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《直线与方程》综合练习卷


《直线与方程》综合练习卷
一、选择题: 1、过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 2.“m=
1 2

D.x-2y+7=0 )

”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 垂直”的 (

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.三直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10 相交于一点,则 a 的值是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 4、直线 xcos ? +y+m=0 的倾斜角范围是????????????( ) A.
? ? 3? ? ?4 , 4 ? ? ?

B.

? ? ? ? 3? ? ? 0, 4 ? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ?

C.

? ? ? ?0, 4 ? ? ?

D.

? ? ? ? ? ? 3? ? ?4 , 2 ??? 2 , 4 ? ? ? ? ?

5、如直线 l1 、 l 2 的斜率是二次方程 x 2 -4x+1=0 的两根,那么 l1 和 l 2 的夹角是( A.
?
4

)

B.

?
3

C.

?
6

D.

?
8

6.已知直线 3 ? y 3 0 6 ? ? ? 互相平行,则它们之间的距离是( x 2 ? ? 和 x my 0 1 A. 4 B.
2 13 13



C.

5 13 26

D.

7 13 26

7、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A. x 2 ? ? B. 2 ? ? ? ?y 5 0 x y 4 0 C x 3 ? ? D. 3 ? ? ? ?y 7 0 x y 5 0 8.已知直线 l1 的方程是 ax-y+b=0,l2 的方程是 bx-y-a=0(ab≠0,a≠b),则下列各示意图形中,正 确的是( )

9.直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 9 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为(
0

)

A. y ? ?

1 3

x?

1 3

B. y ? ?

1 3

x ?1

C. y ? 3 x ? 3

D. y ?

1 3

x ?1

10. 若动点 A ( x 1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ) 分别在直线 l1 :x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 :x ? y ? 5 ? 0 上移动, AB 则 中点 M 到原点距离的最小值为 A. 3 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 2 )

11.点 A(1,3),B(5,-2),点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)

12. 设a,b,c分别是△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对边的边长, 则直线sinA· x+ay+c=0与bx-sinB· y+sinC =0的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 二.填空题: 13、直线 l1:x+my+6=0 与 l2:(m-2)x+3y+2m=0,若 l 1 // l 2 则 m =__________; 14.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程



15.直线 y=

1 2

x 关于直线 x=1 对称的直线方程是
y?2?0

;

16.已知点 P ? 2, ? 3 ? , Q ? 3, 2 ? ,直线 ax ?

与线段 P Q 相交,则实数 a 的取值范围是_________;

三.解答题 17、根据下列条件,求直线方程 (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x+y-5=0 垂直 (2)经过点 B(2,1)且与直线 5x+2y+3=0 的夹角等于 45°

18、△ABC 中,A(3,-1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为:6x+10y-59=0, ∠B 的平分线方程 BT 为:x-4y+10=0,求直线 BC 的方程.

19、 过点 ( 2 ,3 ) 的直线 l 被两平行直线 l 1 : 2 x ? 5 y ? 9 ? 0 与 l 2 : 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 所截线段 AB 的中 点恰在直线 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,求直线 l 的方程.

20、过点 P ( 4 ,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、 B ,当 ? AOB ( O 为原点) 的面积 S 最小时,求直线 l 的方程,并求出 S 的最小值

22、在平面直角坐标系中,已知矩形 A B C D 的长为2,宽为1, A B 、 A D 边分别在 x 轴、 y 轴的 正半轴上, A 点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使 A 点落在线段 D C 上。 (1)若折痕所在直线的斜率为 k ,试求折痕所在直线的方程; (2)当 ? 2 ? 3 ? k ? 0 时,求折痕长的最大值; (3)当 ? 2 ? k ? ? 1 时,折痕为线段 P Q ,设 t ? k (2 | PQ | ?1) ,试 求 t 的最大值。
2

2

1-5,ABBBB 6-10 .DADAA 11-12, B C 4 得到直线的斜率 k=tanα=-cosθ 又因为 cosθ∈[-1,1],根据正切函数图象可得 α 的 范围为[0,Pai/4)∪(3Pai/4,π)直线倾斜角大于等于 0,小于 180.; 5tana=|k1-k2|/|1+k1*k2| k1*k2=1,|k1-k2|=√(k1+k2)^2-4k1*k2=2√3,tana=√3,a=6011. 做 A 点对 x 轴的对称点 C(1,-3),B 点和 C 点的距离即是 ||AP|-|Bp|| 最大值。 连接 CB,延长线交 X 轴于 P 点,设 P 点坐标(m,0)C、B、P 三点在一条直线上, 所以:(xP-xB)/(yP-yB)=(xB-xC)/(yB-yC) (m-5)/(0+2)=(5-1)/(-2+3) (m-5)/2=4/1 m-5=8 m=13 10. A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 x+y-7=0 和直线 x+y-5=0 上 则 x1+y1-7=0 , x2+y2-5=0 两式相加 x1+x2+y1+y2-12=0; (x1+x2) (y1+y2) /2+ /2-6=0 表示 AB 的中点在直线 x+y-6=0 原点到直线的最小距离为 6*6/(6√2)=3√2 二、13、 ? 1 ;14. y ? 2 x , 或 x ? y ? 3 ? 0 ;15、 x ? 2 y ? 2 ? 0 ;16、 ? ?
? ? 4 1? , 3 2? ?

三、解答题

设直线 l1、l2 的斜率存在,分别为 k1、k2,且夹角不是 90 度, l1 到 l2 的夹角为 θ(考虑方向),则 tanθ=(k2- k1)/(1+ k1k2) l1 与 l2 的夹角为 θ(不考虑方向),则 tanθ=∣(k2- k1)/(1+ k1k2)∣。 17、解解 (1) x ? 2 y ? 3 ? 0
k ? 5 2 1? 5 2 k | ? tan 45 ? ? 1 所

(2)设所求直线斜率为 k,因为,直线 5x+2y+3=0 的斜率为 ?

5 2

。所以,|

以, k ? ?

3 7

或k ?

7 3

所求直线方程为 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0.
x0 ? 3 y0 ? 1 , ) 2 2

18. 设

B (x0 , y0 )



AB

的 中 点

M (

在 直 线

CM

上 , 则

6?

x0 ? 3 2

? 10 ?

y0 ? 1 2

? 59 ? 0 ,即 3 x 0 ? 5 y 0 ? 55 ? 0 ???????①,

又点 B 在直线 BT 上,则 x 0 ? 4 y 0 ? 10 ? 0 B (10 ,5 ) ,? K
1 ? K BC 1 4
? BC 的直线方程为: 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

AB

?

5 ? ( ? 1) 10 ? 3

?

6 7 2 9

,

6 ? 7 1?

? 1 4

1 4 ? 6 7

有 BT 直线平分 ? B ,则由到角公式得 4
1?

,得 K BC ? ?

K BC

19.设线段 AB 的中点为 M ( 4 y 0 ? 1, y 0 ) ,点 M 到 l1 与 l 2 的距离相等,故
| 2 ? ( 4 y 0 ? 1) ? 5 y 0 ? 9 | 2 ?5
2 2

?

| 2 ( 4 y 0 ? 1) ? 5 y 0 ? 7 | 2 ?5
2 2

? y 0 ? ? 1 ,则点 M ( ? 3 , ? 1)

3

? 直线 l 的方程为

y?3 ?1? 3

?

x?2 ?3?2

,即 4 x ? 5 y ? 7 ? 0
x a ? y b ? 1,又

20.设 a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线 l 的方程为:
4 a 4 a ? 1 b 1 b ? 1 2

? P(4,1) 在直线

l

上,

?

?

?1

, 又 ?1 ?

4 a

?

1 b

? 2

4 ab

,? ab ? 16 ,? S ?

1 2

ab ? 8

, 等 号 当 且 仅 当

, 即 a ? 8, b ? 2 时成立,∴直线 l 的方程为:x+4y-8=0,

Smin=8
1 2

22、解:(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? ②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 D C 上的点记为 G ( a ,1) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 有 kOG ? k ? ? 1 ?
1 a ? k ? ?1 ? a ? ?k

故 G 点坐标为 G ( ? k ,1) , 从而折痕所在的直线与 O G 的交点坐标 (线段 O G 的中点)为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?
1 2 k 1 , ) 2 2 k 2
k
2

? k(x ?

) ,即 y ? kx ?
? 1 2

k

2

?

1 2

2

由①②得折痕所在的直线方程为: y ? kx ? (2)当 k ? 0 时,折痕的长为 2;

2

当 ? 2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕直线交 B C 于点 M (2, 2 k ?
k ?1
2

k

2

?

1 2

) ,交 y 轴于 N (0,

k ?1
2

)

2

2

∵ y ? | M N |2 ? 2 2 ? [

? (2k ?

k

2

?

1 2

)] ? 4 ? 4 k ? 4 ? 4 (7 ? 4 3 ) ? 3 2 ? 1 6 3
2 2

2

2

∴折痕长度的最大值为 3 2 ? 1 6 3 ? 2 ( 6 ? 2 ) 。 而 2( 6 ?
2 ) ? 2 ,故折痕长度的最大值为 2 ( 6 ?
1 2k k 2
2

2)

(3)当 ? 2 ? k ? ? 1 时,折痕直线交 D C 于 P (
k ?1
2

?

,1) ,交 x 轴于 Q ( ?

k ?1
2

, 0)

2k
2 k

∵ | P Q |2 ? 12 ? [ ? ∵ ?2 ? k ? ?1

?(

1 2k

?

k 2

)] ? 1 ?
2

1 k
2

∴ t ? k ( 2 | P Q | ? 1) ? k ?

2k

∴k ?

2 k

? ? 2 2 (当且仅当 k ? ? 2 ? ( ? 2, ? 1) 时取“=”号)

∴当 k ? ? 2 时, t 取最大值, t 的最大值是 ? 2 2 。

4


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