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江苏省无锡市第一中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试卷


江苏省无锡市第一中学 2013-2014 学年高二下学期期中考试数学(理) 试题
时间:120 分钟 一、 填空题:
2

分值:160 分

1.若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 Z=_____________ 2 从 5 名同学中选出正副组长各 1 名,有
3 2

种不同的选法.

3. 设 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于_____________ 4.曲线 y=

1 5 2 x +3x +4x 在 x=-1 处的切线的倾斜角是_____________ 5

5.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 时,有极值 10,则 a、b 的值为____________ 6.函数 y=x2(-

1 1 ≤x≤ )图象上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角 2 2

的范围是 _____________ 7.函数 f(x)=x3-3x+1,x∈[-3,0]的最小值是_________ 8. 曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为_________ 9.设复数 z ?
2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 (1 ? i) 2
3 2

________

10.在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数 共有 个。

11. 平面内有 n 条直线, 任两条直线不平行, 任三条直线不共点, 它们把平面划分成 f (n) 个互不相交的区域,则 f(n)的表达式是 (用 n 表示) . ,将此

12.在△ ABC 中,若 AB⊥ AC,AC=b,AC=a,则△ ABC 的外接圆半径

结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体 S﹣ABC 中,若 SA、SB、SC 两两垂直, SA=a,SB=b,SC=c,则四面体 S﹣ABC 的外接球半径 R= 13.利用数学归纳法证明“ 边应增加的项是 14 若关于 x 的方程 kx+1=lnx 有解,则实数 k 的取值范围是 . .

”,从 n=k 推导 n=k+1 时原等式的左

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

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15. (14 分) )用数学归纳法证明:

16.(!4 分)已知复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 3 ? 4i , i 为虚数单位. (1)若复数 z1 ? az2 对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围; (2)若 z ?

z1 ? z2 ,求 z 的共轭复数 z . z1 ? z2

17. (15 分)己知下列三个方程 x2+4ax﹣4a+3=0,x2+(a﹣1)x+a2=0,x2+2ax﹣2a=0 至少有 一个方程有实根,求实数 a 的取值范围.

18.(15 分)4 个男同学和 3 个女同学站成一排, (1)甲乙两同学之间必须恰有 3 人,有多少种 不同的排法? (2)甲乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?(3)女同学从左到右按高矮顺 序排,有多少种不同的排法?(3 个女生身高互不相等) 19. (16 分)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 在 x=1 处的切线方程为 6x﹣2y﹣1=0,f′ (x)为 f (x)的导函数,g(x)=a?ex(a,b,c∈R) . (1)求 b,c 的值; (2)若存在 x0∈(0,2],使 g(x0)=f′ (x0)成立,求 a 的范围.

20.(16 分)已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e] , g ( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 1 时,求证: f ( x) ? g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R x

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

答 案 1.± 2 i. 2。20 3 a=

10 3 .。4. α = π . 4 3

?a ? 3, ?a ? ?4, 5 ? 或? ?b ? ?3 ?b ? 11.

6 0≤α ≤

? 3? 或 ≤α <π 4 4

7. f(x)min=-17 8. y+1=-3(x-1) 9. -1

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10.192 14.

11. :

12.

13.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)用数学归纳法证明:

. 考点: 数学归纳法. 专题: 证明题. * 分析: 先证明 n=1 时,结论成立,再设当 n=k(k∈N )时,等式成立,利用假设证明 n=k+1 时,等式成立即可. 解答: 证明: (1)当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边= =左边,∴ 等式成立. (2)设当 n=k(k∈N )时,等式成立, 即 则当 n=k+1 时, 左边=1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)+(k+1) (k+2) (k+3) .
*

∴ n=k+1 时,等式成立. 由(1) 、 (2)可知,原等式对于任意 n∈N 成立. 点评: 本题考查数学归纳法证明等式问题,证题的关键是利用归纳假设证明 n=k+1 时,等式 成立,属于中档题. 16. a ? (? , )
*

1 1 3 2

z=-1+i
2 2 2 2

17. (15 分)己知下列三个方程 x +4ax﹣4a+3=0,x +(a﹣1)x+a =0,x +2ax﹣2a=0 至少有 一个方程有实根,求实数 a 的取值范围. 考点: 反证法与放缩法. 专题: 计算题. 分析: 至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根,由于正面解决此问题分类较 多,而其对立面情况单一,故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根,然后 2 由根的判别式解得三方程都没有根的实数 a 的取值范围,其补集即为个方程 x +4ax
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﹣4a+3=0,x +(a﹣1)x+a =0,x +2ax﹣2a=0 至少有一个方程有实根成立的实数 a 的取值范围.此种方法称为反证法 解答: 解:假设没有一个方程有实数根,则: 2 16a ﹣4(3﹣4a)<0(1) 2 2 (a﹣1) ﹣4a <0(2) 2 4a +8a<0(3) (5 分) 解之得: <a<﹣1(10 分) }.

2

2

2

故三个方程至少有一个方程有实根的 a 的取值范围是:{a|a≥﹣1 或 a≤

点评: 本题考查反证法,解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题,以达到简化解题 的目的,在求解如本题这类存在性问题时,若发现正面的求解分类较繁,而其对立面 情况较少, 不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围, 然后求此范围的补集, 即得所求范围, 本题中三个方程都是一元二次方程, 故求解时注意根的判别式的运用.
2 3 18. (1)甲乙两人先排好,有 A2 种排法,再从余下的 5 人中选 3 人排在甲乙两人中间,有 A5 种排法;这时

把已排好的 5 人看作一个整体,与最后剩下得 2 人再排,又有 A3 种排法这时共有 A2 ? A5 ? A3 ? 720 种不同
3 2 3 3

排法。 (2) .先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人有 A4 种排法,由于甲乙要相邻,故再把甲、乙排好,有 A2 种排 法, 最后把甲、 乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档中, 有 A5 种排法, 共有 A4 ? A2 ? A5 =960
2 4 2 2 4 2

(种)不同排法。 (3) .从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,有 A7 种排法;然后再在余下的 3 个空位置中排女生,由于女 生要按高矮排列,故仅有一种排法,共有 A7 ? 840 (种)不同排法。
4 4

19. (16 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx 在 x=1 处的切线方程为 6x﹣2y﹣1=0,f′ (x)为 f x (x)的导函数,g(x)=a?e (a,b,c∈R) . (1)求 b,c 的值; (2)若存在 x0∈(0,2],使 g(x0)=f′ (x0)成立,求 a 的范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题. 2 分析: (1)由 f′ (x)=3x +2bx+c,知 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=(3+2b+c)x﹣2﹣b, 故 ,由此能求出 f(x) . 成立,即方程 g(x)=f′ (x)在

3

2

(2)若存在 x0∈(0,2]使

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(0,2]上有解,故

,令

,则

=﹣

,由此能求出 a 的取值范围.

2 解答: 解: (1)∵ f′ (x)=3x +2bx+c, ∴ f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣(1+b+c)=(3+2b+c) (x﹣1) , 即 y=(3+2b+c)x﹣2﹣b,



,即





. 成立,

(2)若存在 x0∈(0,2]使 即方程 g(x)=f′ (x)在(0,2]上有解, ∴ a?e =3x ﹣3x+3, ∴ ,
x 2







=

=﹣



令 h′ (x)=0,得 x1=1,x2=2,列表讨论: x 1 (0,1) 0 h′ (x) ﹣ ↓ h(x) 极小值

(1,2) + ↑ ,

2 0 极大值

∴ h(x)有极小值 h(1)= ,h(x)有极大值 h(2)= 且当 x→0 时,h(x)→3> ∴ a 的取值范围是 . ,

点评: 本题考查实数值和实数取值范围的求法,具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和
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应用、切线方程的求法和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化.

20 .

4 (舍去)所以,此时 f ( x) 无最小值 e 1 1 1 ②当 0 ? ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ? f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3,? a ? e 2 ,满足条件 a 1 ③当 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, a 4 ? f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3,? a ? (舍去)所以,此时 f ( x) 无最小值 e ? f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3,? a ?
综上,存在实数 a ? e 2 ,使 f ( x) 最小值是 3。

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