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2011年广东省高考全真模拟试卷(理科)数学试卷


2011 年广东高考全真模拟试卷理科数学(六)
一.选择题(本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分. 在每题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求 的). 1.已知复数 z ? i (1+ i) (i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于 A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), 且a / / b,则 tan(? ? A. 3 B. ? 3 C.

?

?

?

?

?
4

) 等于
D. ?

1 3

1 3

4.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A. 1 B. ?1 C. ?2 或 ?1 D. ?2 或 1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 1 ?
A.
a

9 5
b

B. 3

C. 4

D. 6

6.“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 7.若一个底面边长为 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 2
B. 32 3π C. 9 2π D. 4 3π

A. 72 2π

8.设 S 是至少含 有两个元素的集合. 在 S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 a,b∈S,对于有序元素 对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应) 若对于任意的 a,b∈S,有 a*( b * a)=b,则对任意的 . a,b∈S,下列等式中不能成立的是 .. A.( a * b) * a =a C.b*( b * b)=b B.[ a*( b * a)] * ( a*b)=a D.( a*b) * [ b*( a * b)] =b

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

1

开始

2 3 9. ( x ? ) 的展开式中的常数项为 x
2

. .

10.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? 11 . 若 直 线 l : a ? x

k ?1
S ?0


b y ?0 ?1

(? a

0 ,?始 终 )平 分 圆 M : b 0


1 4 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 ? 的最小值为 a b

k ≤ 50?

12. 如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x2 和曲线 ,向正方形 AOBC 内随机投一点(该 y ? x 围成一个叶形图(阴影部分) 点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) ,则所投的点落在叶形图内 部的概率是 . 13 . 某 班 有 50 名 学 生 , 一 次 考 试 的 成 绩 ? (? ? N ) 服 从 正 态 分 布

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

N (100,102 ) . 已知 P(90 ? ? ? 100) ? 0.3 ,估计该班数学成绩在 110 分
以上的人数为 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中的一题,两题 全答的,只计算前一题的得分. 14. (几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割 线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的 距离为 .
B O

第 12 题图

C

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点 A(3,0) 且与极轴 垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 | AB |? .

A

D

三.解答题(本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已知向量 m ? (sin A,cos A) , n ? ( 3, ?1) ,且 m ? n ? 1 ,A为锐角. (1)求角 A 的大小; 17. (本小题满分12分) 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不 计厚度且 平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实验区,且两 个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受 影响的. (1)求蜜蜂落入第二实验区的概率;
2

??

?

?? ?

(2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

(2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望. 18. (本小题满分 14 分) D 在 四 棱 锥 P? A B C 中 , 底 面 A B C D 一 直 角 梯 形 , 是 ? ?BAD ? 90 , AD // BC, AB ? BC ? a , AD ? 2a, PA ? 底面ABCD, PD 与 底面成 30? 角. (1)若 AE ? PD, E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)在(1)的条件下,求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值. 19. (本小题满分14分)

x2 y 2 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB 上的一点, a b
???? ? ???? ? 1 AM ? ? BM ,且点M在直线 l : y ? x 上, 2
(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求椭圆的方程. 20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x . (1)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间; 时 (3)若 0 ? n ? m, 求证: 21. (本小题满分14分) 设 单 调递 增函数 f ( x ) 的定 义域为 ? 0,??? , 且对任 意的正 实数 x,y有: f ( xy) ? f ( x)? f ( y)且 (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值;

m?n ? 2m . ln m ? ln n

1 2

1 f ( ) ? ?1 . 2
(1)一个各项均为正数的数列 ?an ? 满足: f (sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项 和,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,是否存在正数 M 使下列不等式:

2n ? a1a2 ??an ? M 2n ?1(2a1 ?1)(2a2 ?1)??(2an ?1)
对一切 n ? N 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,请说明理由.
*

3

参考答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 A

1.选 B.提示:因为 z ? i (1+ i) = -1+ i ,所以 z ? i (1+ i) = -1+ i 对应的点在复平面的第二象限. 2.选 C.提示: a2 ? a8 ? 15 ? a5 得 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5 ,所以 a5 =5.

, , 3.选 B.提示: 由a // b,得 cos ? +2sin ? =0即 tan ? =-2所以 tan(? ?

? ?

?
4

)=-3.

4.选 D.提示:注意直线可以过原点和同截正负半轴(截距有正负之分)两种情形. 5.选 D.提示:画出可行域,在数形结合中的斜率解决. 6.选 B.提示:注意 a.b 的正负号. 7.选 D.提示: 把六棱柱镶嵌到球体里面中,注意半径、棱柱的高、及棱柱底面边长的关系. 8.选 A.提示:此题为信息题,认真反复阅读理解题意,依样画葫芦. 二、填空题: 9. 12 10.
2

2550

11. 16

12.

1 3

13. 10
2 2 3? 2

14. 5

15. 2 3

9.12.提示: ( x ? ) 的展开式中的常数项即T2+1 ? C3 ( x )
3

2 x

2 (? )2 . x

10.2550.提示:依照框图运行. 11.16.提示:始终平分圆就是圆心在直线上,然后用基本不等式. 12.

1 .提示:此题为几何概型,用定积分求出面积的比值. 3

13.10.提示:有正态分布的性质知,90~110 有 30 人,90 分以下和 110 以上.分别 10 人. 14. 5 .提示:先用切割线定理求出 BC 的长度,然后 距离d ?

1 r 2 ? ( BC )2 . 2

15. 2 3 .提示:全部转化到直角坐标系中去解决.

三、解答题: 16.解: (1)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1, sin( A ? ) ? n 由 A 为锐角得 A ?

?? ?

? ? ? , ) , A? ? , A ? . 6 6 3 6 6 3 1 (2)由(1)可得 cos A ? , 2 ? (?

?

? ?

? 6

? 6

1 . 2

2 所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2

1 2

3 . 2

4

因为 x ? R ,则 sin x??? ,1 ? ,当 sin x ? 1 故所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ?3, ? . 2

1 3 时, f ( x ) 有最大值 .当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 有最小值 ?3 , 2 2

? ?

3? ?

17.解: (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A ,“蜜蜂落入第二实验区”为事件 B .

1 1 1 ? ? S圆锥底面 ? h圆锥 7 1 2 依题意, P ? A? ? ?3 4 ? ,∴ P( B) ? 1 ? P ? A ? ? , 1 8 8 V圆椎体 ? S圆锥底面 h圆锥 3 7 ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为 . 8 (2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件 C ,则

V小椎体

70 7 ?1? 70 70 1 P(C ) ? C10 ? ? ? ? ? 10 ? 30 ,∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率 30 . 2 8 ?8? 8 2
(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的,所以 变量 X 满足二项分布,即 X ~ ? 40, ? ,∴随机变量 X 的数学期望 EX =40× =5. 科.18.解: 解法一: (1)? ?BAD ? 90? ,

9

? ?

1? 8?

1 8

[来源:学

? BA ? AD

? PA ? 底面ABCD,

BA ? PA.

又? PA ? AD ? A,
[来源

? B A? 平面 P A .D ? P D? 平面 P A . ? PD ? BA. D

又? PD ? AE, 且BA ? AE ? A, ? PD ? 平面BAE.

? PD ? BE,即BE ? PD.

[来源:学科网]

(2) 过点 E 作 EM / / CD 交 PC 于 M , 连结 AM , AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角. Com] 则 .

? PA ? 底面ABCD, 且PD与底面ABCD成30? 角 . ?在Rt?PAD中, ?PAD ? 90? , ?PDA ? 30? , AD ? 2a.
2 3 2 a) PA 3 ? PE ? ? 3 ? a, CD ? 2a. PD 3 4 3 a 3
2

??PDA ? 30?.

(

5

CD ? PE ? ME ? ? PD

2a ?

3 a 3 ? 2 a. ? PA ? 2 3 a, PD ? 4 3 a. 4 3 3 4 3 a 3

2 3 a ? 2a PA ? AD 3 ? AE ? ? ? a. PD 4 3 a 3
连结AC.?在?ACD中AD ? 2a, AC ? 2a, CD ? 2a,

? AD2 ? AC 2 ? CD2 , ??ACD ? 90? , ? CD ? AC ,
? ME ? AC.

又? PA ? 底面ABCD, ? PA ? CD, ? ME ? PA.
? ME ? 平面PAC. ? MA ? 平面PAC,

? ME ? AM . ? 在Rt ?AME中, cos ?MEA ? ME 2 ? . AE 4
2 . 4

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为

(3) 延长 AB 与 DC 相交于 G 点, PG , 连 则面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG , 易知 CB ⊥平面 PAB , 过 B 作 BF ? PG于F点, 连CF , 则CF ? PG ,??CFB为二面角C ? PG ? A的平面角 ,

? CB / /

1 2 3 AD ,? GB ? AB ? a, ?PDA ? 30? , PA ? a, AG ? 2a. 2 3

??PGA ? 30? , 1 a a ? BF ? GB ? , tan BFC ? ? 2, a 2 2 2
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的正切值为 2. 解法二: (1)如图建立空间直角坐标系, 则A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), E (0,

1 3 a, a), 2 2

C (a, a, 0), D(0, 2a, 0), P(0, 0,

2 3 a). 3

6

??? ? 1 3 ? BE ? (?a, a, a), 2 2 ??? ? 2 3 PD ? (0, 2a, ? a), 2 ??? ??? ? ? 1 3 2 3 ? BE ? PD ? (?a) ? 0 ? a ? 2a ? a ? (? ) ? 0, 2 2 2
? BE ? PD
(2)由(1)知, AE ? (0,

??? ??? ? ? 1 3 a, a), CD ? (?a, a,0) . 设AE与CD所成角为? , 2 2

??? ??? ? ? AE ? CD ? ? 则 cos ? ? ??? ??? ? | AE | ? | CD |

1 3 0 ? (?a) ? a ? a ? a?0 2 2 2 ? , ∴异面直线 AE 与 CD 所成 4 1 3 2 02 ? ( a ) 2 ? ( a) ? ( ?a) 2 ? a 2 ? 02 2 2

角的余统值为

2 . 4
则 CB ? 平面PAB.

( 3 ) 易 知 , CB ? AB, CB ? PA, 量.? BC ? (0, a,0).

??? ? ? BC是平面PAB 的 法 向

??? ?

?? 又设平面PCD的一个法向量为m ? ( x, y, z ), ?? ?? ??? ? ??? ? 2 3 则m ? PC , m ? CD. 而 PC ? (a, a, ? a ), CD ? (?a, a, 0), 3 ?? ??? ? ?? ??? ? ?由m ? PC ? 0, m ? CD ? 0. ? 2 3 ? az ? 0, ?ax ? ay ? ? x ? y, 得? ?? 3 ? z ? 3 y. ? ?? ax ? ay ? 0. ? ?? ??? ?? ? 令y ? 1, ? m ? (1,1, 3), 设向量 BC与m所成角为? , ??? ?? ? BC ? m 0 ?1 ? a ?1 ? 0 ? 3 a 5 ? ?? ? 则 cos ? ? ??? ? ? . 5 | BC | ? | m | 02 ? a 2 ? 02 ? 12 ? 12 ? ( 3) 2 a ? 5 ? tan ? ? 2.
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2. 19.解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

7

?x ? y ?1 ? 0 ???? ? ???? ? ? (1)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点, 由 ? x 2 y 2 得: (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
x1 ? x2 ? 2a 2 2b 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2 a2 b2 , 2 ) a 2 ? b2 a ? b2 a2 2b 2 ? 2 ? 0 ?a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ?a2 ? 2c2 2 2 2 a ?b a ?b

? M 点的坐标为 (

又 M 点在直线 l 上: ?

?e ?

c 2 ? . a 2

(2)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) ,

? y0 ? 0 1 ? x ? b ? 2 ? ?1 1 ? 设 F (b, 0) 关于直线 l : y ? x 的对称点为 ( x0 , y0 ) , 则有 ? 0 2 ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 2 ? 2
2 2 2 由已知 x0 ? y0 ? 1, ? ( b) ? ( b) ? 1 , ?b ? 1 .
2 2

3 ? ? x0 ? 5 b ? 解得 ? ?y ? 4 b ? 0 5 ?

3 5

4 5

故所求的椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
2 , x

20. (1)解:当 a ? 1 , f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, 则f ?( x ) ? 1 ? 时 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为? 0,2? , 单调增区间为? 2, ??? .

(2)解:因为 f ( x ) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能,故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,只要对 任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

1 2

1 2

1 2

1 2

2 ln x 恒成立. x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 2 ln x 1 x , x ? (0, ), 则 l ( x) ? ? x ? , 令 l ( x) ? 2 ? 2 x ?1 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
再令 m( x) ? 2 ln x ?

? 于 是 m( x ) l ( x)? 1 l( ? ) 2

2 1 2 2 ?2(1 ? x) 1 ? 2, x ? (0, ), 则 m?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, 故m( x)在(0, )上为减函数, 2 x 2 x x x 2 1 1 m( ? ? 2 l ? 从 而 0 (,x )? 0于 是 l ( x) 在 (0, ) 上 为 增 函 数 , 所 以 ) 2 n 2 l , 2 2 2 ln x ? 4故要使 a, ? 2 ? 2 ln 2 恒成立,只要 a ?[2 ? 4ln 2, ??) x ?1
8

综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点,

1 2

则a的最小值为2 ? 4ln 2.
(3)证明:由第(1)问可知 f ( x) ? ( x ? 1) ? 2 ln x 在 (0,1] 上单调递减.

?0 ?

n n n n n?m ? 1,? f ( ) ? f (1) ? ( ? 1) ? 2 ln ? 0 ? ? 2(ln n ? ln m) m m m m m m?n m?n ? ? 2(ln m ? ln n) , 即 ? 2m m ln m ? ln n 1 21.解: (1)? 对任意的正数 x、 y 均有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( ) ? ?1 . 2 1 1 2 又? an ? 0且f ( S n ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ? 1 ? f ( an ) ? f (an ? 1) ? f ( ) ? f ( S n ) ? f [( an ? an ) ? ] , 2 2 1 2 又? f ( x) 是定义在 ? 0,??? 上的单增函数,? S n ? (an ? an ) . 2 1 2 当 n ? 1 时, a1 ? ( a1 ? a1 ) ,?a12 ? a1 ? 0 .? a1 ? 0 ,?a1 ? 1 . 2
当 n ? 2 时,? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? an 2 ? an ? an?12 ? an?1 ,?(an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 .

? an ? 0?an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,

??an ? 为等差数列, a 1 ? 1, d ? 1 ,? an ? n .
(2)假设 M 存在满足条件,即 M ?

2n a1a2 ?? an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2a n ?1)
, g (n ? 1) ? ?

对一切 n ? N 恒成立.
*

令 g (n) ?

2n a1a2 ??an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2an ?1)

2n?1 ?1? 2 ???? n ? (n ? 1) , 2n ? 3 ?1? 3 ???? (2n ? 1)(2n ? 1)



g (n ? 1) ? g (n)

2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3

4n2 ? 8n ? 4 * ? 1 ,? g (n ? 1) ? g (n) ,? g (n) 单调递增,? n ? N , 2 4n ? 8n ? 3

g (n) ? g (1) ?

2 3 2 3 . ?0? M ? . 3 3

9


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