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山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅰ 卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足方程 z ? ( z ? 2)i (i 为虚数单位),则 z = (A) 1 ? i (A) (0,1] (B) 1 ? i
2

1 1 则 2.已知集合 A ? x x > ,B = x log 2 x< , (?R A) ? B ?
(B) (0,1) (C) [0,1] (D) [?1,1] 3.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两 名运动员这项测试成绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的 标准差,则有 (A) x1>x2 , s1<s2 (C) x1 ? x2 , s1>s2 4.下列选项中叙述错误的是 .. (A)命题“若 x ? 1 ,则 x ? x ? 0 ”的逆否命题为真命题
2 2 (B)若 p : ?x ?R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ?R , x2 ? x ?1 ?0 0 0 0

?

?

?

(C) ? 1 ? i

?

(D) ? 1 ? i

(B) x1 ? x2 , s1<s2 (D) x1<x2 , s1>s2

甲 9 6554 1 0 1 2

乙 7 3557 3

(C) x>1 ”是“ x ? x>0 ”的充分不必要条件 “
2

(D)若“p∧q”为假命题,则“p∨q”为真命题 5.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 , 则 a, b, c 的大小关系是 (A) a>c>b (B) a>b>c (C) c>a>b (D) b>c>a

3 5

2

2 5

3

2 5

2

6.要得到函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) 的图象,只需将函数 g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象

π 3

π 3

π 个单位长度 2 π (C)向左平移 个单位长度 4
(A)向左平移

π 个单位长度 2 π (D) 向右平移 4
(B)向右平移

1 1

个单位长度 7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为
1 1 1 正视图

3

侧视图

第 7 题图

(A) 2 3

(B) 2 5

(C)

4 3 3

(D)

5 3 3

8.2013 年中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演习的有 5 艘军舰,4 架飞机;俄方有 3 艘军舰,6 架飞机. 若从中、俄两方中各选出 2 个单位(1
俯视图 架飞机或一艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同) ,

且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 (A)51 种 (B)224 种
2

(C)240 种
x

(D)336 种

9.如图是函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的部分图象,函数 g ( x) ? e ? f ?( x) 的零点所在的区间是 (k , k ? 1) (k ? z ) ,则 k 的值为 (A)-1 或 0 (B)0 (C)-1 或 1 (D)0 或 1
-1 1.

10. ( x ? a )(2 x ? ) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常
5

1 x

O

x

数项为 (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 11.已知矩形 ABCD 的边 AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y ? a sin 2ax

(a>0) 的一个完整周期的图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 的周长的最小值为
(A) 8 π (B) 4 2 π (C) 4 π (D) 2 2 π 12.某农户计划种植黄瓜和西红柿,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 48 万元, 假设种植黄瓜和西红柿的产量成本和售价如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 黄瓜 西红柿 4吨 6吨 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和西红 柿的种植面积(单位:亩)分别为: (A)10,40 (B)20,30 (C)30,20 (D)40,10

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ (非选择题 卷

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 13.若不等式 2x ? a ? a≤4 的解集为 x ?1≤x≤2 ,则实数 a ? .

?

?

2

x2 y 2 14.过双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF a b
(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 且 PA=PB=2,PC=3,则此球的表面积为 . . y
C D B

15.已知三棱锥 P—ABC,点 P,A,B,C 都在球面上,若 PA,PB,PC 两两垂直, 16.如右图放置的正方形 ABCD,AB=1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC ·OB 的最大值 是 . 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ?cos
2





O

A

x

?
2

x?

π 3 sin ? x 的图象上两相邻对称轴间的距离为 (?>0) . 2 2
1 , c ? 3, △ABC 的面 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? 积是 3 3 ,求 a 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中, ∠APB=90° ,∠PAB=60° AB=BC=CA=PC. , (Ⅰ)求证:平面 APB⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 B—AP—C 的余弦值. A

P

B

19. (本小题满分 12 分)
2

C

已知当 x ? 5 时,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 取得最小值,等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) , a2 ? ?7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 且 bn ?

an 9 ,证明 Tn ≤ ? . n 2 2
频率/组距

20. (本小题满分 12 分) 某市统计局就本地居民的月收入调查 0.0005 了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频
0.0003 30.0002 0.0001 0

1000

2000

3000

4000 月收入(元)

率分布直方图 (每个分组包括左端点, 不包括右端点, 如第一组表示月收入在[1000, 1500) , 单位:元). (Ⅰ)估计居民月收入在[1500,2000)的概率; (Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (Ⅲ)若将频率视为概率,从本地随机抽取 3 位居民(看做有放回的抽样) ,求月收 入在[1500,2000)的居民数 X 的分布和数学期望.

21. (本小题满分 13 分)
2 2 已知直线 l:y ? x ? 6, 圆 O:x ? y ? 5, 椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a>b>0) 的离心率 b2

e?

3 , 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (1)若AF =2FB 求直线 l 的方程; (2)若动点 P 满足OP =OA +OB , 问动点 P 的轨迹能否与椭圆 C 存在公共点?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.





→ → →

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe
1? x

(a ?R, e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)若不等式 f ( x)>0 对于一切 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最小值; (Ⅱ)若对任意的 x0 ? (0,e], 在 (0, e] 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1 2

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准
2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与
4

难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(A) 3.(B) 4.(D) 5.(A) 6.(C) 7.(D) 8.(C) 9.(C) 10.(A) 11.(B) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 1 三、解答题: 17. 解:由已知,函数 f ( x ) 周期为π .????????????????(1 分) ∵ f ( x) ? ? cos
2

14.

2

π 15. 17

16. 2

?x
2

?

3 1 ? cos ? x 3 sin ? x ? ? ? sin ? x ???(2 分) 2 2 2

?

3 1 1 sin ? x ? cos ? x ? 2 2 2

π 1 ? sin(? x ? )? ,?????????????????(3 分) 6 2 2 π π 1 =2 , ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? .???????????(4 分) ∴? ? π 6 2 π π 3 2 5 π π π π (Ⅰ)由 2k ? ≤2 x ? ≤2k ? π, 得 2k ? π ≤2 x≤2k ? π , 2 6 2 3 3 π 5 π π ∴ k ? ≤x≤k ? π (k ? z ) 3 6 π 5 π π ∴ f ( x ) 的单调减区间是 [k ? , k ? π ](k ? z ) .?????????(6 分) 3 6 1 π 1 1 π (Ⅱ)由 f ( A) ? , 得 sin(2 A ? ) ? ? , sin(2 A ? ) ? 1 .???????(7 分) 2 6 2 2 6 π π 11 ∵ 0<A<π ,∴ ? <2 A ? < π ,?????????????(8 分) 6 6 6 π π π ∴ 2 A ? ? , A ? .???????????????????(9 分) 6 2 3 1 由 S? ABC ? bc sin A ? 3 3, c ? 3, 2 得 b ? 4 ,??????????????????????????(10 分) 1 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 16 ? 9 ? 2 ? 4 ? 3 ? ? 13 ,??????(11 分) 2
5

故 a ? 13 ?????????????????????????(12 分) 18.解(Ⅰ)过 P 作 PO⊥AB,垂足为 O,连结 OC. 设 AB=2,则
z P

1 PA ? 1, AO ? ,???????????(1 分) 2 1 在△AOC 中, AO ? , AC ? 2, ?BAC ? 60? , 2
13 由余弦定理得 OC ? . ?????????(2 分) 2
在△POC 中, PO ?

A

O

B C

y

x

3 13 , OC ? , PC ? 2 , 2 2

则 PO2 ? OC 2 ? PC 2 , ∴PO⊥OC.???????????????(3 分) 又 AB ? OC ? O ,∴PO⊥平面 ABC????????????????(4 分) 又 PO ? 平面 APB,?????????????????????(5 分) ∴平面 APB⊥平面 ABC.???????????????????(6 分) (Ⅱ)以 O 为坐标原点,OB、OP 所在直线为 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直线坐标系,则

A( 0 ? , ??? ?

1 , 0C , ) 2

1 3 ( 3 , P0 ) , ( 0 , 0 , , ) .??????????????(7 分) 2 2 ??? ? 1 3 ), 2 2

∴ AC ? ( 3,1,0), AP ? (0, ,

设平面 APC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ), 则

???? ? 3 x1 ? y1 ? 0, ?n ? AC ? 0, ? ? ∴ ?1 ??????????????( 9 分) ? ? ??? 3 z1 ? 0, ?n ? AP ? 0, ? y1 ? ? ?2 2
令 x1 ? 1, 则 n ? (1, ? 3,1) . 而平面 APB 的一个法向量为 m ? (1, 0, 0), ?????????????(10 分) 设二面角 B-AP-C 的平面角为 ? ,易知 ? 为锐角,

6

则 cos ? ?

n?m n m

?

1 5 .??????????????(11 分) ? 3 ?1?1 5
5 .???????????????(12 分) 5

即二面角 B-AP-C 的余弦值为

19. (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a ? b ? c, ???????????????(1 分) 当 n≥2 时 , an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? b ? a, ? ?? ??? ?? ?? ??( 2 分) 又 a1 适合上式,得 2a ? b ? a ? a ? b ? c, ∴ c ? 0 .?????????(3 分) 由已知 a2 ? 4a ? b ? a ? 3a ? b ? ?7, ?

b ? 5, 2a

?3a ? b ? ?7, ?a ? 1, ? 解方程组 ? b 得? ??????????????(5 分 ) ? ?5 ?b ? ?10, ? 2a ?
∴ an ? 2n ? 11 .???????????????????????(6 分) (Ⅱ) bn ?

2n ? 11 , 2n ?9 ?7 2n ? 11 ? 2 ? ??? ? ∴ Tn ? ① 2 2 2n 1 ?9 2n ? 13 2n ? 11 Tn ? ......... 2 ? ??? ? ? n ?1 ②?????????????? 分) (7 2 2 2n 2 1 9 2 2 2n ? 11 ① - ② 得 Tn ? ? ? 2 ? ... ? n ? ???????????(8 分) 2 2 2 2 2n ?1

1 1 (1 ? n ?1 ) 9 2 2n ? 11 2 ?? ? ? n ?1 1 2 2 1? 2 7 1 2n ? 11 ? ? ? n ?1 ? n ?1 ,?????????????????????(9 分) 2 2 2 2n ? 7 ∴ Tn ? ?7 ? .??????????????????????(10 分) 2n 9 则 T1 ? ? , 2 9 7 9 T2 ? ? ? < ? , 2 2 2
7

9 7 5 9 T3 ? ? ? - < ? ,?????????????????????(11 分) 2 2 2 2 2n ? 7 2n ? 7 9 >0, ∴ Tn ? ?7 ? < ? 7< ? , 当 n≥4 时, n n 2 2 2 9 综上,得 Tn ≤ ? .???????????????????????(12 分) 2
20.解(Ⅰ)居民月收入在[1500,2000)的概率约为

1 ? ( 0 . 0 0 0 2 0 . 0?0 0 1 0? 0 0 0 3 ? 0 . ? 0??????????(2 分) ? . 0 05 2) 500 ? 1 ? 0.0016 ? 500 ? 1 ? 0.8 ? 0.2. ?????????????????(3 分)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在[2000,2500), 设中位数为 x,则

0 . 0 0 0 2 5 ? 0 ? . 2 0x 0 ? 0 5 ( ? 2 0 0 0 ) 0 . 5 , ? 0 0 . 0 ??????????(5 分) 解得 x ? 2400 .???????????????????????(6 分) (Ⅲ)居民月收入在[1000,2000)的概率为 0 . 0 0 0 2 5? 0 ? 0 ? . 2 ???????????????????(7 分) 0 0 . 3,
由题意知,X~B(3, 0.3),???????????????????(8 分)
0 因此 P( x ? 0) ? C3 ? 0.73 ? 0.343, 1 P( x ? 1) ? C3 ? 0.72 ? 0.3 ? 0.441, ?????????????(9 分) 2 P( x ? 2) ? C3 ? 0.7 ? 0.32 ? 0.189, 3 P( x ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.027. ???????????????(10 分)

故随机变量 X 的分布列为 X P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027

??(11 分)

X 的数学期望为 3×0.3=0.9.?????????????????(12 分) 21.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,圆心 O 到直线 l 的距离为

d?

6 ? 3, ???????????????????(1 分) 1?1

∴ b ? 5?3 ?

2 .???????????????????(2 分)

由题意得

c 3 ? , a 3 a 2 ? b 2 ? c 2 , ????????????????(3 分) b ? 2,

解得 a ? 3, b ? 2.
2 2

8

x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. ??????????????(4 分) 3 2
(Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率为 0 时,检验知 AF ? 2FB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由 AF ? 2 FB ,得 (1 ? x1 , ? y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ), 则有 y1 ? ?2 y2 ①?????????????????????(5 分)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

设直线 l: x ? my ? 1,

? x ? my ? 1, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1, ? ? ?3 2
消去 x,整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0. ∴ y1 ? y2 ? ?

4m ?4 , y1 y2 ? . 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

结 合 ① , 得 y1 ? ? 代入 y1 y2 ?

8m 4m , y2 ? . ??????????(6 分) 2 2m ? 3 2m 2 ? 3
8m 4m 4 ?? , × 2 2 2m ? 3 2m ? 3 2m 2 ? 3

4 2m ? 3
2

, 得?



8m 2 2 ? 1, 解得 m ? ? , 2 2m ? 3 2

故直线 l 的方程是 x ? ?

2 y ? 1. ????????????????(7 分) 2

??? ??? ??? ? ? ? (2)问题等价于在椭圆上是否存在点 P,使得 OP ? OA ? OB 成立.????(8 分) 当直线 l 的斜率为 0 时,可以验证不存在这样的点,
故设直线 l 的方程为 x ? my ? 1, 用(1)的设法,可得 P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ). 若点 P 在椭圆 C 上,则

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ? 1, 3 2

9

x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 y12 ? 2 y1 y2 ? y2 2 ? ? 1. 即 3 2
又点 A,B 在椭圆上,有

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1, 3 2 3 2

2 x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 0, 即 2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ②????????(10 分) 3 由(1)知 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1)


? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1
?? 8m2 ? 1, 2m 2 ? 3

16m2 12 ?2? ? 3 ? 0. 代入②式得 ? 2 2m ? 3 2m 2 ? 3
解得 m ?
2

1 2 ,即 m ? ? .?????????????????(11 分) 2 2

当m ?

4m 2 2 时, y1 ? y2 ? ? ?? , 2 2m ? 3 2 2
1 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 2 ? ; 2 2

当m ? ?

4m 2 2 时, y1 ? y2 ? ? ? , 2 2m ? 3 2 2
1 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 2 ? . ???????(12 分) 2 2

故椭圆 C 上存在点 P ( , ?

3 2

??? ??? ??? ? ? ? 2 ) ,使得 OP ? OA ? OB 成立, 2
3 2 2 ) .?(13 分) 2

即动点 P 的轨迹与椭圆 C 存在公共点,公共点的坐标是 ( , ? 22.解: (Ⅰ)由题意得 (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x>0 在 (0, ) 内恒成立, 即 a>2 ?

1 2

2 ln x 1 在 (0, ) 内恒成立,???????????(1 分) x ?1 2
10

2 ln x 1 , x ? (0, ), 则 h?( x) ? 设 h( x ) ? 2 ? x ?1 2
设 ? ( x) ? 2 ln x ?

2 ln x ?

2 ?2 x , ?(2 分) ( x ? 1) 2

2 1 2 2 ? 2, x ? (0, ), 则 ? ?( x) ? ? 2 <0, x 2 x x 1 1 ∴ ? ( x) 在 (0, ) 内是减函数,∴ ? ( x)>? ( ) ? 2 ? 2 ln 2>0, ?(4 分) 2 2 1 ∴ h?( x)>0, h( x) 在 (0, ) 内为增函数, 2 1 则 h( x)<h( ) ? 2 ? 4 ln 2, ∴ a≥2 ? 4ln 2, 2 故 a 的最小值为 2 ? 4 ln 2.???????????????(6 分)
(Ⅱ)∵ g ( x) ? xe1? x , ∴ g?( x) ? (1 ? x)e1? x , ∴ g ( x) 在(0,1)内递增,在(1,e)内递减. 又∵ g (0) ? 0, g (1) ? 1, g (e) ? e2?e>0, ∴函数 g ( x) 在(0,e)内的值域为(0,1]?????????????(7 分) 由 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, 得 f ?( x) ?

(2 ? a) x ? 2 . x

①当 a≥2 时, f ?( x )<0, f ( x ) 在(0,e]上单调递减,不合题意;??(8 分)

②当 a<2 时,令 f ?( x)>0, 则 x> ⅰ)当

2 2 ; 令 f ?( x)<0, 则 0<x< . 2?a 2?a

2 2 ≥ e ,即 2 ? ≤a<2 时, f ( x) 在(0,e]上单调递减,不合题意; 2?a e
???????????????(9 分)

2 2 2 2 < e ,即 a<2 ? 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递减,在 ( , e] 上 ⅱ)当 2?a e 2?a 2?a
单调递增.

2 2 2 ?a ) ? a ? 2 ln , a<2 ? , 则 m?( a ) ? , 2?a 2?a e 2?a e ∴ m( a ) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, 2 ? ] 上单调递减; 2
令 m( a ) ? f (
11

2 e ≤0 在 (??, 2 ? ) 上恒成立.???(10 分) 2?a 2 2 1 t ?1 令t ? ,则 t>0, 设 k (t ) ? ln t ? , t>0, 则 k ?(t ) ? 2 , 2?a t t
∴ m(a)≤m(0)=0, a ? 2 ln 即 ∴ k (t ) 在(0,1)内单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, ∴ k (t )≥k (1)=1 0, ln t ? >0, ∴ ln t>- , > 即
a ?2 a ?3 2 2 >e >e 2 . ∴ t>e , 即 2?a

1 t

1 t

?

1 t

∵当 x ? (0,e

a ?3 2

) 时, f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x>a ? 2 ? 2ln x>a ? 2 ? (a ? 3) ? 1,

且 f ( x ) 在 (0, e] 上连续.?????????????????????(11 分) 欲使对任意的 x0 ? (0,e] 在 (0, e] 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 )

1 成立,则需满足 f (e)≥ ,即 a≤2 ?
又∵ 2 ?

3 . e ?1

2 3 2 3 e? 2 , ?????(12 分) ? (2 ? )? > 0 ,∴ 2 ? >2 ? e e ?1 e e ? 1 e(e? 1) 3 3 . 综上所述, a ? (??, 2 ? ]. ???????????(13 分) e ?1 e ?1

∴ a≤2 ?

12