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福建省厦门市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷


福建省厦门第一中学 2015—2016 学年度
第一学期期中考试

高二年数学试卷(理科)
命题教师: 周翔 刘桦 审核教师:肖文辉 2015.11

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1. 已知 a , b 是两个不相等的正数, A 是 a , b 的等差中项, B 是 a , b 的等比中项,则 A 与 B 的

1 1 ? A B 2 2 2 2.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,若 (a ? b ? c ) tan C ? ab , ? ? ? ? ? ? 则角 C 等于 A. 30 B. 60 C. 30 或 150 D. 60 或 120 2 3.若关于 x 的二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为实数集 R ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?2 或 m ? 2 B. ?2 ? m ? 2 C. m ? ?2 或 m ? 2 D. ?2 ? m ? 2 4.下列各函数中,最小值为 2 的是 1 sin x 2 ? A. y ? x ? , x ? 0且x?R B. y ? , x ? (0, ? ) x 2 sin x x2 ? 3 C. y ? , x?R D. y ? e x ? e? x , x ? R 2 x ?2 5. 等差数列 { an } 的前 n 项和记为 S n , 若 a2 ? a6 ? a10 为常数 , 则下列各数中恒为常数的是
大小关系是 A. A ? B B. A ? B C. A ? B D. A. S 6 B. S11 C. S12 D. S18

?x ? y ? 0 ? 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
A. ?2 B. ? 1 C. 2 7. 一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮 在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向 是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是 A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里
2

D. 1

8.关于 x 的不等式 x ? px ? q ? 0 的解集为 (a, b)(0 ? a ? b) ,且 a, b, ?2 这三个 数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 A.6 B.7 C. 8 D.9 9. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b (a ? b) ,其全程的平均时速为 v ,则 A. a ? v ? ab B.

ab ? v ?

a?b 2

C.

ab ? v ? b

D. v ?
2

a?b 2

10.设等差数列的首项和公差都是非负的整数,项数不少于 3,且各项和为 97 ,则这样的数 列共有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 第 1 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题

共100分)
▲ ▲ ▲ . . .

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 在等比数列 {an } 中, a4 ? 2,a5 ? 5 ,则 lg a1 ? lg a2 ? ?? ? lg a8 等于 12. 已知 ?ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为

? x( x ? 1) 13.设函数 f ( x) ? ? ,则不等式 xf ( x) ? x ? 2 的解集是 ??1( x ? 1)
3

14.要制作一个容积为 4m ,高为 1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 ▲ (单位:元). 15.已知方程 x ? ax ? 2b ? 0 (a ? R, b ? R) ,其一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,
2

b?3 的取值范围为 ▲ . a ?1 16.平面内有 n(n ? N ? ) 个圆中,每两个圆都相交,每三个圆都不交于一点,若该 n 个圆把平
则 面分成 f ( n) 个区域

,那么 f (n) ?



.

三、解答题:本大题共6小题,共76分。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 对应的边分别为 a ,b ,c( a ? b ? c ) , 2 且 b cos C ? c cos B ? 2a sin A .(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)求证:a ? (2 ? 3)bc ; (Ⅲ)若 a ? b ,且 BC 边上的中线 AM 长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 满足 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中 项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? log 1 an ,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn
2

-2n+1+47<0 成立的正整数 n 的最小值.

第 2 页(共 4 页)

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? 1 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ?| x ? 1| ; (Ⅱ) 设正数 a , b 满足 ab ? a ? b ,若不等式 f (m ? 1) ? a ? 4b 对任意 a, b ? (0,+?) 都成立,求实 数 m 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 4 项和 S4 =14 且 a1 , a3 , a7 成 等比数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn 为数列 { 对任意 n ? N 恒成立,求实数 ? 的最小值.
?

1 若 Tn ? ? an ?1 } 的前 n 项和, an an ?1

第 3 页(共 4 页)

21. (本小题满分 14 分)某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,今年年初组织一些同 学自筹资金 196 万元购进一台设备,并立即投入生产自行设计的产品,计划第一年维修、保 养费用 24 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 8 万元,该设备使用 后,每年的总收入为 100 万元,设从今年起使用 n 年后该设备的盈利额为 f ( n) 万元。 (Ⅰ) 写出 f ( n) 的表达式; (Ⅱ)求从第几年开始,该设备开始盈利; (Ⅲ)使用若干年后,对该设 备的处理方案有两种:方案一:年平均盈利额达到最大值时,以 52 万元价格处理该设备;方 案二:当盈利额达到最大值时,以 16 万元价格处理该设备。问用哪种方案处理较为合算?请 说明理由.

n ?1 ? 22.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n ? N ) 。 (Ⅰ)求

1 2

数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 大小,并予以证明。

n ?1 5n an ,Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn ,试比较 Tn 与 的 n 2n ? 1

第 4 页(共 4 页)

厦门一中 2015-2016 学年高二(上)期中考理科数学答题卷
题号 得分 二.填空题: 11. ;12. 三.解答题: 17.(本题满分 12 分) 解: ;13. ;14. ;15. ; 16. . 选择题 填空题 17 18 19 20 21 22 总分

姓名

准考证号

18.(本题满分 12 分) 解:

班级

座号

第 1 页(共 4 页) 座位号 19.(本题满分 12 分) 解:

20.(本题满分 12 分) 解:

第 2 页(共 4 页) 21(本题满分 14 分) 解:

第 3 页(共 4 页)

22. (本题满分 14 分) 解:

第 4 页(共 4 页)

厦门一中 2015-2016 学年高二(上)期中考理科数学试题 参考答案
一、选择题:BCBDB 二、填空题:11.4; CADAC 12. ?

1 3 2 2 ;13. [?1, 2] ;14. 160 ;15.( , ) ;16. n ? n ? 2 . 2 2 4

10.解∵设等差数列首项为 a,公差为 d,依题意有 na+
2

1 2 n(n ? 1)d = 97 , 2

即[2a+(n-1)d]n=2×97 .因为 n 为不小于 3 的自然数,97 为素数,故 n 的值只可能为 97, 2×97,97 ,2×97 四者之一. 若 d>0,则知 2×97 ≥n(n-1)d≥n(n-1)>(n-1) . 故只可能有 n=97.于是 a+48d=97. 此时可得 n=97,d=1,a=49 或
2 2 2 2 2

n=97,d=2,a=1. n=97 ,a=1.
2

若 d=0 时,则由(3)得 na=97 ,此时 n=97,a=97 或 故符合条件的数列共有 4 个,故答案为 C. 三、解答题

17.解: (Ⅰ)∵ b cos C ? c cos B ? 2 a sin A ,∴ sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin Asin A . sin( B ? C ) ? 2sin A sin A ? sin A ? 2sin A sin A . 即 1 ? ? ∵ sin A ? 0 ,∴ sin A ? ,∵ a ? b ? c ,∴ 0 ? A ? ,∴ A ? .????4 分 2 3 6 (Ⅱ)∵ a ? (2 ? 3)bc ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?

6

? (2 ? 3)bc

? b2 ? c2 ? 2bc ? (b ? c)2 ? 0 ,∴ a2 ? (2 ? 3)bc .????7 分
(Ⅲ)由 a ? b 及(Ⅰ)知 A ? B ? 设 AC ? x ,则 MC ?

π 2? ,所以, C ? ,.????8 分 6 3

1 x ,又 AM ? 7. 2 在 ?A M C 中,由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 2 即 x 2 ? ( )2 ? 2 解得 x? ? c o so 1? 20 ( 7) x , ? 2, ????10 分 2 2 1 2? 故 S?ABC ? x2 sin ? 3. ????12 分 2 3 18.解: (Ⅰ)设 等 比 数 列 {a n } 的 首 项 为 a 1 , 公 比 为 q , ∵ 2a 1 +a 3 =3a 2 , 且 a 3 +2 是 a 2 , a 4 的 等 差 中 项 ∴ a 1 ( 2+q 2 ) =3a 1 q ( 1 ) , a 1 ( q+q 3 ) =2a 1 q 2 +4 ( 2 ) 由 ( 1 ) 及 a 1 ≠0 , 得 q 2 -3q+2=0 , ∴ q=1 , 或 q=2 , ????4 分 当 q=1 时 , ( 2 ) 式 不 成 立 ; 当 q=2 时 , 符 合 题 意 , ????5 分 把 q=2 代 入 ( 2 ) 得 a 1 =2 , 所 以 , a n =2?2 n-1 =2 n ; …………6 分
第 1 页(共 4 页)

1 1 (Ⅱ)bn=an+log2 =2n+log2 n=2n-n. …………7 分 an 2 所以 Sn=2-1+22-2+23-3+?+2n-n =(2+22+23+?+2n)-(1+2+3+?+n) 2?1-2n? n?1+n? n+1 1 1 = - =2 -2- n- n2. …………9 分 2 2 2 1-2 n+1 因为 Sn-2 +47<0, 1 1 + + 所以 2n 1-2- n- n2-2n 1+47<0, 2 2 即 n2+n-90>0,解得 n>9 或 n<-10. …………11 分 + 因为 n∈N*,故使 Sn-2n 1+47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10. …………12 分 19.解 : (Ⅰ)不等式 f ( x) ?| x ?1|? 2x ? 4 ?1 ?| x ?1|?

?x ? 2 ??1 ? x ? 2 ? x ? ?1 或? 或? ? ?2 x ? 4 ? 1 ? x ? 1 ?4 ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ?4 ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1)
4 或 x ? ?1 ,????4 分 3 4 于是原不等式的解集为 (??, ) ? (4, ??) ????6 分 3 1 1 (Ⅱ)因为 ab ? a ? b ? ? ? 1 ,所以 a b
即 x ? 4 或 ?1 ? x ?

1 1 1 1 a ? 4b ? ( ? )(a ? 4b) ? ( ? a+ ? 4b ) 2 ? 9 ,????8 分 a b a b
?a ? 3 ?a ? 2b ? 当且仅当 ? 即? 3 时 a ? 4b 取得最小值 9 ,????9 分 ?ab ? a ? b ?b ? ? 2
(0,+?) 都成立, 因为 f (m ? 1) ? a ? 4b 对任意 a, b ?
所以 f (m ? 1) ? 9 ?| m ? 1|? 4 ? ?4 ? m ? 1 ? 4 ,????11 分

于是,所求实数 m 的取值范围是 ?3 ? m ? 5 .????12 分

20.解: (Ⅰ)由 ?

? S4 ? 14

?4a1 +6d ? 14 ? a1 ? 2 ,解得 ???4 分 ? ? ? 2 2 ?d ? 1 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ?a3 ? a1a7

于是 an ? n ? 1 ,???5 分 (Ⅱ)因为

1 1 1 1 , ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 2 3 1 1 3 4 1 1 n ,???7 分 ? )? n+1 n ? 2 2(n ? 2)
第 2 页(共 4 页)

所以 Tn ? ( ? ) ? ( ? )?? ? (

因为 Tn ? ? an ?1 ? ? ? 且

n 对任意 n ? N? 恒成立,???8 分 2 2(n ? 2)

n n 1 1 1 ? ? ? ? ???10 分 2 2 4 2(n ? 2) 2(n ? 4n ? 4) 2(n ? ? 4) 16 4 2(2 n ? ? 4) n n
1 ???11 分, 16

当且仅当 n ? 2 时,取“ ? ” ,所以 ? ? 即实数 ? 的最小值为

1 ???12 分. 16

n(n ? 1) 8] ? ?4n 2 ? 80n ? 196(n ? N ? ) .???3 分 2 2 2 ( Ⅱ ) 由 f (n) ? 0 得 : ?4n ? 80n ? 196 ? 0 即 n ? 20n ? 49 ? 0 , 解 得
21. 解: (Ⅰ) f (n) ? 100n ? 196 ? [24n ?

10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 ,由 n ? N ? 知, 3 ? n ? 17 ,即从第三年开始盈利???6 分
(Ⅲ)方案①:年平均盈利为 当且仅当 n ?

f (n) f (n) 49 49 ,则 ? ?4(n ? ) ? 80 ? ?4 ? 2 n ? ? 80 ? 24 , n n n n

49 ,即 n ? 7 时,年平均利润最大,共盈利 24×7+52=220 万元.??10 分 n
2

方案②: f (n) ? ?4(n ?10) ? 204 ,当 n ? 10 时,取得最大值 204,即经过 10 年盈利 总额最大,共计盈利 204+16=220 万元 两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算.???14 分 22. (Ⅰ)在 Sn ? ?an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
1 2
n?2

1 ???1 分, 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 ,???3 分 2

设bn ? 2n an , 则bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2
(Ⅱ)由(I)得 cn ?

n .???6 分 2n

第 3 页(共 4 页) 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( )
2 3 n

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 n?3 2 ???9 分 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 , ?Tn ? 3 ? n , 1 2 2 2 2 1? 2

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
n

于是只要比较 2 与 2n ? 1 的大小即可,
n (1)当 n ? 1, 2 时, 2 ? 2n ? 1 ,此时 Tn ?
n

5n 5n ? 0 ,即 Tn ? ,???10 分 2n ? 1 2n ? 1

(2)猜想:当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1 ,下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 3 时,不等式 2 ? 2n ? 1 成立;
n k ②假设 n ? k ? 3 时,不等式成立,即 2 ? 2k ? 1 ;

则当 n ? k ? 1 时, 2

k +1

? 2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2k ? (2k ? 2) ? 2k ? 8 ? 2(k ? 1) ? 1 ,
n n

所以当 n ? k ? 1 时,不等式 2 ? 2n ? 1 成立. 由①和②可知,当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1 成立,???13分

5n 5n ? 0 ,即 Tn ? .???14分 2n ? 1 2n ? 1 n 另证:要证 2 ? 2n ? 1 ( n ? 3 ) , n 只要证: 2 ? 1 ? 2n , 1 2 n ?1 只要证: 1 ? 2 ? 2 ? L ? 2 ? 2n ,
于是,当 n ? 3 时 Tn ?

由均值不等式得: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2

? n 1? 2 ? 2 ?? ? 2 ? n ? 2 ? n ? 2 5n 5n n ? 0 ,即 Tn ? 所以 2 ? 2n ? 1 ,于是,当 n ? 3 时 Tn ? 。 2n ? 1 2n ? 1
n 1 2

n ?1

n ?1

n ?1 2

3?1 2

? 2n ,

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