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贵州省遵义市南白中学2017届高三上学期第二次联考理数试题(解析版).doc


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,复数 A. ?

1 2

B.-2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i 1 C.2 D. 2



【答案】C

考点:复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

(a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概念,
如复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a 2 ? b2 、对应点为 (a , b) 、共轭为

a ? bi.
2.已知集合 A ? {x | y ? lg(2 ? x)} ,集合 B ? {x | A. {x | x ? ?2} 【答案】C 【解析】 试题分析: A ? {x | y ? lg(2 ? x)} ? (??, 2) , B ? {x | B. {x | ?2 ? x ? 2}

1 ? 2 x ? 4} ,则 A ? B ? ( 4
D. {x | x ? 2}



C. {x | ?2 ? x ? 2}

1 ? 2 x ? 4} ? [?2, 2] ,所以 4

A I B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,选 C.
考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合

类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合 元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取 舍. 3.已知 ? 为第三象限角,且 cos ? ? ? A. ?

5 ,则 tan 2? 的值为( 5



4 3

B.

4 3

C. ?

3 4

D.-2

【答案】A

考点:二倍角公式 【方法点睛】三角函数求值的三种类型 (1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。 (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。 ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的。 (3)给值求角:实质是转化为“给值求值” ,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角。 4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? lg x ,命题 q : ?x ? (0, ? ),sin x ? 的是( )

1 ? 2 ,则下列判断正确 sin x

A. p ? q 是假命题 B. p ? q 是真命题 C. p ? (?q ) 是假命题 【答案】D 【解析】 D. p ? (?q ) 是真命题

时x ? 1 ? lg x ,所以命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? lg x 为真; 试题分析: x ? 1

?x ? (0, ? ),sin x ? 0,sin x ?
命题 q : ?x ? (0, ? ),sin x ?

1 1 ? 2 sin x ? 2 ,当且仅当 sin x ? 1 时取等号,所以 sin x sin x

1 ? 2 为假;因此 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题 , sin x

p ? (?q) 是真命题 , p ? (?q) 是真命题,选 D,

考点:命题真假 【名师点睛】 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假, 需先判断构成这个命题的每个简 单命题的真假,再依据“或” :一真即真, “且” :一假即假, “非” :真假相反,做出判断即 可. 以命题真假为依据求参数的取值范围时, 首先要对两个简单命题进行化简, 然后依据 “p∨q” “p∧q” “非 p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可. 5.函数 f ( x) ? ( x2 ? 2 x)e x 的大致图象是( )

【答案】A

考点:利用导数研究函数图像

?y ? x ? 6.已知 x, y 满足约束条件 ?3 y ? x ,则下列目标函数中,在点 (3,1) 处取得最小值的是 ?x ? y ? 4 ?
( ) B. z ? ?2 x ? y C. z ? ?

A. z ? 2 x ? y 【答案】B 【解析】

1 x? y 2

D. z ? 2 x ? y

试题分析:可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(0,0), B(2, 2), C (3,1) ,所以直线

z ? 2 x ? y 在点 (3,1) 处取得最大值,直线 z ? ?2 x ? y 在点 (3,1) 处取得最小值,直线
1 z ? ? x ? y 在点 (2, 2) 处取得最小值, 2
直线 z ? 2 x ? y 在点 (3,1) 处取得最大值,选 B. 考点:线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一, 准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜 率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边 界上取得. 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( A.14 B.15 C.16 D.17 )

【答案】C

考点:循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图 的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循 环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.

8.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的所有棱长中最长的是( A. 5 2 B.5 C. 41 D. 4 2



【答案】C 【解析】 试题分析: 四面体有一侧棱(长为 4)垂直于底面, 底面为直角三角形(直角边长为 3 和 4) , 因此所有棱长为 3, 4,5, 4, 4 2, 41 ,选 C. 考点:三视图 【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特 征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱 柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学 会利用反例对概念类的命题进行辨析. 9.已知点 P 是抛物线 x ? 距离之和的最小值为( A. 2 2 【答案】B B. 2 2 ? 1

1 2 y 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 y 轴的 4
) C. 5 ? 1 D. 5 ? 1

考点:抛物线定义

【方法点睛】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时, 一般运用定义转化为到准线距离处理. 本 题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求点 P 的坐标.

p 2.若 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦 AB 2 的端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2 可由根与系数的关系 整体求出; 若遇到其他标准方程, 则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到. 10.某学校为了提高学生的意识,防止事故的发生,拟在未来连续 7 天中随机选择 3 天进行 紧急疏散演练,则选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况有( A.10 种 【答案】B B.20 种 C.25 种 D.30 种 )

考点:排列组合 【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法: (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺 序限制的排列问题——“除序法” ;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题—— 间接法. 11.如图,已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 2, a 2 b2

以双曲线 C 的实轴为直径的圆记为圆 O ,过点 F2 作圆 O 的切线,切点为 P ,则以 F1 , F2 为 焦点,过点 P 的椭圆 T 的离心率为( A. )

5? 3 2

B. 5 ? 3

C.

7? 3 4

D. 7 ? 3

【答案】D 【解析】

试题分析:由离心率为 2 得 c ? 2a, b ? 3a ,又 PF2 为圆 O 的切线,所以

PF2 ? b, 2( PF12 ? PF2 2 ) ? (2OP) 2 ? (2c) 2 ? PF1 ? 2a 2 ? 2c 2 ? b 2 ? 7 a ,因此椭圆 T
的离心率为

2c 4a ? ? 7 ? 3 ,选 D. 7a ? b 7a ? 3a

考点:椭圆与双曲线定义与离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b, c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的 方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有

x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ? 0 ,记 a ? 25 f(0.2 ) 2 ,b ? f (1) ,c ? ? log5 3 ? f (log 1 5) ,则( x1 ? x2 3
A. c ? b ? a 【答案】A B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? b ? c



考点:函数单调性与奇偶性综合应用 【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义 及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其 与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可

“f ” 实现自变量大小转化,单调性可实现去 ,即将函数值的大小转化自变量大小关系
二、填空题(每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b ? a cos C ? c sin A ,则

A?

.

【答案】 【解析】

? 4

试题分析:

b ? a cos C ? c sin A ? sin B ? sin A cos C ? sin C sin A ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? sin C sin A
? sin C cos A ? sin C sin A ? cos A ? sin A ? tan A ? 1 ? A ?
考点:正弦定理 【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 14.若对于任意的实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值 为 【答案】6 .

?
4

考点:二项式定理 【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b∈ R)的式子求其展开式的各项系数之和, 常用赋值法, 只需令 x=1 即可; 对形如(ax+by)n(a, b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. 15.在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好落在阴影部分的概率 为 .

【答案】 【解析】

2 3
3

试题分析:阴影部分的面积为

?

1

0

x2 xdx ? 3 2

1 0

?

2 ,所以点 P 恰好落在阴影部分的概率为 3

2 3 ?2 1? 1 3
考点:定积分 【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3)确定被积函数; (4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界 不同时,要分不同情况讨论. 16.已知函数 f ( x) ? kx ? 4 ? x 2 ? 3 ? 2k 有两个零点 x1 , x2 ,则 k ? | x1 ? x2 | 的取值范围 是 【答案】 ( .

5 131 , ] 12 100

考点:直线与圆位置关系 【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log3 (1 ? Sn )( n ? N *) ,求满足方程 【答案】 (1) an ?

1 an ? 1(n ? N * ) . 2

1 1 1 25 的 n 值. ? ?L ? ? b2b3 b3b4 bnbn?1 51

2 (2) n ? 101 3n

2 , 3 1 1 当 n ? 1 时, S n ? an ? 1 , S n ?1 ? an ?1 ? 1 , 2 2 3 1 1 ∴ an ? an ?1 ? 0 ,即 an ? an ?1 2 2 3 2 ∴ an ? n . 3 2 1 (1 ? ( ) n ) 3 3 ? 1 ? ( 1 ) n ,∴ b ? ?n , 1 ? 1 ? 1 , (2) Sn ? n 1 bnbn ?1 n n ? 1 3 1? 3
试题解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? ∴

1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ? , b2b3 b3b4 bnbn?1 2 n ? 1
1 1 25 ? ? ,解得 n ? 101 . 2 n ? 1 51



考点:由 Sn 与 an 关系求数列 {an } 的通项公式,裂项相消法求和 【方法点睛】 将数列的通项分成两个式子的代数和的形式, 然后通过累加抵消中间若干项的
? c ? 方法,裂项相消法适用于形如?a a ?(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的数 ? n n+1?

列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和, 如 1 1 (n≥2)或 . (n-1)(n+1) n(n+2)

18.(本小题满分 12 分) 十一国庆节期间,某商场举行购物抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的 中奖率为

2 2 ,中奖可以获得 3 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;未中奖则不 5 3

得分,每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,抽奖结束后凭分数兑换奖 品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的 概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,分别求两种方案下小明、 小红累计得分的分布列,并指出为了累计得分较大,两种方案下他们选择何种方案较好,并 给出理由? 【答案】 (1)

2 (2)他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 5

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X 1 ,都选择方案乙所获得的累计得分 为 X 2 ,则 X 1 、 X 2 的分布列如下:

所以 E ( X 1 ) ? 0 ?

9 12 4 12 ? 3? ? 6 ? ? , 25 25 25 5 1 4 4 24 E( X 2 ) ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 9 9 9 9

E ( X 2 ) ? E ( X1 )
所以他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 考点:互斥事件概率,数学期望 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何 概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),

求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列 或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实 际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X~B(n,p)),则 此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此, 应熟记常见的 典型分布的期望公式,可加快解题速度. 19.(本小题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 5 ,E , F 分别在 AD, BC 上, 且 AE ? 1, BF ? 3 , 沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A EFB ,使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上,且
' ' '

EH ? 1.
(1)求证: A D / / 平面 B FC ; (2)求二面角 A ? DE ? F 的余弦值.
'

'

'

【答案】 (1)详见解析(2) ? 【解析】

2 2

试题分析: (1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明, 而当线线平行比较难找时,可以先证面面平行,再转化为线面平行:本题有两组相交直线互 相平行,A' E / / B ' F 及 CF / / ED , 先得线面平行,B ' F / / 平面 A' ED 及 CF / / 平面 A' ED , 再得面面平行,平面 A' ED / / 平面 B' FC ,最后得线面平行 A' D / / 平面 B' FC (2)利用空

间直角坐标系求二面角余弦值,先根据题意建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程 组解得各面法向量, 根据向量数量积求法向量夹角, 最后根据二面角与向量夹角之间关系得 结论

(2)如图,过 E 作 ER / / DC ,过 E 作 ES ? 平面 EFCD , 分别以 ER, ED, ES 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
' B' E ? 5 , EH ? 1,∴ B (0,1, 2), F (2, 2,0), E(0,0,0), C(2, 4,0)

∴ FB ' ? (?2, ?1, 2) ,∴ FC ? (0, 2,0) . 设平面 FB 'C 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∴?

????

??? ?

?

? ??2 x ? y ? 2 z ? 0 ,令 x0 ? 1 ,解得 n ? (1,0,1) . ?2 y ? 0 ?

∴平面 A' ED / / 平面 B' FC ,∴平面 A' ED 的法向量为 n ? (1,0,1) 设二面角 A' ? DE ? F 的大小为 ? ,显然 ? 为钝角, 又平面 DEF 的一个法向量为 m ? (0,0,1) ,

??

r u r 2 cos ? ? ? | cos ? n, m ?|? ? 2

考点:线面平行判定定理,利用空间向量解二面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当 的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”, 求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 y ? 4 x 上存在两个点 M , N ,椭圆上有两个点 P, Q 满足 M , N , F2 三点共线,
2

x2 y 2 2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A( ,F1 , F2 分别为左右 , ? ) ,离心率为 2 a b 2 2 2

P, Q, F2 三点共线,且 PQ ? MN ,求四边形 PQMN 面积的取值范围.
【答案】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2) S ? 4 2 2

所以椭圆 C 方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

令 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , x3 ? x4 ?

4 2 ? 2k 2 , x1 x2 ? 2 ? k2 2 ? k2

由弦长公式 | PQ |? 1 ?

1 4 2 2 ? 2k 2 2 2(1 ? k 2 ) ( ) ? 4 ? ? k2 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 1 4 2(1 ? k 2 )2 ,令 t ? 1 ? k 2 (t ? 1) | MN || PQ |? 2 2 k (2 ? k 2 )

所以四边形 PMQN 的面积 S ?

4 2t 2 4 2t 2 1 上式 S ? ? 2 ? 4 2(1 ? 2 ) ? 4 2 (t ? 1)(t ? 1) t ? 1 t ?1
所以综上, S ? 4 2 . 考点:直线与椭圆位置关系 【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线 的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ln x ? 2?1 x ? ex 2 ? mx ? 1 , g ( x) ? . 3 e2 x

(1)函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 (1 ? 2e) x ? y ? 4 ? 0 平行,求函数 f ( x ) 的单 调区间; (2)设函数 f ( x ) 的导函数为 f ' ( x) ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,若 成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (1)单调增区间为 [2e, ??),(??,0] ,单调减区间为 (0, 2e) .(2) m ? e ?
2

g ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ?0恒 e x1 ? 1

1 2e2

【解析】 试题分析: (1)由导数几何意义得 f ' (1) ? 1 ? 2e ,因此先求导数 f ' ( x) ? x2 ? 2ex ? m ,解 得 m ? 0 ,再求导函数零点,根据导函数符号确定单调区间(2)先化简不等式

g ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ,再利用最值转化 g ( x)max ? f ' ( x)min ,然后分别求最值
g ( x) max ? g (1) ? 1 f ' ( x)min ? m ? e2 ,最后解出 m 的取值范围. 2 , 2e

考点:导数几何意义,利用导数研究不等式恒成立 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该 函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a 即可;f(x)≤a 恒 成立,只需 f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问 题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B ,直线 ABD, CFD, CGE 都是圆 O 的割线,已知

AC ? AB .
(1)若 CG ? 1, CD ? 4 ,求 (2)求证: FG / / AC .

DE 的值; GF

【答案】 (1)4(2)详见解析

G, E, D, F 四点共圆, ?CFG ? ?CED , 试题解析: (1) 由题意可得: ∴ ?CGF ? ?CDE ,
∴ ?CGF ~ ?CDE , ∴

DE CD DE ? ?4 ,又∵ CG ? 1 , CD ? 4 ,∴ GF CG FG

(2)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB 2 ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 , 所以

AD AC ? , 又因为 ?EAC ? ?DAC , 所以 ?ADC ~ ?ACE , 所以 ?ADC ? ?ACE , AC AE

又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,所以 FG / / AC 考点:三角形相似,切割线定理 【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、 (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形 切割线定理及其推论; 中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有 时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握. 2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的 切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) ,在极坐标系(与 ? y ? 3 ? t cos ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,曲 线 C 的方程 ? ? 8sin ? . (1)求曲线 C 的直角坐标系方程; (2)若点 P(1,3) ,设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,求 | PA | ? | PB | 的最小值. 【答案】 (1) x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 (2) 4 3

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t 2 ? 2(cos ? ? sin ? )t ?12 ? 0 ,

由 ? ? 4(cos ? ? sin ? )2 ? 48 ? 0 , ? ? (2cos ? ? 2sin ? )2 ? 4 ? 7 ? 0 , 故可设 t1 , t2 上上述方程的两根, 所以 ?

?t1 ? t2 ? ?2(cos ? ? sin ? ) ,又直线过点 (1,3) ,故结合 t 的几何意义得 ?t1t2 ? ?12

| PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 4(cos ? ? sin ? ) 2 ? 48

? 52 ? 4sin 2? ? 4 3
| PA | ? | PB | 的最小值为 4 3 .
考点:极方程化为直角坐标方程,直线参数方程几何意义 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | x ? 2 | . (1)求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若 ?x ? R, f ( x) ? t 3 ? 2t ? 0 恒成立,求实数 t 的取值范围. 【答案】 (1) (?4, 0) (2) t ? 1

考点:绝对值定义,分段函数最值

【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用 绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不 等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法 的灵活应用,这是命题的新动向.


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