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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 10.9 离散型随机变量的均值与方差练习


课时提升作业(六十九) 离散型随机变量的均值与方差
(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·聊城模拟)已知离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E(X)=(

)

2 3 2 ? x ? ? 1, 所以x ? 7 7. 【解析】选 B.依题意得: 7 2 2 3 1 ? 0 ? ? 1? ? 7 7 7. E(X)=(-1) × 7
【加固训练】(2015·嘉峪关模拟)签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的 号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6

【 解 析 】 选 B. 由 题 意 可 知 ,X 可 以 取 3,4,5,6,P(X=3)=

,P(X=4)=

,P(X=5)=

,P(X=6)=

.由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25.

1 2.已知随机变量ξ 的分布列为 P(ξ =k)= 3 ,k=1,2,3,则 D(3ξ + 5)=(
A.6 B.9 C.3 D.4

)

1 2 【解析】选 A.由 E(ξ )= 3 (1+2+3)=2,得 D(ξ )= 3 ,
D(3ξ +5)=32×D(ξ )=6. 3.(2015·枣庄模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取 5 次,设摸得白球数为 X,已知 E(X)=3,则 D(X)=( )

-1-

(5,
【解题提示】由题意知,X~B

3 3 3 ) (5, ) m ? 3 ,由 E(X)=5× m ? 3 =3 ,知 X~B 5 ,由此能求出 D(X). 3 3 ) m ? 3 ,所以 E(X)=5× m ? 3 =3,解得 m=2,所以

(5,
【解析】选 B.由题意知,X~B

3 3 3 6 (5, ) 5 ? ? (1 ? ) ? 5 ,所以 D(X)= 5 5 5. X~B
4.(2015·贵阳模拟)一份数学试卷由 25 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有 1 个选项是正 确的,每题选正确得 4 分,不选 或选错得 0 分,满分 100 分,小强选对任一题的概率为 0.8,则他在这次考试中得 分的期望为( ) A.60 分 B.70 分 C.80 分 D.90 分 【解析】选 C.设小强做对题数为ξ ,则ξ ~B(25,0.8),则他得分为 4ξ ,E(4ξ )=4E(ξ )=4×25×0.8=80. 5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围 是( )

【解析】选 C.由已知条件可得 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)= (1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2, 则 E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,

5 1 1 (0, ) 2 . 解得 p> 2 或 p< 2 ,又由 p∈(0,1),可得 p∈
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

?1  A出现, ? 0  A不出现, 则 X 的方差 D(X)等 6. 设一随机试验的结果只有 A 和 , 且 P(A)=p,令随机变量 X= ?
于 . 【解析】X 服从两点分布,故 D(X)=p(1-p). 答案:p(1-p) 7.已知 X 的分布列

1 23 则下列式子:①E(X)=- 3 ;②D(X)= 27 ;
-2-

1 ③P(X=0)= 3 ,正确的个数是

.

1 1 1 1 ? 0 ? ? 1? ? ? 3 6 3 ,故①正确. 【解析】由 E(X)=(-1)× 2

由 D(X)=

,知②不正确.由分

布列知③正确. 答案:2 8.(2015·上海模拟)已知随机变量ξ 所有的取值为 1,2,3,对应的概率依次为 p1,p2,p1,若随机变量ξ 的方差

1 D(ξ )= 2 ,则 p1+p2 的值是

.

【解题提示】由分布列的性质可得 2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得 E(ξ )的值,由方差的计算公式可 得 D(ξ ),进而即可解得 p1,p2. 【解析】由分布列的性质可得 2p1+p2=1,(*) 由数学期望的计算公式可得 E(ξ )=1×p1+2×p2+3×p1=2(2p1+p2)=2.

1 1 由方差的计算公式可得 D(ξ )=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1= 2 ,解得 p1= 4 , 1 1 1 把 p1= 4 代入(*)得 2× 4 +p2=1.解得 p2= 2 , 1 1 3 所以 p1+p2= 4 + 2 = 4 . 3 答案: 4
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.美国 NBA 总决赛采用七局四胜制,赛前预计参加决赛的两队实力相当,且每场比赛组织者可获得 200 万美 元,问: (1)比赛只打 4 场的概率是多少? (2)组织者在本次比赛中获利不低 于 1200 万美元的概率是多少? (3)组织者在本次比赛中获利的期望是多少?

1 1 P ? 2 ? ( )4 ? 2 8. 【解析】(1)依题意,某队以 4∶0 获胜,其概率为
(2)组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元,则两队至少打 6 场比赛,分两种情况:

①只打 6 场,则比赛结果应是某队以 4∶2 获得胜利,其概率为 P1=

×

1 5 ( )6 ? 16 ,②打 7 场,则比赛结 × 2
-3-

果应是某队以 4∶3 获得胜利,其概率为 P2=

1 5 5 ( )7 ? 16 ,由于两种情况互斥,所以 P=P1+P2= 8 , × 2

5 所以获利不低于 1200 万美元的概率为 8 .
(3)设组织者在本次比赛中获利ξ 万美元,则ξ 的分布列为

=1162.5(万美元). 因此组织者在本次比赛中获利的期望是 1162.5 万美元. 10.(2015·永州模拟)抛掷 A,B,C 三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0<a<1):

将这三枚纪念币同时抛掷一次,设ξ 表示出现正面向上的纪念币的个数. (1)求ξ 的分布列及数学期望. (2)在概率 P(ξ =i)(i=0,1,2,3)中,若 P(ξ =1)的值最大,求 a 的最大值. 【解析】(1)由题意知ξ 个正面向上,3-ξ 个背面向上. ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

所以ξ 的分布列为

-4-

1 1 1 a 2 4a ? 1 ? . 2 所以ξ 的数学期望为 E(ξ )=0× 2 (1-a)2+1× 2 (1-a2)+2× 2 (2a-a2)+3× 2 1 (2)P(ξ =1)-P(ξ =0)= 2 [(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a), 1 1 ? 2a P(ξ =1)-P(ξ =2)= 2 [(1-a2)-(2a-a2)]= 2 , 1 1 ? 2a 2 P(ξ =1)-P(ξ =3)= 2 [(1-a2)-a2]= 2 .

1 1 (0, ] 2 ,即 a 的最大值为 2 . 即 a 的取值范围是
(20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2015· 湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜,但其中 只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( )

1 【解析】选 C.已知每一位学生打开柜门的概率为 n ,所以打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望) 1 1 1 n ?1 为 1× n +2× n +?+n× n = 2 .
2.(5 分)(2015·杭州模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人

2 1 比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 3 , 乙在每局中获胜的概率为 3 ,且各局胜负相
互独立,则比赛停止时已打局数ξ 的期望 E(ξ )为( )
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【解析】选 B.依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6.

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? 3 9 ,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 3 5 乙在该轮中必是各得一分 , 此时 , 该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没 有影响 , 从而有 P( ξ =2)= 9 ,P( ξ 4 5 20 4 16 ? ? ( )2 ? . 81 =4)= 9 9 81 ,P(ξ =6)= 9

3.(5 分)(2015·开封模拟)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的概率分布列如表:

请小牛同学计算ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处 的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )= . 【解析】设 P(ξ =1)=x,则 P(ξ =3)=x, 由分布列性质,所以 P(ξ =2)=1-2x, 因此 E(ξ )=1·x+2·(1-2x)+3·x=2. 答案:2 【加固训练】某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲

2 公司面试的概率为 3 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.设 X 为 1 该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= 12 ,则 D(X)=

.

【解析】由题意知,

-6-

13 答案: 18
4.(12 分)受轿 车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间 有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年.现从该厂 已售出的两种品牌轿车中各随机抽 取 50 辆,统计数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别 求 X1,X2 的分布列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 ,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车 .若从经济效益的 角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.

2?3 1 ? 10 . 【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则 P(A)= 50
-7-

(2)依题意得,X1 的分布列为

X2 的分布列为

(3)由(2)得 E(X1)= =2.86(万元),

1 9 ? 2.9 ? 10 =2.79(万元). E(X2) =1.8× 10
因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 5.(13 分)(能力挑 战题)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米 的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健 康和大气环境质量的影响很大.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/ 立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以 上空气质量为超标.某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值 如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记ξ 表示空气质量达到一级的天数,求ξ 的分布列. (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.

【解析】(1)由题意知 N=15,M=6,n=3, ξ 的可能取值为 0,1,2,3,
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其分布列为 P(ξ =k)=

(k=0,1,2,3),

所以 P(ξ =0)=

所以ξ 的分布列是:

p?
(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 一年中空气质量达到一级的天数为η ,

6 2 ? , 15 5

2 (360, ) 5 , 则η ~B 2 所以 E(η )=360× 5 =144,
所以一年中空气质量达到一级的天数为 144 天.

-9-


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