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高中数学第四章定积分3定积分的简单应用例题与探究北师大版选修2-2资料

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例 题与探究 北师大版选修2-2
高手支招3综合探究 1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法 有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应 将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法 过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础 环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想. 在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把 不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法. 学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段 的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函 数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分 成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按 照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法. 几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种?计算公式是什么? (1)x型区域(如图所示): ①由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x轴所围 成的曲边梯形的面积:S=f(x)dx(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|f(x)dx|=-f(x)dx(如图b); ③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S|f(x)-g(x)|dx(如图c);

图a 图b 图c (2)y型区域(如图所示): ①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y轴所围成的曲边 梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=h(y)dy求出(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y轴所围成的曲边 梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|h(y)dy|=-h(y)dy求出(如 图b); ③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面 积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h1(y),x=h2(y),然后利用S=|h1(y)h2(y)|dy求出(如图c).

图a 高手支招4典例精析

图b

图c

【例1】 计算下列定积分. (1)(4x-x2)dx; (2)dx; (3)(x+sinx)dx;(4)cos2xdx. 思路分析:由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的 一个原函数. 解:(1)(4x-x2)dx=(2x2-)|3-1=(2·32)-[2x(-1)2]=; (2)dx==(-)=-1; (3)(x+sinx)dx=(-cosx)=[-cos]-(0-1)=+1; (4)-cos2xdx=dx=+sin2x=. 【例2】 求函数f(x)=在区间[0,3]上的积分. 思路分析:f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2], [2,3]上三段积分的和. 解:由积分的性质知,f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx =x3dx+dx+2xdx=x3dx+dx+2xdx =++=+-+ =. 【例3】 已知函数f(x)=求f(x)dx. 思路分析:将[0,4]上的积分分成[0,],[,2],[2,4]三个区间上的积分. 解:f(x)dx=sinxdx+1dx+(x-1)dx =-cosx+x+(-x)=1+(2-)+(4-0)=7-. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f ′(0)=0,f(x)dx=-2,求a,b,c的值. 思路分析:本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分 等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方 程组求出a,b,c的值. 解:由f(1)=2得,a-b+c=2,① 又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而f(x)dx=(ax2+c)dx=(ax3+cx)=a+c, ∴a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4. 【例5】 求由曲线y2=x,y=x2所围成图形的面积. 思路分析:利用定积分,按照求面积的基本步骤进行. 解:如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 y2=x,y=x2 得出交点的横坐标x=0及x=1.

所以所求图形的面积为S=dx-x2dx=(-x3)=-=. 【例6】 试求曲线y=(+)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x轴旋转 一圈所得旋转体的体积. 思路分析:虽然曲线y=(+)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直 接用公式求解.

解:因为[(-(+2x]′=+2+,所以V=πy2dx =π(+2+)dx=a2[(-)+2x] =a2[(e2-e-2)+2a].

【例7】 求椭圆(0≤t≤2π)的面积. 思路分析:椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4 就是整个椭圆的面积. 解:如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=ydx=bsintd(acost)= bsint·(-asint)dt =absin2tdt=(t-)=. 所以S=4P=πab.

【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴 (即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是 冷却塔上口直径 的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积.(精确到1 m3,塔壁厚度不计,π取3.14) 思路分析:应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以

及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为 代数问题. 解:(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标 原点O,CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则a=AA′=7. 又设B(11,y1),C(9,y2), 因为点B、C在双曲线上,所以有 =1, ① =1, ② 由题意,知y2-y1=20.③ 由①②③,得y1=-12,y2=8,b=7. 故双曲线方程为=1; (2)由双曲线方程,得x2=y2+49. 设冷却塔的容积为V(m3),则 V=πx2dy=π(y2+49)dy=π(y3+49y). 经计算,得V≈4.25×103(m3). 答:冷却塔的容积为4.25×103 m3. 高手支招5思考发现 1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找 被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运 用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x). 2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积

函数和积分上下限. 3.实际上F(x)+c(c为常数)的导数和F(x)的导数相同,故f(x)dx可以写成\-\相 同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c. 4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、 近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.