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2016届高考数学二轮复习 第2部分-支招2 众里寻她千百度 蓦然回首教材中课件 文_图文

专题复习·数学(文)

支招二

众里寻她千百度

蓦然回首教材中

2016 年的高考即将到来,考前一个月为总复习和模拟测试阶段,即进行 高考实战演习,考生要有针对性地进行查漏补缺,积累考试经验,优化 解题策略,并进行归纳整理、消化吸收,进一步提高应试能力 .如何在最 后 10 天的复习中提高自己的数学成绩?

《考纲》中抓“考点 ”,运筹帷幄之中,决胜千里之外.备考首先要明确 2016 年高考要考什么,此时,考纲要求及考试说明已经公布,可认真通 读一遍,考生在阅读时要把握考点及要求,把考点及相关的定义、公式 以及定理等在大脑中过一遍,做到心中有数,还应把相关知识联系在一 起,忘记的或记不清的考点可通过查阅课本进行核对,并用特殊符号标 记,以便强化记忆. 教材中必记的考点.

考点1 集合必须熟知的基本结论

(1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A. (2)含有 n 个元素的有限集有 2n 个子集,2n-1 个非空子集,2n-1 个真子 集,2n-2 个非空真子集. (3)若 A∩B=A,则 A?B,反之也成立;若 A∪B=B,则 A?B,反之也 成立.利用这两个结论时一定要注意不要忘记集合 A=?这个特例. (4)?和{?},前者代表空集?,后者表示含有一个元素?的集合,?∈{?}和 ??{?}都正确. (5)交集的补集等于补集的并集,即?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);并集的补集 等于补集的交集,即?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

考点1 集合必须熟知的基本结论

(1)注意 A?B 包含 A=B 和 A? B 两种情况,两者必居其一,如果存在 x∈ B 且 x?A,说明 A≠B,只能是 A? B. (2)注意∈和 ?的区别,前者表示元素与集合之间的关系,后者表示集合 与集合之间的关系.

考点2 复合命题的真假判断

p

q

p∨q p∧q ┑p 真 真 真 假 真 假 假 假 假 假 真 真

真 真 真 假 假 真 假 假

考点2 复合命题的真假判断

确定 p∧q,p∨q,┑p 真假的记忆口诀 p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p 与┑p→真假相反.

考点3 充分必要条件与集合的对应关系

从逻辑观点看 p 是 q 的充分条件(p?q) p 是 q 的必要条件(q?p) p 是 q 的充分不必要条件(p?q,q?/ p) p 是 q 的必要不充分条件(q?p,p?/ q) p 是 q 的充要条件(p?q)

从集合观点看 A?B A?B A? B A? B A=B

考点4 常见关键词及其否定形式

关键词 是 都是 大于 小于

否定词 不是 不都是 不大于 不小于

关键词 至少有一个 至多有一个

否定词 一个也没有 至少有两个

至少有 n 个 至多有 n-1 个 至多有 n 个 至少有 n+1 个 p或q p且q ┑p 且┑q ┑p 或┑q

对所有 x,成立 存在某 x,不成立 对任何 x, 不成立 存在某 x,成立

考点5 函数的周期性(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则 f(x)的周期 T=a. 1 1 (2)f(x+a)= (f(x)≠0),或 f(x+a)=- (f(x)≠0),则 f(x)的周期 T=2a. f?x? f?x? 1 (3)f(x)=1- (f(x)≠0),则 f(x)的周期 T=3a. f?x+a? (4)若函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称,且关于直线 x=b 对称,则 f(x)的周期 T=2|b-a|(b≠a).

考点6 指数函数与对数函数的对比区分表

解析式 定义域 值域 解析式

y=ax(a>0 且 a≠1) R (0,+∞) y=ax(a>0 且 a≠1)

y=logax(a>0 且 a≠1) (0,+∞) R y=logax(a>0 且 a≠1)

图象

考点6 指数函数与对数函数的对比区分表

关系 奇偶性

指数函数 非奇非偶 0<a<1 时,在 R 上是减函数; a>1 时,在 R 上是增函数

对数函数 非奇非偶 0<a<1 时, 在(0, +∞)上是减函 数;a>1 时,在(0,+∞)上是增 函数

单调性

考点7 对数的四则运算法则

如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMn=n logaM(n∈R); n (4)logamN = logaN(n,m∈R,m≠0). m
n

考点8 用二分法求函数零点近似值的步骤

第一步:确定区间[ a,b] ,验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε. 第二步:求区间[a,b] 的中点 c. 第三步:计算 f(c). ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 第四步: 判断是否达到精确度 ε, 即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值 a 或 b, 否则重复第二步到第四步.

考点8 用二分法求函数零点近似值的步骤

二分法求函数零点近似值的记忆口诀 定区间, 找中点, 中值计算两边看; 同号去, 异号算, 零点落在异号间. 周 而复始怎么办?精确度上来判断.

考点9 基本初等函数的导数公式

(1)C′=0(C 为常数). (2)(xn)′=nxn-1(n∈N*). (3)(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x. 1 1 (4)(ln x)′= (x>0),(logax)′= (x>0,a>0,且 a≠1). x xln a (5)(ex)′=ex,(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1).

考点9 基本初等函数的导数公式

?1? 1 (1)? ?′=- 2. x ? x?

(2)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还 是周期函数. 1 (3)(ln|x|)′= . x

考点10 导数的四则运算法则

(1)(u± v)′=u′±v′?[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x). (2)(uv)′=vu′+v′u?(cv)′=c′v+cv′=cv′(c 为常数).
?u? vu′-v′u (3)? ?′= (v≠0). v2 ? v?

注意 (1)u,v 必须是可导函数. (2)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均不 可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

考点10 导数的四则运算法则

(1)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如 (xn)′=nxn-1 中 n≠0 且 n∈ Q,(cos x)′=-sin x. (2)注意公式不要用混,如(ax)′=axln a,而不是(ax)′= xax- 1. (3)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函 数的情形,即[u(x)± v(x)± …± ω(x)] ′=u′(x)± v′(x)± ?± ω′(x). (4)一般情况下,[ f (x)g(x)] ′≠f′(x)g′(x), [f(x)g(x)]′≠f′(x)+g′(x),
? f?x? ? f′?x? ? f?x? ? ? ?′≠ ?′≠f′(x)-g′(x). ,? g ? x ? g ′ ? x ? g ? x ? ? ? ? ?

考点11 判断极大(小)值的方法

当函数 f(x)在点 x0 处连续时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)是极小值.

考点11 判断极大(小)值的方法

(1)可导函数极值点的导数为 0, 但导数为 0 的点不一定是极值点, 如函数 f(x)= x3,当 x=0 时就不是极值点,但 f′(0)=0. (2)极值点不是一个点,而是一个数 x0,当 x=x0 时,函数取得极值;在 x0 处有 f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要不充分条件. (3)函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端 点函数值中的最大值,函数 f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间 上的极小值与其端点函数值中的最小值.

考点12 最值与极值的区别与联系

(1)“极值”是个局部概念,是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较, 具有相对性;“最值”是整体概念,是整个定义域上的最大值和最小值, 具有绝对性. (2)最值和极值都不一定存在,若存在,函数在其定义域上的最值是唯一 的,而极值不一定唯一. (3)极值只能在定义域内部取得,而最值还可能在区间端点处取得. (4)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.

考点13 空间几何体的表面积和体积

(1)直棱柱的侧面积:S 侧=cl(c 是底面周长,l 为侧棱长). 1 正棱锥的侧面积:S 侧= ch′(c 是底面周长,h′为斜高). 2 1 正棱台的侧面积:S 侧= (c+c′)h′(c,c′分别是上、下底面周长,h′ 2 为斜高). 圆柱的侧面积:S 侧=cl=2πrl(c 是底面周长,l 为母线长). 1 圆锥的侧面积:S 侧= cl=πrl(c 是底面周长,l 为母线长). 2

考点13 空间几何体的表面积和体积

1 圆台的侧面积:S 侧= (c+c′)l=π(r+R)l(c,c′分别是上、下底面周长, 2 l 为母线长). 球的表面积:S=4πR2. (2)柱体的体积:V 柱=Sh(S 为底面积,h 是柱体的高). 1 锥体的体积:V 锥= Sh(S 为底面积,h 是锥体的高). 3 4 3 1 球的体积:V 球= πR = S 表 R. 3 3

考点13 空间几何体的表面积和体积

柱体、锥体、台体侧面面积公式间的关系 (1)当正棱台的上底面与下底面全等时,得到正棱柱;当正棱台的上底面 1 缩为一个点时,得到正棱锥,由此可得: S= chc′= c,S= (c+ c′)hc′ 2 1 =0,S= ch. 2 (2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底 面半径为零时,得到圆锥,由此可得:S=2πrlr′=r,S= π(r+ r′)lr′= 0,S=πrl.

考点14 球的组合体

(1)球与长方体的组合体:长方体外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体内切球的直径是正方体的棱长,正方体 棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体外接球的直径是正方体的 体对角线长. 6 (3)球与正四面体的组合体:棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 a, 12 6 外接球的半径为 a. 4

考点15 证明空间位置关系的方法
a∥b? ? α∥β? b?α??a∥α, ??a∥α, a?β? ? a?α ? α⊥β? ? a⊥β??a∥α. a?α ? ? α∥β ? ? α∩γ=a??a∥b, β∩γ=b? ?

(1)线面平行:

(2)线线平行:

a∥α ? ? a⊥α? a?β ??a∥b, ??a∥b, b⊥α? ? α∩β=b?

a∥b? ??c∥b. a∥c? (3)面面平行: a?α,b?α? ? a⊥α? α∥β? a∩b=O ??α∥β, ??α∥β, ??α∥γ. a⊥β? γ∥β ? a∥β,b∥β ? ?

考点15 证明空间位置关系的方法

a⊥α? ??a⊥b. (4)线线垂直: b?α? a?α,b?α? α⊥β ? ? ? α∥β? ??a (5)线面垂直: a∩b=O ??l⊥α, α∩β=l ??a⊥β, a⊥α? ? ? l⊥a,l⊥b ? a?α,a⊥l? a∥b ? ??b⊥α. ⊥β, a⊥α? a?β? a∥β? ??α⊥β, ??α⊥β. (6)面面垂直: a⊥α? a⊥α?

考点15 证明空间位置关系的方法

利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其要注意灵 活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质,进行空间线面关系的相互 转化.

考点16 直线方程的5种形式

名称 点斜式

方程的形式 y-y0=k(x-x0)

常数的几何意义 (x0,y0)是直线上一定 点,k 是斜率 k 是斜率,b 是直线在 y 轴上的截距 (x1,y1),(x2,y2)是直 线上两定点

适用范围 不垂直于 x 轴

斜截式

y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴和 y 轴

两点式

考点16 直线方程的5种形式

a 是直线在 x 轴上的非 截距式 x y + =1 a b 零截距,b 是直线在 y 轴的非零截距 A,B 都不为零时,斜 Ax+By+C=0 一般式 (A,B 不同时为 零) A 率为- ,在 x 轴上的 B

不垂直于 x 轴和 y 轴,且不过原点

任何位置的直线 C 截距为- ,在 y 轴上 A C 的截距为- B

考点16 直线方程的5种形式

(1)应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率 为 k,但要注意直线垂直于 x 轴,即斜率 k 不存在的情况. (2)为了研究方便,经过定点 P(x0, y0)的直线也可以有如下设法:当直线 与 y 轴垂直时,可设为 y-y0=0;当直线与 y 轴不垂直时,可设为 x-x0 =m(y-y0),这样直线方程与曲线方程联立时消去 x 比较方便.

考点17 两条直线的位置关系

(1)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2 A1 B1 A1 B1 C1 A1 全不为 0),则 l1,l2 相交? ≠ ,l1∥l2? = ≠ ,l1,l2 重合? = A2 B2 A2 B2 C2 A2 B1 C1 = . B2 C2 当 A1,B1,A2,B2 中有 0 时,应单独讨论.
2 2 (2)直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2 1+B1≠0,且 A2+

B2 2≠0)垂直?A1A2+B1B2=0.

考点17 两条直线的位置关系

(1)讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为 0 的情况,当 两条直线中的一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为 0 时,它们也垂 直. (2)已知直线 l:Ax+By+C=0,则 与直线 l 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0(m≠C), 与直线 l 垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+n=0.

考点18 四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交

(1)定点直线系方程: 经过定点 P0(x0, y0)的直线系方程为 y-y0=k(x-x0)(除 直线 x=x0),其中 k 是待定系数;或者经过定点 P0(x0,y0)的直线系方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中 A,B 是待定系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2 =0 的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(除 l2), 其中 λ 是待定系数.

考点18 四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交

(3)平行直线系方程:直线 y=kx+b 中,当斜率 k 一定而 b 变动时,表示 平行直线系方程.与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+λ =0(λ≠C),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方 程是 Bx-Ay+λ=0,λ 是参变量. (5)直线系 F(x,y,λ)=0 与线段 AB 相交,其中 A(x1,y1),B(x2,y2)?F(x1,y1,λ)· F(x2,y2,λ)≤0.

考点19 圆的4种方程

(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
?x=a+rcos θ, (3)圆的参数方程:? ?y=b+rsin θ.

(4)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是 A(x1,y1),B(x2,y2)).

考点20 圆系方程

(1)同心圆系的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b 为常数,r 为参数)或 x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D,E 为常数,F 为参数,且 D2+E2-4F>0). (2)圆心在 x 轴上的圆系方程为(x-a)2+y2=r2(a,r 为参数)或 x2+y2+Dx +F=0(D,F 为参数,且 D2-4F>0). (3)圆心在 y 轴上的圆系方程为 x2+(y-b)2=r2(b,r 为参数)或 x2+y2+Ey +F=0(E,F 为参数,且 E2-4F>0).

考点20 圆系方程

(4)过原点的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 或 x2+y2+Dx+Ey=0. (5)过已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+ F2=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0(不含 C2)或 x2+y2+D2x+E2y+F2+λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)=0(不 含 C1),其中 λ 为参数.

考点21 椭圆的标准方程及几何性质

x2 y2 (1)标准方程:若焦点在 x 轴上,其方程为 2+ 2=1(a>b>0);若焦点在 y a b y2 x2 轴上,其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c (2)几何性质:①离心率 e= = a b2 1- 2∈(0,1); a

2b2 ②过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为 . a

考点21 椭圆的标准方程及几何性质

(1)满足 |PF1|+ |PF2|=2a 的点 P 的轨迹不一定是椭圆,当 2a>|F1F2|时,点 P 的轨迹是椭圆;当 2a= |F1F2|时,点 P 的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2| 时,点 P 的轨迹不存在. (2)经过已知两点的椭圆方程可以设为 Ax2+By2=1 的形式,其中 A>0, B>0,且 A≠B. (3)椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,且 c2=a2- b2.

考点21 椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度,e 的大小决定了椭圆的形状, b 反映了椭圆的圆扁程度.因为 a2=b2+c2,所以 = 1- e2,因此,当 e a b b 越趋近于 1 时, 越接近于 0,椭圆越扁;当 e 越趋近于 0 时, 越接近于 a a 1,椭圆越接近于圆. 当且仅当 a=b 时,c=0,两焦点重合,椭圆变为圆,方程为 x2+y2=a2. 所以 e 越大椭圆越扁,e 越小椭圆越圆.

考点22 椭圆焦点三角形的三个规律

规律 1

三角形的三个边长是|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,|F1F2|=2c,e

为椭圆的离心率.
规律 2 如果△PF1F2 中∠F1PF2=α,设 P(x0,y0),则这个三角形的面积

α S△PF1F2=c|y0|=b2tan . 2

规律 3

sin∠F1PF2 椭圆的离心率 e= . sin∠F1F2P+sin∠F2F1P

考点23 椭圆的切线方程

x2 y2 x0x y0y (1)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 2 + 2 =1. a b a b x2 y2 x0x y0y (2)过椭圆 2+ 2=1 外一点 P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是 2 + 2 a b a b =1. x2 y2 (3)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A2a2+B2b2 a b =C2.

考点24 双曲线的标准方程及几何性质

x2 y2 (1)标准方程:若焦点在 x 轴上,其方程为 2- 2=1(a>0,b>);若焦点在 a b y2 x2 y 轴上,其方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b c (2)几何性质:①离心率 e= = a b2 1+ 2∈(1,+∞); a

2b2 ②过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为 ; a x2 y2 b ③双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,焦点到渐近线的 a b a 距离等于 b.

考点24 双曲线的标准方程及几何性质

(1)离心率 e 的取值范围:e>1.当 e 越接近 1 时,双曲线开口越小;e 越接 近+∞时,双曲线开口越大. (2)满足 ||PF1|- |PF2||= 2a 的点 P 的轨迹不一定是双曲线, 当 2a=0 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2 的中垂线; 当 0<2a<|F1F2|时, 点 P 的轨迹是双曲线; 当 2a= |F1F2|时,点 P 的轨迹是两条射线;当 2a>|F1F2|时,点 P 的轨迹不 存在.

考点25 双曲线的切线方程

x2 y2 x0x y0y (1)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 2 - 2 = a b a b 1. x2 y2 x0x (2)过双曲线 2- 2=1 外一点 P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是 2 - a b a y0y =1. b2 x2 y2 (3)双曲线 2- 2=1 与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A2a2-B2b2=C2. a b

考点26 抛物线的标准方程及几何性质

?p ? ? (1)焦点在 x 轴正半轴上的抛物线方程为 y =2px(p>0), 其焦点为 F ,0?, ?2 ?
2

p 准线方程为 x=- ;焦点在 y 轴正半轴上的抛物线方程为 x2=2py(p>0), 2
? p? p 其焦点为 F?0, ?,准线方程为 y=- . 2? 2 ?

考点26 抛物线的标准方程及几何性质
(2)已知 CD 是抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F 的弦, 且点 C(x1, y1), D(x2, y2). p p ①焦半径|CF|=x1+ ,|DF|=x2+ ; 2 2 2p 1 ②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p= 2 (其中 α 为直线 CD 的倾斜角), sin α |CF| + 1 2 = (定值); |DF| p

p2 ③x1x2= ,y1y2=-p2; 4 ④以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线 的焦点弦为直径的圆,必与准线相切.

考点27 抛物线的切线方程

(1)抛物线 y2=2px 上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 y0y=p(x+x0). (2)过抛物线 y2=2px 外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y= p(x+x0). (3)抛物线 y2=2px(p>0)与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 pB2=2AC.

考点28 直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,当出 现一元二次方程时,务必要求“判别式 Δ≥0”,尤其在应用根与系数的 关系解决问题时,必须先有“判别式 Δ≥0”. (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), 弦长公式: |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 1+k2 |x2-x1|= 1 1+ 2|y1-y2|(k 为直线 l 的斜率). k

(3)如果有三个或三个以上的点在一条直线上,那么可选择以斜率为桥梁 进行转化.

考点29 圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线 F(x,y)=0 关于点 P(x0,y0)成中心对称的曲线是 F(2x0-x,2y0-y) =0. (2) 曲 线 F(x , y) = 0 关 于 直 线 Ax + By + C = 0 成 轴 对 称 的 曲 线 是
? 2A?Ax+By+C? 2B?Ax+By+C?? ? ? =0. F x- ,y- 2 2 2 2 A +B A +B ? ?

特别地,曲线 F(x,y)=0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F(-x,-y) =0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 x 轴对称的曲线是 F(x,-y)=0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 y 轴对称的曲线是 F(-x,y)=0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 y=x 轴对称的曲线是 F(y,x)=0; 曲线 F(x,y)=0 关于直线 y=-x 轴对称的曲线是 F(-y,-x)=0.

考点30 算法三种基本逻辑结构的对比分析

程序结构 由若干个依 次执行的步 骤组成

条件结构 算法的流程根据条件是 否成立会有不同的流 向,条件结构就是处理 这种过程的结构

循环结构 从算法某处开始,按照一定的 条件反复执行某些步骤,反复 执行的步骤称为循环体

定 义

考点30 算法三种基本逻辑结构的对比分析

程序结构

条件结构

循环结构

程序 框图

考点30 算法三种基本逻辑结构的对比分析

(1)循环结构不能是永无终止的 “死循环”,一定要在某个条件下终止循 环,这就需要用条件结构来作出判断,因此循环结构中一定要包含条件 结构. (2)一般地,循环结构中都有一个计数变量和累加变量;计数变量用于记 录循环次数,同时它的取值还用于判断循环是否终止;累加变量用于表 示每一步的计算结果.计数变量和累加变量一般同步执行,累加一次, 计数一次.

考点31 三种抽样方法的对比区分表

类别

共同点

各自特点 从总体中逐个抽取

联系

适用范围

简单随 ①抽样过程 机抽样 中每个个体 系统 抽样 被抽到的可

最基本的抽样 总体中的个 方法 体较少 总体中的个 体较多

将总体分成几部分, 在第一部分抽 样时采用简单 随机抽样

能性相等; ② 按预先确定的规则 每次抽出个 体后不再将 它放回, 即不 放回抽样 在各部分中抽取 将总体分成几层, 分 层按比例进行抽取

分层 抽样

各层抽样时采 总体由差异 用简单随机抽 明显的几部 样或系统抽样 分组成

考点31 三种抽样方法的对比区分表

使用三种抽样方法时的注意事项 (1)用随机数表法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当位数不等时, 以位数较多的为准,在位数较少的数前面添加“0”,凑齐位数. (2)用系统抽样法抽样时,如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除,则抽样 N 间隔为 k= ;如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除,先用简单随机抽 n
?N? 样剔除多余个体,抽样间隔 k=? ?. ?n ?

(3)用分层抽样法抽样时,各层抽样标准要一致,互不重叠;各层抽取的 n 比例都等于样本容量在总体中的比例,即 . N

考点32 独立性检验的基本方法

一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1, y2},其样本频数列联表如下: y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 a+b c+d

总计 a+c b+d a+b+c+d

考点32 独立性检验的基本方法

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,常用等高条形图展示列联表 数据的频率特征.可以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系, 并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是:根据观测数
2 n ? ad - bc ? 据,由公式 K2= 计算得到 K2 的观测值 k,并且 k ?a+b??a+c??b+d??c+d?

的值越大, 说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大, 可以利用数据来确 定“X 与 Y 有关系”的可信程度.

考点32 独立性检验的基本方法

(1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定,避免混乱. (2)若要求判断 X 与 Y 无关,先假设 X 与 Y 有关系. (3)K2 与 k 的关系并不是 k= K2,而是 k 是 K2 的观测值,或者说 K2 是一 个随机变量,它在 a,b,c,d 取不同的值时, K2 可能不同,而 k 是取定 一组数 a,b,c,d 后的一个确定的值.

考点33 互斥事件与对立事件

(1)互斥事件

若 A∩B 为不可能事件, 即 A∩B=?, 则称事件 A 与事件 B 互斥. 如右图.

考点33 互斥事件与对立事件

(1)事件 A 与事件 B 互斥是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不可能同时发 生,A 与 B 发生与否有三种可能:A 发生,B 不发生;A 不发生,B 发生; A 不发生,B 不发生,即 A 与 B 两个事件同时发生的概率为 0. (2)两个事件互斥的定义可以推广到 n 个事件中, 如果事件 A1, A2, A3, ?, An 中的任意两个事件互斥,就称事件 A1,A2,A3, ?,An 彼此互斥.

考点33 互斥事件与对立事件

(2)对立事件 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为 对立事件. 事件 A 的对立事件对应的集合,是全集中由事件 A 包含的结果组成的集 合的补集.

考点33 互斥事件与对立事件

(1)若事件 A,B 为对立事件,则在一次试验中,事件 A 与它的对立事件 只能发生其中一个,并且必然发生其中之一. (2)若两个事件对立,那么这两个事件一定是互斥事件.若两个事件是互 斥事件,但这两个事件不一定是对立事件.

考点34 几何概型与古典概型的差异

名称 相同点

古典概型

几何概型

基本事件发生的可能性相等 ①基本事件有有限个; ①基本事件有无限个;

不同点 ②P(A)=0?A 为不可能事件;②P(A)=0?A 为不可能事件; ③P(B)=1?B 为必然事件 ③P(B)=1?B 为必然事件

考点35 三角函数的诱导公式

公式一: sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z. 公式二: sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. 公式三: sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α. 公式四: sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.

考点35 三角函数的诱导公式

公式五:
?π ? ?π ? ? ? ? sin -α =cos α,cos -α?=sin α. ?2 ? ?2 ?

公式六:
?π ? ?π ? sin? +α?=cos α,cos? +α?=-sin α. ?2 ? ?2 ?

推算公式:
?3π ? ?3π ? sin? +α?=-cos α,cos? +α?=sin α, ?2 ? ?2 ? ?3π ? ?3π ? sin? -α?=-cos α,cos? -α?=-sin α. ?2 ? ?2 ?

考点35 三角函数的诱导公式

奇变偶不变,符号看象限 π “奇、偶”指的是 的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数名称的 2 变化, “变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦). “符号看象限”的含义是: π 把角 α 看作锐角, 看 n·± α 是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是 2 负号.

考点36

三角函数的图象变换

(1)y=sin x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位得到 y=sin(x+φ)的图象(当 φ<0 时,则向右平移|φ|个单位). 1 (2)y=sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 倍, ω 得到 y=sin ωx 的图象. (3)y=sin x 的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 A 倍, 得到 y=Asin x 的图象.

考点36

三角函数的图象变换

①由 y= sin ωx 的图象经过平移变换得到 y= sin(ωx+ φ)的图象, 平移的单
?φ? 位不是|φ|,而是? ?. ?ω ?

②函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化,所以可以借助三角函数 图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律,一般借助于两个 函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析.

考点37

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式). cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.

考点37

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)两角和的余弦和正弦公式是本章各类公式的基础,在这两个公式中, 两角和的余弦公式又是基础中的基础,因为两角和的正弦公式是由它与 诱导公式导出的. (2)公式 S(α±β), C(α±β)具有一般性,即 α, β 可为任意角,公式 T(α±β)也具有 π π π 一般性,但应明确:公式 T(α±β)在 α≠kπ+ , β≠kπ+ , α± β≠kπ+ ,k 2 2 2 ∈ Z 时成立,否则不成立.当 tan α,tan β 或 tan(α± β)不存在时,不能用 此公式,而只能改用诱导公式或其他方法.

考点38 半角公式、二倍角公式

(1)半角公式 α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 1-cos α . 2 1+cos α . 2 1-cos α 1-cos α sin α = = . sin α 1+cos α 1+cos α

考点38 半角公式、二倍角公式

α α 若给出角 α 的范围(即某一区间)时,可先求出 的范围,再根据 所在的范 2 2 围来确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两 个符号.

考点38 半角公式、二倍角公式

(2)二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α tan 2α= . 1-tan2α

考点38 半角公式、二倍角公式

①1+ sin 2α=(sin α+ cos α)2. ②1- sin 2α=(sin α- cos α)2. ③asin α+bcos α= a2+b2sin(α+ φ), 其中 sin φ= b a +b
2

, cos φ= 2

a a +b
2 2

(0≤φ<2π).

考点39 三角形面积公式表

1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C(A,B,C 是△ABC 2 2 2 的三边 a,b,c 所对的角) 三角 1 1 1 S = ah = bh = ch (h ,h ,h 分别为三角形边 a, 形的 △ABC 2 1 2 2 2 3 1 2 3 面积 b,c 上的高) 公式
? a+b+c? ? S△ABC= p?p-a??p-b??p-c??p= 2 ? ?

1 S△ABC= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径) 2

考点40 平面向量的坐标运算

(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ 是实数,则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a -b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). → =OB → -OA → =(x -x ,y -y ). (2)已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB 2 1 2 1 (3)平面向量共线的坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0. → ∥BC →. (4)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),要证三点共线,只需证明AB → =(x -x ,y -y ),BC → =(x -x ,y -y ),所以只需证明(x -x )(y 又AB 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 3 -y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0 即可. (5)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.

考点41 平面向量的数量积

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a|2=a2=a· a,a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉=x1x2 x1x2+y1y2 a· b +y1y2, cos 〈a, b〉= = 2 2 2 2, a 在 b 上的投影为|a|cos 〈a, |a||b| x 1+y1· x2+y2 a· b x1x2+y1y2 b〉= = . 2 2 |b| x 2+y2

考点41 平面向量的数量积

(1)〈a,b〉为锐角?a· b>0 且 a,b 不同向, 〈a,b〉为直角?a· b=0 且 a, b≠0, 〈a,b〉为钝角?a· b<0 且 a,b 不反向,a· b<0 是〈a,b〉为钝角 的必要不充分条件. (2)对于一个向量等式,可以移项、两边平方、两边同乘以一个实数、两 边同时取模、两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两 边不能同时约去一个向量;向量的乘法不满足结合律,即 a· (b· c)≠(a· b)· c.

考点42 数列的前n项和与通项的关系

数列的前 n 项和通常用 Sn 表示,记作 Sn=a1+a2+?+an,
?S1,n=1, 则通项 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2.

若当 n≥2 时求出的 an 也适合 n=1 时的情形,则用一个式子表示 an,否 则分段表示.

考点42 数列的前n项和与通项的关系

?S1,n=1, 很多数列试题是以 an=? 为出发点设计的, 求解时要考虑 S - S , n ≥ 2 ? n n- 1

两个方面:一是根据 Sn+1-Sn=an+ 1,利用数列和的关系求通项,二是根 据 an+1=Sn+ 1-Sn,把数列的通项转化为和的关系,先求 Sn,再求 an.

考点43 等差数列的判断方法

(1)定义法:an+1-an=d(d 为常数,n∈N*)?{an}是等差数列. (2)通项公式法:不是所有的数列都有通项公式,若有,也不一定唯一.an =a1+(n-1)d(其中 a,d 为常数,n∈N*)?{an}为等差数列. (3)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B 为常数,n∈N*)?{an}是等差数 列.

考点44 等比数列的判断方法

a n +1 an * (1)定义法: =q(q 为常数且 q≠0,n∈N )或 =q(q 为常数且 q≠0, an an-1 n≥2)?{an}为等比数列. (2)等比中项法:a2 an+2(an≠0,n∈N*)?{an}为等比数列. n+1=an· (3)通项公式法:an=a1qn-1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N*)?{an}为等比 数列.

考点44 等比数列的判断方法

判断一个数列是否是等比数列,还有一种直观的判断方法,即前 n 项和 公式法:若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,且 Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0, q≠1),则数列{an}是公比为 q 的等比数列.但此方法不能用于证明一个 数列是等比数列.

考点45 数列中项的最值的求法

(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数 f(n)=an,利用求解 函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解, 但要注意自变量的取值 必须是正整数的限制. (2)利用数列的单调性求解,利用不等式 an+1≥an(或 an+1≤an)求解出 n 的 取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值. (3)转化为关于 n 的不等式组求解: 若求数列{an}的最大项, 则可解不等式
?an≥an-1, ?an≤an-1, 组? 若求数列 {an}的最小项,则可解不等式组? 求 ?an≥an+1; ?an≤an+1,

出 n 的取值范围之后再确定取得最值的项.

考点46 分式不等式的解法

f?x? 分式不等式 >0(或<0)的求解可应用同解原理, 转化为整式不等式求解. g?x?
?g?x?≠0, f?x? f?x? >0(<0)?f(x)· g(x)>0(<0); ≥0(≤0)?? g?x? g?x? g?x?≥0?≤0?. ?f?x?·

考点46 分式不等式的解法

对于解分式不等式,将分式不等式转化成整式不等式时,如果不等式是 含有等号的不等式形式,则很容易忘掉分母不为 0 的情形,从而导致出 错;另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时,容易扩大或缩小 不等式的范围.

考点47 指数、对数不等式的解法

(1)解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质,因而同 底法是解指数、对数不等式的基本方法.当然最终的目的是将它们转化 为代数不等式,其主要类型和解法有: ①af(x)>aφ(x)?f(x)>φ(x)(a>1)或 f(x)<φ(x)(0<a<1); ②logaf(x)>logaφ(x)?f(x)>φ(x)>0(a>1)或 0<f(x)<φ(x)(0<a<1). (2)在解对数不等式时,要注意变形的等价性;也要注意底数大于零且不 等于 1,真数大于零的制约因素.

考点48 基本不等式的变形

(1)根式形式:a+b≥2 ab(a≥0,b≥0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
?a+b? 2 ? (a, (2)整式形式: ab≤? b∈R), a2+b2≥2ab(a, b∈R), (a+b)2≥4ab(a, ? 2 ? ?a+b? 2 a2+b2 ? ≤ b∈R),? (a,b∈R),以上不等式当且仅当 a=b 时,等号 2 2 ? ?

成立. b a (3)分式形式: + ≥2(ab>0),当且仅当 a=b 时,等号成立. a b 1 1 (4)倒数形式: a+ ≥2(a>0), 当且仅当 a=1 时, 等号成立; a+ ≤-2(a<0), a a 当且仅当 a=-1 时,等号成立.

考点49 利用基本不等式求最值

(1)对于正数 x, y, 若积 xy 是定值 p, 则当 x=y 时, 和 x+y 有最小值 2 p. 1 (2)对于正数 x,y,若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值 s2. 4 (3)已知 a,b,x,y∈R+,若 ax+by=1,则有 1 1 ?1 1? by ax ? ? + =(ax+by) + =a+b+ + ≥a+b+2 ab=( a+ b)2. x y x y ? x y? a b (4)已知 a,b,x,y∈R+,若 + =1,则有 x y
?a b? ay bx x+y=(x+y)? + ?=a+b+ + ≥a+b+2 ab =( a+ b)2. x y ? x y?

考点49 利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最大值、最小值时应注意 “一正、二定、三相等 ”, 即:①所求式中的相关项必须是正数;②求积 xy 的最大值时,要看和 x +y 是否为定值,求和 x+y 的最小值时,要看积 xy 是否为定值,求解时, 常用到 “拆项”“凑项 ”等解题技巧;③当且仅当各项相等时,才能取 等号.以上三点应特别注意,缺一不可.

考点50 线性目标函数的最值问题

(1)解线性目标函数 z=ax+by 在约束条件下的最值问题, 就是在满足约束 条件的可行解(x, y)组成的可行域内, 利用线性平移的方法找到点(x0, y0), 使目标函数取得最值. (2)已知目标函数的最值求参数的关键,是确定在可行域哪个点处目标函 数取得最值,建立等式即可求出参数的值.需要注意的是,如果目标函 数存在一个最优解,则最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函 数存在多个最优解,则最优解一般在可行域的边界上.

考点50 线性目标函数的最值问题

线性目标函数的最优整数解 线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得,此时 不能直接代入顶点坐标求最值,可用下面的方法求解: (1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移目标函数所表示 的直线,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优整数解. (2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入 目标函数求值,经过比较得出最优解. (3)调整优值法:先求非整数点最优解及最优值,再借助不定方程知识调 整最优值,最后筛选出最优解.

考点51 复数的四则运算法则

(1)(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i. (2)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. ac+bd bc-ad (3)(a+bi)÷ (c+di)= 2 2 + 2 2 i(a,b,c,d∈R,c+di≠0). c +d c +d

考点51 复数的四则运算法则

几个结论:(1)(1± i)2= ± 2i. 1+ i 1- i (2) = i, =- i. 1- i 1+ i (3)i4n=1, i4n+1= i, i4n+ 2=-1, i4n+ 3=- i, i4n+ i4n+ 1+ i4n+ 2+ i4n+3=0. 1 3 (4)ω=- ± i,且 ω0=1,ω2= ω ,ω3=1,1+ ω+ω2=0. 2 2 (5)涉及复数问题的最值,一般要考虑复数的几何意义,借助数形结合的 y 方法求解,明确 的几何意义是点(x, y)与原点连线的斜率. x

考点52 共轭复数的性质

设 z=a+bi, z =a-bi(a,b∈R),z1,z2,?,zn∈C,则 (1)( z )=z;(2)z= z ?z 为实数;(3) z =-z 且 z≠0?z 为纯虚数;(4)z= 1 z

? z1 ? z1 ?|z|=1;(5) z1± z2 = z1 ±z2 ;(6) z1· z2 = z1 · z2 ;(7)? ?= (z2≠0);(8) zn ? z2 ? z2

=( z )n(n∈N*).

考点53 复数模的运算性质

设 z1,z2∈C,有 (1)||z1|-|z2||≤|z1± z2|≤|z1|+|z2|; (2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; (3)|z1· z2|
?z1? |z1| =|z1|· |z2|;(4)? ?= (z2≠0);(5)|zn|=|z|n(n∈N*);(6)|z|2=| z |2=z· z. ?z2? |z2|

考点54 绝对值不等式的解法

(1)|x|<a(a>0)?-a<x<a,|x|>a(a>0)?x>a 或 x<-a. (2)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≤-c 或 ax+b≥c. (3)|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法有三种: 一是根据 绝对值的意义结合数轴直观求解;二是用零点分段法去绝对值,转化为 三个不等式求解;三是构造函数,利用函数的图象求解.

考点55 证明不等式的基本方法

(1)比较法:作差比较法、作商比较法. (2)综合法:由因导果法. (3)分析法:执果索因法. (4)反证法:假设命题不成立推出矛盾. (5)放缩法:通过把不等式中的某部分的值放大或缩小,简化不等式.