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习题课-不定积分的计算方法


习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分

一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法

通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法

(代换: x ? ? (t ))

(注意常见的换元积分类型)

3. 分部积分法

? u v? dx ? u v ? ? u?v dx
使用原则: 1) 由 v ? 易求出 v ;

2)

? u? v dx 比

好求 .

一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v? . 计算格式: 列表计算

二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法

指数函数有理式
指数代换

有理函数
分解

万能代换 根式代换

三角函数有理式
三角代换

多项式及 部分分式之和

简单无理函数

2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合

使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,

定都能积出.
例如 ,

?

1 ? k sin x dx (0 ? k ? 1) ,
2 2

例1. 求

2 x3x (2)x 解: 原式 ? ? 2 x dx ? ? 3 2 2 x dx 2x 3 ?2 1 ? (3)
d (2)x 1 3 ? 2? 2 2x ln 3 1 ? ( 3 )

da ? a ln a d x
x x

arctan( 2 ) x 3 ? ?C ln 2 ? ln 3

例2. 求
解: 原式 ? ? [ ln( x ? 1 ? x ) ? 5 ] d [ ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 5 ]
2
1 2

3 2 2 ? ? ln( x ? 1 ? x ) ? 5? 2 ? C 3

分析:

d [ ln( x ? 1 ? x ) ? 5 ] ?
2

(1 ? 2

2x 1? x 2

) dx
2

x ? 1? x

dx ? 1 ? x2

例3. 求

解:

x x x ? 2 sin cos 2 2 dx 原式 ? ? 2 x 2 cos 2 x x ? ? x d tan ? ? tan d x 2 2

x ? x tan ? C 2

分部积分

例4. 设 解:

求积分

令 x ? y ? t ,即 y ? x ? t 2 2 t3 t ( t ? 3) t x ? 2 , y ? 2 , 而 dx ? 2 2 dt t ?1 ( t ? 1) t ?1

t 2 ( t 2 ? 3) ? 原式 ? ? 3 ? 2 2 dt 3 t ( t ? 1) t ? 2 2 t ?1 t ?1

1

? ln ( x ? y ) ? 1 ? C
1 2 2

例5. 求 解: 原式 ? ? ? arctane xde ? x

ex ? ? e arctan e ? ? e ? x 2 x dx 1? e
?x x

? ? e ? x arctan e x ? ?
?x x

(1 ? e ) ? e dx 2x 1? e
2x 2x

? ? e arctan e ? x ? 1 ln (1 ? e 2 x ) ? C 2

例6. 设

证明递推公式:

1 n?2 n? 2 In ? sec x ? tan x ? I n? 2 n ?1 n ?1
证: I n ? ? sec
n? 2

( n ? 2)

x ? sec x d x
2
n?3

? sec n? 2 x ?
? ( n ? 2)? sec x ? sec x tan x

? sec

n?2

x ? tan x ? ( n ? 2)? secn? 2 x ? (sec2 x ? 1) dx

? sec n?2 x ? tan x ? ( n ? 2) I n ? ( n ? 2) I n? 2

例9. 求

?1? e
x 6

dx
x 2

?e ?e

x 3

x 6

.

解: 令 t ? e , 则 x ? 6 ln t , dx ? 6 dt t dt dt 原式 ? 6 ? ? 6? 3 2 (1 ? t ? t ? t ) t ( t ? 1)( t 2 ? 1) t

? ? ?? ?

? ? dt ? 3 ? 6 ln t ? 3 ln t ? 1 ? ln( t 2 ? 1)? 3arctan t ? C 2

例10 求不定积分 解: 原式

1 ( 2? u )( u2 ?1)

?

A 2? u

? uB 1 ? uC 1 ? ?

例11. 求
解: I ? ?

( n 为自然数)

dx ( x ? a ) ( x ? b) n

x ?a x ?b




nt

n?1

a?b dt ? 2 dx ( x ? b)

n 1 n dt ? ? t2 ? b ? a t ? C a?b

1.计算下列积分

1)? .

1 ? ln x dx x ln x
t 2 ?1

令 1 ? ln x ? t ,
t 2 ?1

x?e

, dx ? 2te
t 2 ?1

dt

t2 1 I ? ? t 2 ?1 2 ? 2? 2 dt ? 2? [1 ? 2 ]dt t ?1 e ( t ? 1) t ?1
dt

t ? 2te

1 ? ln x ? 1 ? 2 1 ? ln x ? ln ?C 1 ? ln x ? 1

dx 2)? 6 2 . x ( x ? a2 ) dx 1 x 2 ? a 2 ? x 2 ? 1 dx ? 1 I ? 2? 6 2 2 dx a2 ? x6 a2 ? x4 ( x2 ? a2 ) a x (x ? a ) 2 2 2 1 1 x ?a ? x ?? 2 5? 2? 4 2 2 dx 5a x a x ( x ? a ) ?? 1 1 1 1 x ? ? 2 5 ? 4 3 ? 6 ? 7 arctan ? C a 5a x 3a x a x a

x ?1 3)? . x dx x(1 ? xe )
e ( x ? 1) d ( xe ) I?? x x dx ? ? xe (1 ? xe ) xe x (1 ? xe x )
x x

令 xe ? t,则
x

dt I?? ? ln | t | ? ln | t ? 1 | ? C t ( t ? 1)

? ln( xe x ) ? ln(1 ? xe x ) ? C

1 4)? 4 . 4 dx sin x ? cos x

2 sec2 2 xdx I?? ?? 1 2 2 sec2 2 x ? tan 2 2 x 1 ? sin 2 x 2 d tan 2 x 1 tan 2 x ?? ? arctan ?C 2 2 2 tan 2 x ? 2
dx

dx 5)? . ( x ? 1)2 ( x ? 1)3 1 A B C D E ? ? 2 3 ? 2 ? 2 ? x ? 1 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)3 ( x ? 1) ( x ? 1)
3 1 3 A?? , B? , C ? , 16 8 16
1 D? , 4 1 E? . 4

dx 6)? 2 . a cos 2 x ? b 2 sin2 x

1 I ? 2? a

b dx 1 a d ( a tan x ) ? 2? b b b2 a 1 ? ( a tan x )2 cos 2 x(1 ? 2 tan 2 x ) a 1 b ? arctan( tan x ) ? C ab a

2. 求 ? [ln f ( x ) ? ln f ?( x )][ f ? 2 ( x ) ? f ( x ) f ??( x )]dx

解: I ? ? [ln f ( x ) ? f ?( x )]d ( f ( x ) f ?( x ))

? f ( x ) f ?( x ) ln( f ( x ) f ?( x )) f ( x ) f ?( x ) ?? d ( f ( x ) f ?( x )) f ( x ) f ?( x ) ? f ( x ) f ?( x )[ln( f ( x ) f ?( x )) ? 1] ? C

sin x 3. 设 f ( x ) 的原函数为 ,求 ? xf ?( x )dx; x

解: ? x?f ( x )dx ? xf ( x ) ? ? f ( x )dx sin x ? xf ( x ) ? ?C x ? sin x ? sin x ? 而 ? f ( x )dx ? ? C ? f ( x) ? ? ? x ? x ? x cos x ? sin x ? x2 x cos x ? sin x sin x ?I ? ? ?C x x

4. 设 f ?(sin2 x ) ? cos 2 x ? tan 2 x,求 f ( x ); f ( x ) ? ? x ? ln | x ? 1 | ?C
2

5. 设 f ?(cos x ? 2) ? sin2 x ? tan 2 x,求 f ( x );
1 1 f ( x) ? ? ? ( x ? 2) 2 ? C x ?1 3

6. 设 f ( x ) 是单调连续函数, f ?1 ( x ) 是它的反函数, 且 ? f ( x )dx ? F ( x ) ? C , 求 ? f ( x )dx;
?1

x ? f ( f ?1( x )) ? F ?( f ?1( x )) 解:

?

f ?1 ( x )dx ? xf ?1 ( x ) ? ? xdf ?1 ( x ) ? xf ?1 ( x ) ? ? f ( f ?1 ( x ))df ?1 ( x )

? xf ?1( x ) ? F ( f ?1( x )) ? C

或令 f ?1( x ) ? y, x ? f ( y )

?

f ?1 ( x )dx ? ? ydf ( y ) ? yf ( y ) ? ? f ( y )dy
? yf ( y ) ? F ( y ) ? C

? f ?1( x ) x ? F ( f ?1( x )) ? C

7. 设函数 y ? f ( x ) 是由方程 ( x ? y ) y ? x 所确定的隐 dx 函数,求 ? 2 ; y
2 2

解: 设 y ? tx, 代入方程 y ( x ? y ) ? x ,
2 2

t x ( x ? tx ) ? x ? t (1 ? t ) x ? 1 1 1 3t ? 2 x? 2 , y? . dx ? 3 2 dt t (1 ? t ) t (1 ? t ) t (1 ? t ) 2 dx 2 2 3t ? 2 ? y 2 ? ? t (1 ? t ) t 3 (1 ? t )2 dt ? ? (3 ? t )dt 3y y ? 2 ln ? C ? 3t ? 2 ln | t | ? C ? x x
2 2 2 2

8. 计算积分 1) ? x arctan x ln(1 ? x 2 )dx;

令 f ?( x ) ? x ln(1 ? x 2 ), 则 解: 1 2 1 x2 ? 2 x 2 ? x ln(1 ? x 2 ) ? ? f ( x ) ? ? x ln(1 ? x )dx 2 dx 2 2 1? x 1 2 1 x2 ? 1 ? 1 2 ? x ln(1 ? x 2 ) ? ? dx 2 2 2 x ?1 1 2 1 2 1 d ( x 2 ? 1) ? x ln(1 ? x 2 ) ? x ? ? 2 2 2 2 x ?1 1 2 1 2 1 2 ? x ln(1 ? x ) ? x ? ln(1 ? x 2 ) ? C 2 2 2 1 1 2 2 2 ? (1 ? x ) ln(1 ? x ) ? x ? C 2 2

f ( x) I ? ? arctan xdf ( x ) ? f ( x ) arctan x ? ? 2 dx 1? x

(1 ? x 2 ) ln(1 ? x 2 ) ? 1 x 2 2 ? f ( x ) arctan x ? ? dx 2 1? x 1 1 x2 2 ? f ( x ) arctan x ? ? ln(1 ? x )dx ? ? 2 dx 2 2 1? x 2 2 1 1 2x 1 x 2 ? f ( x ) arctan x ? x ln(1 ? x ) ? ? 2 dx ? ? 2 dx 2 2 1? x 2 1? x 1 3 x2 ? f ( x ) arctan x ? x ln(1 ? x 2 ) ? ? 2 dx 2 2 1? x 2 1 3 x ?1?1 2 ? f ( x ) arctan x ? x ln(1 ? x ) ? ? 2 dx 2 2 1? x
1 2

1 3 3 2 ? f ( x ) arctan x ? x ln(1 ? x ) ? x ? arctan x ? C 2 2 2

带入 f ( x ),得 1 1 2 1 2 2 ? [ (1 ? x ) ln(1 ? x ) ? x ]arctan x ? x ln(1 ? x 2 ) 2 2 2 3 3 ? x ? arctan x ? C 2 2 1 1 2 2 2 ? (1 ? x ) ln(1 ? x ) arctan x ? x arctan x 2 2 1 3 3 2 ? x ln(1 ? x ) ? x ? arctan x ? C 2 2 2

f ( x ) f 2 ( x ) f ??( x ) 2) ? [ ? ]dx; 3 f ?( x ) f ? ( x)
解:

I??

f ( x ) f ? 2 ( x ) ? f ( x ) f ??( x ) dx 2 f ?( x ) f ? ( x)

??

f ( x) f ( x) ?( )?dx f ?( x ) f ?( x )

1 f ( x) 2 ? [ ] ?C 2 f ?( x )


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