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广州市2014届高三年级调研测试文数


试卷类型:A

广州市 2014 届高三年级调研测试

数 学(文 科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

2014.1

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式: 锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.函数 y ?

4 ? x 的定义域是
B. ? ??, 4 ? C. ? 4, ?? ? D. ? 4, ?? ?

A. ? ??, 4 ?
2

2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ,或x ? ?1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

3.如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为 A. 85,84 C. 86,84 4.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 A. ?i B. ?1 B. 84,85 D. 84,86

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
图1

2 2 ? i 的虚部是 z
C. i

D.1

5.若集合 A, B 满足 A ? ? x ? Z | x ? 3? , B ? N ,则 A ? B 不可能 是 ... A. {0,1, 2} B. {1, 2} C. {?1} D. ?

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 开始 输 入 B.105 C.120 D.720 否 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


N

k ? k ?2
8.某几何体的三视图(如图 3 所示)均为边长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体的表面积是 A. 4 ? 4 2 C. 4 ? 2 B. 4 2 D. 8 ? 4 2 正视图

图2

侧视图

俯视图 9.若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有

图3

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

10.函数 f ( x) ? sin x ? x 在区间 ? 0, ?? ? 内 A.没有零点 C.有且仅有 2 个零点 B.有且仅有 1 个零点 D.有且仅有 3 个零点

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若向量 m ? ?1, 2 ? , n ? ? x,1? 满足 m ? n ,则 | n |? __________. 12.在等比数列 {an } 中,若 a 2 ? a 3 ? 3a1 ,则 a4 ? .
?

13.在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ,则满足 ?AMB ? 90 的概率为_______. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M .
C B

M O N

A

若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为

. 图4

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

y ? x ? ?2 ? cos ? 若点 P( x, y ) 在曲线 ? ( ? 为参数, ? ? R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?



三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 ? . 2 3

17. (本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动. 他们 的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组: 第 1 组 [25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) , 第 4 组 [40, 45) ,第 5 组 [45,50] ,得到的频率分 布直方图如图 5 所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 图5

[25,30)

[30,35)

[35, 40)

[40, 45)

[45,50]

25

a

b

(1)求正整数 a , b , N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人 数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组 的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PC ? BC , M 为 PB 的中点, D 为 AB 的中 点,且△ AMB 为正三角形. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; P (2)若 BC ? 4 , PB ? 10 ,求点 B 到平面 DCM 的距离.

M A D 图6 B C

19. (本小题共 14 分) 设数列 ?a n ?满足 a1 ?

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N* . ?1 2 2 2

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? an ? 1?? an?1 ? 1?

20. (本小题满分 14 分) 在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D .当点 P 在圆上运动时,
2 2

动点 M 满足 PD ? 2MD ,动点 M 形成的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)已知点 E ?1,0? ,若 A, B 是曲线 C 上的两个动点,且满足 EA ? EB ,求 EA ? BA 的取值 范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? ? a ? 2 ? x .
2

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 [a , a] 上的最大值.
2

广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评 分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 答案 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D A

D C

D B

A C B

二.填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 5 12.3 13.

? 8

14.1

15. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .??????????????????1 分 所以 cos

A?C ? ?B ?????????????????????2 分 ? cos 2 2
? sin B 3 ? .?????????????????????3 分 2 3
2

所以 cos B ? 1 ? 2sin

B ????????????????????5 分 2

1 ? .????????????????????????7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,??????????????????9 分
2 2 2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 .????????????????????????11 分
2

解得 c ? 1 .?????????????????????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布直方图可知, [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同, 所以 a ? 25 人.??????????????????????????1 分 且 b ? 25 ?

0.08 ? 100 人.???????????????????????2 分 0.02
25 ? 250 人.????????????????????3 分 0.02 ? 5

总人数 N ?

(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽 取的人数分别为: 第 1 组的人数为 6 ? 第 2 组的人数为 6 ? 第 3 组的人数为 6 ?

25 ? 1,??????????????????????4 分 150 25 ? 1,?????????????????????5 分 150
100 ? 4 ,?????????????????????6 分 150

所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.???????????????7 分 (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A ,第 2 组的 1 人为 B ,第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为:

( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) , (C1 , C2 ) , , ( A ,B ) (C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) ,共有 15 种.???????9 分
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:

( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) ,共有 8 种.
????????????????11 分

所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为

8 .????????????????12 分 15

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:在正 ?AMB 中, D 是 AB 的中点,所以 MD ? AB .??????????1 分 因为 M 是 PB 的中点, D 是 AB 的中点,所以 MD // PA ,故 PA ? AB .????2 分 又 PA ? AC , AB ? AC ? A , AB, AC ? 平面 ABC , 所以 PA ? 平面 ABC .????????4 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .??5 分 又 PC ? BC, PA ? PC ? P, PA, PC ? 平面 PAC , 所以 BC ? 平面 PAC .??????????7 分 (2)解法 1:设点 B 到平面 DCM 的距离为 h ,?8 分 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .?????????????9 分 因为 BC ? 4, BC ? AC ,所以 AC ? 3 . 所以 S?BCD ? A D B C M P

1 1 1 1 1 S?ABC ? ? ? BC ? AC ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .?????????10 分 2 2 2 2 2
2 2

5 3 ?5? 因为 MD ? 5 ? ? ? ? , 2 ?2?
由(1)知 MD // PA ,所以 MD ? DC . 在 ?ABC 中, CD ? 所以 S ?MCD ?

1 5 AB ? , 2 2

1 1 5 3 5 25 3 ? MD ? CD ? ? ? ? .????????11 分 2 2 2 2 8

因为 VM ? BCD ? VB ? MCD ,????????????????????12 分 所以

1 1 S ?BCD ? MD ? S ?MCD ? h , 3 3
5 3 1 25 3 ? ? ? h .??????????????????13 分 2 3 8

即 ? 3?

1 3

所以 h ?

12 . 5

12 .????????????????14 分 5 解法 2:过点 B 作直线 CD 的垂线,交 CD 的延长线于点 H ,??????????8 分
故点 B 到平面 DCM 的距离为 由(1)知, PA ? 平面 ABC , MD // PA , 所以 MD ? 平面 ABC . 因为 BH ? 平面 ABC ,所以 MD ? BH . 因为 CD ? MD ? D ,所以 BH ? 平面 DCM . 所以 BH 为点 B 到平面 DCM 的距离.???9 分 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .??10 分 因为 D 为 AB 的中点,所以 CD ? BD ? 以下给出两种求 BH 的方法: 方法 1:在△ BCD 中,过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E , 则 DE ? 因为 A D H B E M C P

5 . 2

1 3 AC ? .??????????????????????????11 分 2 2

1 1 ? CD ? BH ? ? BC ? DE ,????????????????12 分 2 2

所以 BH ?

BC ? DE ? CD

4?

3 2 ? 12 . 5 5 2
25 . 4

方法 2:在 Rt △ BHD 中, BH ? DH ? BD ?
2 2 2

①??????11 分

在 Rt △ BHC 中,因为 BC ? 4 , 所以 BH ? CH ? BC ,
2 2 2

5? ? 即 BH ? ? DH ? ? ? 16 . 2? ?
2

2

②???????12 分

由①,②解得 BH ?

12 . 5

故点 B 到平面 DCM 的距离为

12 .?????????????????14 分 5

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a1 ?

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N* , ?1 2 2 2



所以当 n ? 1时, a1 ? 2 .?????????????????????1 分 当 n ? 2 时, a1 ? ①-②得,
n

an ?1 a2 a3 ? 2 ??? n ? 2 ? n ? 1? , 2 2 2 ?2

② ???????2 分

an ? 2 .????????????????????????4 分 2n ?1

所以 an ? 2 .????????????????????????????5 分 因为 a1 ? 2 ,适合上式, 所以 an ? 2
n

? n ? N ? .???????????????????????6 分
*

(2)由(1)得 an ? 2 .
n

所以 bn ?

an 2n ? n ???????????8 分 ? an ? 1?? an?1 ? 1? ? 2 ? 1?? 2n?1 ? 1?

?

1 1 ? n ?1 .??????????????????????10 分 2 ?1 2 ?1
n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? ????????12 分 ? 3 ? ? 3 7 ? ? 7 15 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?

? 1?

1 2
n ?1

?1

.???????????????????????14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:由 PD ? 2MD 知点 M 为线段 PD 的中点.????????????1 分 设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,则点 P 的坐标是 ? x, 2 y ? .????????????2 分

因为点 P 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2
2 所以 x ? ? 2 y ? ? 4 .???????????????????????3 分 2

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .???????????????4 分 4

解法 2:设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ? x 0 , y 0 ? , 由 PD ? 2MD 得, x0 ? x , y 0 ? 2 y .????????????????1 分
2 2 因为点 P ? x 0 , y 0 ? 在圆 x ? y ? 4 上, 所以 x0 ? y 0 ? 4 .
2 2

①??????2 分

把 x0 ? x , y 0 ? 2 y 代入方程①,得 x ? 4 y ? 4 .?????????????3 分
2 2

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .???????????????????4 分 4

(2)解:因为 EA ? EB ,所以 EA ? EB ? 0 .???????????????5 分 所以 EA ? BA ? EA ? EA ? EB ? EA .?????????????????7 分 设点 A ? x1 , y1 ? ,则

?

?

2

x12 x2 ? y12 ? 1 ,即 y12 ? 1 ? 1 .????????????8 分 4 4
2 2 2

所以 EA ? BA ? EA ? ? x1 ? 1? ? y1 ? x1 ? 2 x1 ? 1 ? 1 ?
2

??? ? ??? ?

??? ?2

x12 4

3 3? 4? 2 ? x12 ? 2 x1 ? 2 ? ? x1 ? ? ? .??????????????????10 分 4 4? 3? 3
因为点 A ? x1 , y1 ? 在曲线 C 上,所以 ?2 ? x1 ? 2 .????????????11 分

所以

2 3? 4? 2 ? ? x1 ? ? ? ? 9 .????????????????????13 分 3 4? 3? 3

2

9? .???????????????????14 分 所以 EA ? BA 的取值范围为 ? ,

?2 ? ?3 ?

21. (本小题满分 14 分)

解: (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x ,
2

所以函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) .???????????????????1 分 且 f ?( x) ?

1 ? 2ax ? (a ? 2) .?????????????????????2 分 x

因为 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 所以 f ? ?1? ? 1 ? 2a ? ? a ? 2 ? ? 0 . 解得 a ? ?1 .?????????????????????????????3 分 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 当0 ? x ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) , ? 2x ? 3 ? x x

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

所以 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. 故 a ? ?1 .????????????????????????????4 分 (2)因为 a ? a ,
2

所以 0 ? a ? 1.??????????????????????????????5 分 由(1)知 f ?( x) ? ?

(2 x ? 1)(ax ? 1) . x

因为 x ? (0, ??) ,所以 ax ? 1 ? 0 . 当0 ? x ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
? ? 1? 2? ?1 ? , ?? ? 上单调递减.????????7 分 ?2 ?

所以函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增;在 ? ①当 0 ? a ?

1 2 时, f ( x) 在 [a , a] 上单调递增, 2
3 2

所以 ? f ( x) ?max ? f (a) ? ln a ? a ? a ? 2a .????????????????9 分

1 ? a? , ? 1 2 ? ? 2 1? ?1 ? 2 ②当 ? 即 ?a? 时, f ( x) 在 ? a , ? 上单调递增,在 ? , a ? 上单调递减, 2? 2 ? ?2 ? ?a 2 ? 1 . 2 ? ? 2
所以 ? f ( x) ?max ? f ?

a a?2 a ?1? ? ? 1 ? ln 2 .????????11 分 ? ? ? ln 2 ? ? 4 2 4 ?2?

③当

2 1 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上单调递减, ? a 2 ,即 2 2
2 5 3 2

所以 ? f ( x) ?max ? f (a ) ? 2 ln a ? a ? a ? 2a .?????????????13 分 综上所述: 当0 ? a ?

1 2 3 2 时,函数 f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2



1 2 a 2 时,函数 f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; ?a? 2 2 4
2 ? a ? 1时,函数 f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 .????14 分 2




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