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高中数学人教A版·必修5(有详解答案):课时作业13:等比数列的性质


课时作业 13
时间:45 分钟

等比数列的性质
分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比 q=( 1 A.-2 C.2 解析:∵a5=a2q3, 1 1 ∴4=2· q3,∴q=2.故选 D. 答案:D 2.等比数列{an}是递增数列, 若 a5- a1=60,a4-a2=24, 则公比 q 为( 1 A.2 1 C.2或-2 B.2 1 D.2 或2 ) B.-2 1 D.2 )

4 ? ?a1q -a1=60 ① 解析:由已知得? 3 , ? ?a1q -a1q=24 ②

① a1?q4-1? 5 q2+1 5 得 = ,即 q =2, ② a1q?q2-1? 2 1 解得 q=2或 2, 当 q=2 时代入①得 a1=4,{an}是递增数列; 1 当 q=2时,得 a1=-64,{an}也是递增数列.

答案:D 3.将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2, a2a3,a3a4,….此数列是( A.公比为 q 的等比数列 B.公比为 q2 的等比数列 C.公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列 解析:设新数列为{bn},{bn}的通项公式为 bn=anan+1. an+1an+2 an+2 所以 = a =q2,数列{bn}是公比为 q2 的等比数列. anan+1 n 答案:B 4.已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7, 则 b5+b9 等于( A.2 C.8 ) B.4 D.16 )

解析:等比数列{an}中,a 3a11=a2 7=4a7,解 得 a7=4,等差数列{bn}中,b5 +b9=2b7=8. 答案:C 5.若一个项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q=0 的两个根,则此数列各项的积是( A.pm C.qm ) B.p2m D.q2m

解析:∵am,am+ 1 是方程 x2+px+q=0 的两个根,∴amam+1=q,∵数列{an} 为等比数列,∴a1· a2· a3· …· a2m=(am· am+1)m=qm. 答案:C 6.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an=( )

A.(-2)n-1 C.(-2)n

B.-(-2)n-1 D.-(-2)n

解析:由 a5=-8a2,a5>a2 知 a1>0,根据 a5=-8a2 有 a1q4=-8a1q 得 q=- 2.所以 an=(-2)n-1. 答案:A 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=________. a10 384 解析:∵ a =q7= 3 =27,∴q=2.
3

∴an=a3· qn-3=3· 2n-3. 答案:3· 2n-3 a1+a2 8.已知 1,a1 ,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 b 的 2 值为________. 解析:方法 1:∵a1+a2=1+4=5, b2 2=1×4=4,且 b2 与 1,4 同号, a1+a2 5 ∴b2=2,∴ b =2=2.5.
2

方法 2:设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, ∵1+3d=4,∴d=1, ∴a 1=2,a2=3. ∵q4=4.∴q2=2,∴b2=q2=2. a1+a2 2+3 ∴ b = 2 =2.5. 2 答案:2.5 9.设数列{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a4,a5 是方程 4x2-8x+3=0 的两 根,则 a6+a7=________.

1 3 解析:解方程 4x2- 8x+3=0 得 x1=2,x2=2, 1 3 ∵q>1,∴a4=2,a5=2. 3 1 3 ∴2=2q,∴q=3,∴a6+a7=a5q+a5q2=2×(3+32)=18. 答案:18 三、解答题(共计 40 分) 1 10.(10 分)在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an=2,求 n 的值. 解:设等比数列{an}的公比为 q. 因为 a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q , 所以 q= a4+a7 18 1 = = . a3+a6 36 2

因为 a4+a7=18,所以 a4(1+q3)=18. 1 所以 a4=16.所以 an=a4qn-4=16×(2)n-4. 1 1 令 16 ×(2)n-4=2, 1 1 1 所以(2)n-4=32=(2)5. 所以 n-4=5,n=9. 11.(15 分)已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=2an,n∈N*. (1)判断{an}是什么数列,并证明; 1 (2)若 a8+a13=2,求 b1b2· …· b20. 解:(1){an}是 等差数列.证明如下: ∵bn=2an,∴log2bn=an.

∴an-1=log2bn-1(n≥2). bn ∴an-an-1=log2 . bn-1 ∵{bn}为等比数列, ∴ bn bn 为常数,log2 也是常数. bn-1 bn-1

∴数列{an}为等差数列. (2)∵bn=2an, ∴b1b2b3· …· b20=2a1+a2 +a3+…+a20. 1 由(1)知{an}为等差数列,且 a8+a13=2, ∴a1+a2+a3+…+a20=10(a8+a13)=5. ∴b1b2b3· …· b2 0=25=32. 2 20 12.(15 分)在等比数列{an}中,a4=3,a3+a5= 9 . (1)求数列{an}的通项公式; an (2)若数列{an}的公比大于 1,且 bn=log3 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. a4 20 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0, q +a4q = 9 , 2 1 10 1 ∵a4=3,∴q+q= 3 ,解得 q=3或 q=3. 1 当 q=3时,a1=18, 1 ∴an=18×(3)n-1 =2×33-n; 2 当 q=3 时,a1=81, 2 ∴an=81×3n-1=2×3n-5.

(2)由(1)及数列{an}的公比大于 1,得 q=3,an=2×3n-5, an bn=log3 2 =log33n-5=n-5. bn-bn-1=1(常数),b1=-4. ∴数列{bn}是首项为-4,公差为 1 的等差数列, n?b1+bn? 1 2 9 ∴Sn= =2n -2n. 2


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