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2013届高三数学(文)一轮复习:2.3 函数的奇偶性与周期性(广东专用版)


函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等 于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

2.(2011· 安徽高考)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2 -x, 则 f(1)=( ) D.3 )

A.-3 B.-1 C.1

3.若函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=2,若 f(0)=2,则 f(2 012)=( A.2 B.-2 C.1 D.2 010

4.(2011· 湖北高考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)= ex,则 g(x)=( A.ex-e
-x

) 1 - B. (ex+e x) 2

1 1 C. (e-x-ex) D. (ex-e-x) 2 2 5.(2012· 广东六校联考)若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(- 1) <f(lg x)的解集是( A.(0,10) B.( ) 1 ,10) 10

1 1 C.( ,+∞) D.(0, )∪(10,+∞) 10 10 二、填空题 6.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 7.(2011· 广东高考)设函数 f(x)=x3 cos x+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 8.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x- 1),已知当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0.

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其中所有正确命题的序号是________. 三、解答题 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2 +2x.试解关于 a 的不等式 f(2-a2 )>f(a).

10.定义在 R 上的函数 f(x),满足对任意 x1 ,x 2 ∈R,有 f(x1 +x 2 )=f(x1 )+f(x2 ). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,试求实数 x 的取 值范围.

11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

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答案及解析
1. 【解析】 ∵函数周期 T=5,且为奇函数, ∴f(1)=f(1-5)=f(-4)=-f(4)=1, ∴f(4)=-1. 又∵f(2)=f(2-5)=f(-3)=-f(3)=2, ∴f(3)=-2, 因此 f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1. 【答案】 A 当 x≤0 时,f(x)=2x2 -x,则 f(-1)=3,

2. 【解析】

由 f(x)在 R 上为奇函数,得 f(1)=-f(-1)=-3. 【答案】 A 2 2 由 f(x+2)= 得 f(x+4)= =f(x), f?x? f?x+2?

3. 【解析】

∴f(x)的周期为 4. ∴f(2 012)=f(503×4+0)=f(0)=2. 【答案】 A ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,

4. 【解析】

且 f(x)+g(x)=ex,① ∴f(-x)+g(-x)=e-x,即 f(x)-g(x)=e-x,② 由①、②可得 g(x)= 【答案】 D 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|), ex-e-x . 2

5. 【解析】

因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 故|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<-1, 1 解得 x>10 或 0<x< . 10 【答案】 D ∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
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6. 【解析】

1 a 1 ∴-( +ae)=e+ ,化简变形得(1+a)(e+ )=0, e e e 因此 1+a=0,∴a=-1. 【答案】 -1 令 g(x)=f(x)-1=x 3 cos x,则 g(x)为奇函数,

7. 【解析】

由 f(a)=g(a)+1=11,得 g(a)=10,g(-a)=-10, 又 g(-a)=f(-a)-1,故 f(-a)=g(-a)+1=-9. 【答案】 -9

8. 【解析】 在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t,则有 f(t+2)=f(t),因此 2 是 函数 f(x)的周期,故①正确; 当 x∈[0,1]时,f(x)=2x 是增函数,则 f(x)在[-1,0]上是减函数, 根据函数的周期性知,函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故② 正确;在区间[-1,1]上,f(x)的最大值为 f(1)=f(-1)=2,f(x)的最小值为 f(0)=1, 故③错误. 【答案】 9. 【解】 ①② 当 x≥0 时,f(x)=x2 +2x 是增函数.

又 f(x)是定义在 R 上的奇函数. ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 由 f(2-a2 )>f(a),得 2-a2 >a, 解之得-2<a<1. ∴不等式的解集为{a|-2<a<1}. 10. 【解】 (1)令 x 1 =x 2 =0,得 f(0)=0;

令 x1 =x,x2 =-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)∵f(4)=1,∴f(8)=f(4)+f(4)=2, ∴原不等式化为 f(x-1)<f(8). 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, f(0)=0 且 f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

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因此 x-1<8,∴x<9. 所以实数 x 的取值范围是(-∞,9). 11. 【解】 (1)证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4.

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