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江西省赣州市十三县(市)2015-2016学年高二数学上学期期中联考试题 文


2015-2016 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考 高二年级数学(文科)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、直线 ?m ? 1?x ? 2my ? 1 ? 0 的倾斜角是 45 ? ,则 m 的值是( ) A.-1 B. 0 C.1 D.2 ?? ? 3 2. 若 cos ? ? ? ? ? ,那么 sin?? ? ? ? =( ) ?2 ? 5

3 4 B. 3 C. ? 4 D. ? 5 5 5 5 3.若 a ? b ,则下列不等式成立的是( ) A. ln a ? ln b B. 0.3a ? 0.3b C. a ? b D. 3 a ? 3 b 4.若直线 l 1 : ax + (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a
A. 的值为( A. ? 3 ) B. ?

1 2

C. 0 或 ?

3 2

D.1 或 ? 3 ) )

5. 等比数列 {an } 的公比为 q ,若 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列.且 a1 ? 1 ,则 q ? (

? 6、已知向量 a ? (1, x),
A. 1 B. 0

A. ?1

B.1 C.2 D.3 ? ? ? ? ? b ? ( x,1) ,若 a ? b ? ? | a || b | ,则 x 的值是( C. 2 D. ?1 )

? y ? 1, ? 7. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A.4 B. 3 C.2 D. 1

8. 过 M ( ,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,当 ?ACB 面积最大时, 直线的方程为( ) B. 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 C. x ? 4 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 0

1 2

A. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0

9、如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B) ,直线 PA 垂直 于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②OC⊥平面 PAC; ③MO∥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是( ). A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 10. 公元前 3 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出: “球的体积( V ) 与它的直径( D )的立方成正比” ,此即 V ? kD3 ,欧几里得未给出 k 的 值. 17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式 V ? kD3 中的常 数 k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱) 、正 3 方体也可利用公式 V ? kD 求体积(在等边圆柱中, D 表示底面圆的直径;在正方体中, 、等边圆柱(底面圆的直径为 a ) 、 D 表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为 a )
-1-

正方体(棱长为 a )的“玉积率”分别为 k1 、 k2 、 k 3 ,那么 k1 : k2 : k3 ( A.



1 1 1 : : 4 6 ?

B.

? ?
:

6 4

:2

C. 2 : 3 : 2?

D.

? ?

11 、已知 O 为 ?ABC 内一点,满足 OA ? OB ? OC ? 0 , AB ? AC ? 2 , 且 ?BAC ?

??? ? ??? ? ????

? ??? ? ????

: :1 6 4

?
3

,则

?OBC 的面积为(
A.

) B.

1 2

3 3

C.

3 2

D.

2 3

12.已知点 A( ,

1 3 ) 是圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上的点,过点 A 且与圆 C 相交的直线 AM、AN 的倾 2 2
) C. B. 3

斜角互补,则直线 MN 的斜率为( A.

3 3

2 3 3

D.不为定值

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷的横线上. 13.不等式

3x ? 4 ? 0 的解集为 x ?1

14、已知点 P(3,?4) 在角 ? 的终边上,则 2 cos(? ?

?
4

)?



15. 已知圆 C 过点(0,1),且圆心在 x 轴负半轴上,直线 l:y=x+1 被该圆所截得的弦长为

2 2 ,则圆 C 的标准方程为________.
16.棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 2 x

1 1 ? 的最小值为 x y



主视图 y 1 俯视图

左视图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题 10 分) 已知等差数列{ an }, Sn 为其前 n 项的和, a2 =0, a5 =6,n∈N .
*

(I)求数列{ an }的通项公式; (II)若 bn ? 3 n ,求数列{ bn }的前 n 项的和.
a

-2-

18. 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , a , b, c 分 别 是 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且

3a ? 2c sin A .
(1)确定角 C 的大小; (2)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量
f ?x ? ? a ? a ? b ?

a ? ?sin x, cos x?, b ? ?cos x, cos x?, x ? R, 函 数

3 。 2 (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期和最大值. (2)求函数 f ?x ? 的单调递增区间.

?

?

20、 (本小题满分 12 分) 如图所示,ABCD 是正方形,PA ? 平面ABCD ,E、F 是 AC、PC 的中点 . (1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0(a ? R)
2

-3-

(1)若不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x b ? x ? 1 },求 a,b 的值.
2

(2)求关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 2 ? ?ax ? 1 (其中x ? ?1) 的解集
2

22、(本小题满分 12 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 与 y 轴相切. (1)求 m 的值; (2)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求该切线方程; (3)从圆外一点 p ( x, y ) 向圆引切线,M 为切点,O 为坐标原点, 且有 PM ? PO , 求使 PM 最小的点 P 的坐标.

-4-

2015-2016 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考 高二年级数学(文科)答案 一.选择题:1——6:C,B,D,D, C,D 7——12:B,A,C,D,B,A

二.填空题:13. 三.解答题:

14.

15. (x+1) +y =2

2

2

16.

17、解: (Ⅰ)依题意

??????2 分

解得

????3 分 ?????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知



?????6 分

,所以数列

是首项为

,公比为 9 的等比数列,?????7 分

.

所以数列

的前 项的和

.??????10 分

18、解: (1) 由 (2) 是锐角三角形,

,由正弦定理 ..............6 分 ,.......7 分 ,将 代入得到 , , ????9 分 ........12 分

19. (1)

-5-

?????3 分

=

????4 分

的最大值为 最小正周期是 (2)易知 函数

,?????5 分

.????6 分 ??8 分 ??11 分

的单调递增区间为

?????12 分

20. 【解析】 (1)连接 又∵ 又∵ ∵ 又∵ (2)∵ ∵ , 故 分别是

, ∵ 的中点∴

是正方形, 是 ∥ ,??3 分 ∴ ????6 分

的中点,∴

?1 分

, ∴ ∴ ,∴是 是正方形, 是 ,故 ,

????5 分 的高,

三棱锥

???8 分

的中点,∴

是等腰直角三角形 ????10 分 ????12 分



21、 【解析】 (1)将

代入



????1 分

不等式为



不等式解集为

?????5 分 (2)不等式为 当 时,原不等式解集为 ,即 ?????7 分 ?????6 分



时,方程

的根为


-6-

①当

时,



?????8 分

②当

时,



?????9 分

③当

时,



?????10 分

④当

时,



?????11 分

综上所述,原不等式解集为①当 ②当 时,

时,

③当

时,

?????12 分

22、解: (1)易知圆 C 的圆心为(-1,2),又圆 C 与 y 轴相切,



.????2 分

(2)设圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为:a,b. 当 时,切线方程可以假设为 ,即 ,由点到直线的距离公式得:

。 。 。 。 。 。 。3 分

解得

,所以切线方程为:

,?????4 分



时,切线方程为

,即

,由点到直线的距离公式得:

解得 所以切线的方程为

????5 分 ,或 ?????6 分

-7-

综上,所求的切线方程为 (3)连接 MC,则 又 ,所以 整理得 所以,

, ??????8 分 ??????9 分



??7 分

. ?????10 分 ?????11 分



时,

最小,此时



所以 P 点的坐标为

.???12 分.

-8-


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