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安徽大学2015-2016第一学期B三 概率论试卷

安徽大学 2015—2016 学年第一学期
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《高等数学 B(三) 》 (概率论与数理统计)考试试卷(A 卷)
(闭卷 时间 120 分钟) 考场登记表序号
题 号 得 分 阅卷人 一 二 三 四 五 总分

学号

一、 填空题(每小题 3 分,共 15 分)

得分

姓名

线



1. A ,B 为随机事件, 已知 P ( A) ? 0.6 ,P ( B ) ? 0.5 ,P ( AB ) ? 0.4 , 则 P ( A | B ) ? __________ . 2. 设离散型随机变量 X 的分布律为 P ( X ? k ) ? b? k (k ? 1, 2, ?) 且 b ? 0 , 则 ? ? ___________ . 3. 设 X , Y 为随机变量, X 服从正态分布 N (1, 4) , Y 服从 (0, 6) 上服从均匀分布, 则 E (4 X ? Y ) ? ________ . 4. 设 X 在 [0,5] 上服从均匀分布,则方程 4 y 2 ? 4 yX ? X ? 2 ? 0 有实根的概率 ________ . 5. 已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布 N ( ? ,1) ,从中随机抽取 16 个零件, 得到长度的平均值为 40(cm) ,则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是 _________ . (标准正态分布函数值 ? (1.96) ? 0.975 , ? (1.645) ? 0.95 ) 二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 设随机事件 A , B 满足 P ( A) ? 0 , P ( B ) ? 0 , P ( AB ) ? 0 ,则必有( (A) A 与 B 互斥 (B) A 与 B 对立

专业 年级











得分 ).

院/系

(C) A 与 B 独立 (D) P ( A | B ) ? 0

7. 设随机变量 X 服从 (0, 2) 上均匀分布,则随机变量 Y ? X 2 在 (0, 4) 内概率密度 为( ). (B)
1 y

(A) y

(C)

1 2 y

(D)

1 4 y

8. 设总体 X 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) , ( X 1 , X 2 ) 是总体 X 的样本,那么下列四个 ?
第 1 页 共 6 页

的无偏估计中,最有效的是( (A)
1 1 X1 ? X 2 2 2

). (C)
3 7 1 9 X 1 ? X 2 (D) X 1 ? X 2 10 10 10 10

1 2 (B) X 1 ? X 2 3 3

9. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 ?2 和 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 ?0.5 ,则根据切比雪夫不等式估计概率 P (| X ? Y |? 6) 取值范围正确的是( ). (A) ?
1 12

(B) ?

1 12

(C) ? ).

11 12

(D) ?

11 12

10. X 与 Y 均服从 N (0,1) 分布,则( (A) X ? Y 服从正态分布 (C) X 2 和 Y 2 均服从 ? 2 分布

(B) X 2 ? Y 2 服从 ? 2 分布 (D) X 2 / Y 2 服从 F 分布 得分

三、分析计算题(每小题 12 分,共 60 分)

11. 设 10 件产品中有两件次品,现依次从中不放回地任取两次,每次取一件. (1)求第二件产品是次品的概率; (2)若已知第二件产品是次品,求第一件产品也是次品的概率.

第 2 页

共 6 页

12. 已知随机变量 X 的概率密度函数为
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x ? 100 . (1)求 A 值; (2)求 P ( X ? 1000) ; (3)求分布函数 F ( x ) ; (4)对随机变量 X 做 5 次重复独立观测,记 Y 为事件 ( X ? 1000) 出现的次数,求 Y 分布律.

?A ? f ( x) ? ? x 2 ? ? 0,

x ? 100,

姓名 专业

学号
答 题 勿 超 装 订 线

13. 设随机变量 X 与 Y 的分布律分别为:
X P

年级

0
1 3

1
2 3

Y P

?1 1 3

0
1 3

1
1 3

且 P ( X 2 ? Y 2 ) ? 1 ,求: (1) ( X , Y ) 的联合分布律; (2) Z ? XY 的分布律; (3) Cov ( X , Y ) .

院/系

第 3 页

共 6 页

14. 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从区域 D ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} 上的均匀分布 .试判断 X , Y 的 独立性和相关性,并给出理由.

第 4 页

共 6 页

院/系
答 题 勿 超 装 订 线

年级

专业

姓名

学号

------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

15. 设总体 X 的概率密度函数为:

(1)求 ? 的矩估计量; (2)求 ? 的极大似然估计量.

?(? ? 1) x? , 0 ? x < 1, f ( x, ? ) ? ? 0, 其他. ? 其中 ? 为未知参数, X 1 , X 2 , ? , X n 为来自该总体容量为 n 的简单随机样本.

第 5 页

共 6 页

得分 四、应用题(每小题 5 分,共 5 分) 16. 在区间 (0,1) 中可重复地任取 100 个实数 X i (i ? 1, 2, ?,100) 作为随机数字,试用
? 100 ? 中心极限定理近似计算 P ? ? X i ? 45 ? . (附 ? ( 3) ? 0.9582 ) ? i ?1 ?

五、证明题(每小题 5 分,共 5 分)

得分

17. 设随机事件 A, B 有 0 ? P( A) ? 1 ,证明 A, B 相互独立 ? P ( B A) ? P ( B A) .

第 6 页

共 6 页


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