,证明: n ? N * 且 n ? 3 时, Tn ? 2n ? 1 ? n ?

(3)设数列{cn}满足 a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n ( ? 为非零常数, n ? N * ) ,问是否存在整数 ? ,使得 对任意 n ? N * ,都有 c n ?1 ? c n .
【答案】解: (1)在 S n ? ? a n ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 1 2

1 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ,∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,

1 2

∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 . ∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 . 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (2)由(1)得 c n ?

1 2

n . 2n

n ?1 1 a n ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2


Tn ? 2 ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2

1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? ? (n ? 1)( ) n ?1 ② 2 2 2 2 2
由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n ?1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2
∴ Tn ? 3 ?

n?3 2n

5n n?3 5n (n ? 3)(2 n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2 n (2n ? 1)
于是确定 Tn 与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与 2n+1 的大小 2n ? 1
2 3 4 5

由 2 ? 2 ? 1 ? 1;2 ? 2 ? 2 ? 1;2 ? 2 ? 3 ? 1;2 ? 2 ? 4 ? 1;2 ? 2 ? 5;? 可猜想当 n ? 3 时, 2 n ? 2n ? 1 .证明如下: 证法 1:①当 n=3 时,由上验算显示成立. ②假设 n=k+1 时

2 k ?1 ? 2 g 2 k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 1
所以当 n=k+1 时猜想也成立 综合①②可知,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 n ? 2n ? 1 . 证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n ?1 n 0 1 n ?1 n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所

述,当 n=1,2 时 Tn ? (3)∵ c n ? 3 ?
n

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

(?1) n ?1 ? ? n n 3 ? (?1) n ?1 ? ? 2 n an

∴ c n ?1 ? c n ? [3 n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3 n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ]

? 2 ? 3 n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0
∴ (?1) n ?1 ? ? ? ? ?

?3? ?2?

n ?1


2k ?2

?3? 当 n=2k-1,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ? ? ?2?
依题意,②式对 k=1,2,3??都成立,∴ ? ? 1 当 n=2k,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ?? ? 依题意,③式对 k=1,2,3??都成立, ∴? ? ?



?3? ?2?

2 k ?1



3 2

∴?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 2
3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2

∴存在整数 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N * 有 cn ?1 ? cn .
47. (2013 天津高考数学(理) )已知首项为

S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; 1 (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ? (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn
【答案】本题考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式,数列的基本性质等基础

知识.考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. (Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,因为 S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列,

a5 1 ? . 又 {an } 不 是 递 减 数 列 且 a3 4 3 1 3 1 3 a1 ? ,所以 q ? ? .故等比数列 {an } 的通项公式为 an ? ? (? )n ?1 ? (?1) n ?1 ? n . 2 2 2 2 2 1 ? 1 ? , n为奇数, 1 n ? ? 2n (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ( ? ) ? ? 2 ?1 ? 1 ,n为偶数, ? ? 2n 1 1 3 2 5 3 ? S1 ? ? ? ? . 当 n 为奇数时, S n 随 n 的增大而减小,所以 1 ? Sn ? S1 ? ,故 0 ? S n ? Sn S1 2 3 6 2 1 1 3 4 7 3 ? S2 ? ? ? ?? . 当 n 为偶数时, S n 随 n 的增大而增大,所以 ? S2 ? Sn ? 1 ,故 0 ? S n ? Sn S2 4 3 12 4 7 1 5 * ? Sn ? ? . 综上,对于 n ? N ,总有 ? 12 Sn 6 1 1 k * (2)令 f ( x) ? x ? ,则 f ( x) 在 (??,0) 和 (0, ??) 上分别单调递增, n ? 2k , k ? N 时, Sn ? 1 ? ( ) 单 x 4 3 1 2 k ?1 3 调递增, ? Sn ? 1 , n ? 2k ? 1, k ? N 时, Sn ? 1 ? ( ) 单调递减,1 ? Sn ? . 4 2 2
所 以 S5 ? a5 ? S3 ? a3 ? S4 ? a4 ? S5 ? a , 5 即 4a5 ? a3 , 于 是 q ?
2

48 . ( 天 津 市 2013 届 高 三 第 三 次 六 校 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

x , 数 列 ?a n ? 满 足 x?3

a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) (n ? N ? )
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足, bn ?
【答案】

3n 1 a n a n ?1 , S n ? b1 ? b2 ? ..... ? bn ,求证: S n < . 2 2

49. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)设等差数列

的首项

及公差 d 都为整数,

前 n 项和为 Sn. (1)若 (2)若
【答案】解: (Ⅰ)由

,求数列

的通项公式; 求所有可能的数列 的通项公式.

又 故解得 因此, 的通项公式是 1,2,3,?,

(Ⅱ)由



即 由①+②得-7d<11,即 由①+③得 于是 , 即 又 , ,故 .

将 4 代入①②得 又 ,故 的通项公式是 1,2,3,?.
50. (天津市河东区 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 已知正项数列{ an }中,a1=6,点 An(an+1,

所以,所有可能的数列

an +1 )

在抛物线 y 2 =x 上;数列{ bn }中,点 Bn (n,bn ) 在过点 (0,1),以 k=2 为斜率的直线上. (1)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2)若 f (n)= ?

?an, (n为奇数) ? bn , (n为偶数)

,问是否存在 k ? N ,使 f (k +27)=4 f (k ) 成立,若存在,求出 k 值;若不

存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式

a n +1 an ? 0 恒成立,求正数 a 的取值范围. 1 1 1 n -2+ a n (1+ )(1+ )...(1+ ) b1 b2 bn

【答案】

51. (2011 年高考(天津理) )已知数列 {an } 与 {bn } 满足 bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0 , bn ?

a1 ? 2 , a2 ? 4 (Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值;
(Ⅱ)设 cn ? a2 n?1 ? a2 n?1 , n ? N ? ,证明 {cn } 是等比数列; (Ⅲ)设 Sk ? a2 ? a4 ? ? ? a2 k ,证明 k ? N ?

3 ? (?1)n , n ? N ? ,且 2

7 ( n? N? ) 6 k ?1 k 【答案】 【命题立意】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证 能力、综合分析和解决问题的能力 分类讨论的思想方法. ?1, n奇 3 ? (?1)n 【解析】(I)由 bn ? , n ? N ? ,可得 bn ? ? ,又 bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0 , 2 ? 2, n偶

?a

4n

Sk

?

当 n ? 1 时, a1 ? a2 ? 2a3 ? 0 ,由 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,可得 a3 ? ?3 ; 当 n ? 2 时, 2a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,可得 a4 ? ?5 ; 当 n ? 3 时, a3 ? a4 ? 2a5 ? 0 ,可得 a5 ? 4 (II)证明:对任意 n ? N ? , a2 n?1 ? a2 n ? 2a2 n ?1 ? 0 ①

2a2 n ? a2 n ?1 ? a2n ? 2 ? 0 a2n?1 ? a2n? 2 ? 2a2n?3 ? 0 ②-③,得 a2 n ? a2 n?3

② ③ ④

将④代入①,可得 a2 n?1 ? a 2n? 3 ? ?(a 2n? 1 ? a 2n? 1) 即 cn ?1 ? ?cn ( n ? N ? ) 又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1 , 因此 {cn } 是等 比数列 (III)证明:由(II)可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1) k ,于是,对任意 k ? N ? 且 k ? 2 ,有

a1 ? a3 ? ?1 , ?(a3 ? a5 ) ? ?1 , a5 ? a7 ? ?1 , (?1)k (a2 k ?1 ? a2 k ?1 ) ? ?1 , 以 上 各 式 相 加 , 得

a1 ? (?1)k a2k ?1 ? ?(k ? 1) ,即 a2 k ?1 ? (?1)k ?1 (k ? 1) ,此式当 k ? 1 时也成立,由④式,得 a2 k ? (?1)k ?1 (k ? 3) , 从而 S2k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k S2k ?1 ? S2k ? a4k ? k ? 3
所以,对任意 n ? N ? , n ? 2 ,

n n Sk S4 m ?3 S4 m ?2 S4 m ?1 S4 m 2m ? 2 2m ? 1 2 m ? 3 2m ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? 2m 2m ? 2 2m ? 1 2 m ? 3 a4 m? 2 a4 m?1 a4 m m ?1 k ?1 ak m ?1 a4 m ?3
4n n 2 3 2 5 3 ? )? ?? ? (2m ? 2)(2m ? 3) 2 ? 3 m ? 2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3) m ?1 2m(2m ? 1) n 1 5 3 ? ?? ? 3 m ? 2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

? ?(

n

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 1 5 5 1 3 7 对于 n ? 1 ,不等式显然成立. ? ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 6 4n S 7 即 k ? N? , ? k ? ( n? N? ) 6 k ?1 ak


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