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2012年兰州市第一次诊断考试数学试卷及答案


2012 年高三诊断考试卷 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.题号后标注“理科”的试题为理科考生解答, 标注“文科”的试题为文科考生解答,未作标注的试题文、理科考生均解答. 2.本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 3.答题全部在答题纸上完成,试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目 要求的)

1. (理科)已知复数 z 满足 ( z ? 2 )(1 ? i ) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z =
( A) i (B ) ? i (C )2 ? i (D )2 + i





﹜ (文科)集合 U ?﹛ x ∈ N | 0 < x ? 6 , M = {1, 4, 5} , N ? {2,3,4} 则 M ∩ ( ? N ) ?
U

( A ) {1,4,5,6}

(B ){1,5}

(C ){4}

(D ){1,2,3,4,5}

2.函数 f ( x ) ?
( A) f (C ) f
?1

x ? 4 ( x ? ? 2 ) 的反函数为
2

(x) ? ( x) ? ?

x ? 4 ( x …0 )
2

(B ) f (D ) f
S8 S4
(C ) 8 3

?1

( x) ? ( x) ? ?
S12 S8

x ? 4 (x ? R)
2

?1

x ? 4 ( x …0 )
2

?1

x ? 4 ( x ? R)
2

3.设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若
7 3

? 3 ,则

?





( A) 2

(B )

(D )3
2 2

4.已知点 P ( x , y ) ( x , y ? R ) ,则“ x…2 且 y…2 ”是“点 P ( x , y ) 在圆 x ? y ? 4 ”外的(
( A) 充 分 而 不 必 要 条 件 (C ) 充 分 必 要 条 件
?



(B ) 必 要 而 不 充 分 条 件 (D ) 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
?

5. (理科)已知向量 a ? (c o s ? , sin ? ) 与 b ? (co s ? , ? sin ? ) 互相垂直,且 ? 为锐角,则函数
f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 的一条对称轴是




(C ) x ?

( A) x ? ?

(B ) x ?

?
2

?
4

(D ) x ?

7? 8

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

(文科)已知 △ A B C 的顶点 B 、 C 在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上, 顶点 A 是椭圆的一个焦点, 且椭圆的另一

12

16

个焦点在 B C 边上,则 △ A B C 的周长是
( A) 2 3 (B ) 4 3
2


(D )16



(C ) 8

6.曲线 y ?

1 2

x ? x ? 2 在点 (0, ? 2 ) 处的切线与直线 x ? 0 和 y ? x ? 2 所围成的区域内(包括边界)

有一动点 P ( x , y ) ,若 z ? 2 x ? y ,则 z 的取值范围是
( A ) [-2 ,2 ] (B ) [-2 ,4 ] (C ) [-4 ,-2 ]
2


(D ) [-4 ,2 ]



7. (理科)已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数,当 x> 0 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,则不等式 f ( x )> 0 的解集是
( A ) ﹛ x| < ? ﹜ 1﹛ |x > ﹜ 3 x ∪ x ( C )﹛ x | x ? ﹜ 3 < ∪ ﹛ | >﹜ 3 x x ﹛ | x< ? ﹜ B ) | 0 < < ﹜3 x ∪ ( ﹛ x x ﹛ | x 3 < < x﹜ )﹛ | > ﹜ ( D∪ x x 0


3



3

(文科)已知向量 a ? (c o s ? , sin ? ) 与 b ? (co s ? , ? sin ? ) 互相垂直,且 ? 为锐角,则函数
f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 的一条对称轴是

?

?

(
(C ) x ?



( A) x ? ?

(B ) x ?

?
2

?
4

(D ) x ?

7? 8

8. (理科)在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,各侧面均为正方形,侧面 A A1 C 1 C 的对角线相交于点 M ,则
B M 与平面 A A1 C 1 C 所成的角的大小是
( A) 30
?


(C )6 0
?



(B ) 4 5

?

(D )9 0
2

?

(文科)已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数,当 x> 0 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,则不等式 f ( x )> 0 的解集是
( A ) ﹛ x| < ? ﹜ 1﹛ |x > ﹜ 3 x ∪ x ( C )﹛ x | x ? ﹜ 3 < ∪ ﹛ | >﹜ 3 x x ﹛ | x< ? ﹜ B ) | 0 < < ﹜3 x ∪ ( ﹛ x x ﹛ | x 3 < < x﹜ )﹛ | > ﹜ ( D∪ x x 0




3 3

9. (理科)若函数 f ( x ) ? sin ? x ?
3 ? ,则正数 ? 的值为

3 co s ? x , x ∈ R , 又 f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ,且 ? ? ? 的最小值等于


2 3 ( B (C ) ) 3 4 (D ) 2 3



(A )

1 3

(文科)在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,各侧面均为正方形,侧面 A A1 C 1 C 的对角线相交于点 M , 则 B M 与平面 A A1 C 1 C 所成的角的大小是 高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页) ( )

( A) 30

?

(B ) 4 5

?

(C )6 0
2 2

?

(D )9 0

?

10. (理科)过点 M ( ? 2, 0 ) 的直线 l 与椭圆 x ? 2 y ? 2 交于 P1、 P2 ,线段 P1 P2 的中点为 P .设直线 l 的 斜率为 k 1 ( ( k 1 ? 0 ) ,直线 O P ( O 为坐标原点)的斜率为 k 2 ,则 k 1 k 2 等于
( A) ?2 (B ) 2 (C ) ? 1 2 (D ) 1 2





(文科)若函数 f ( x ) ? sin ? x ?
3 ? ,则正数 ? 的值为

3 co s ? x , x ∈ R , 又 f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ,且 ? ? ? 的最小值等于


2 3 ( B (C ) ) 3 4 (D ) 2 3



(A )

1 3

11.正棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线.若一个正 n 棱柱有 10 条对角线,那么 n ? ( )
( A) 4 (B )5
2 2 2 2

(C )6

(D )7

12.已知 F 为双曲线 C :

x a

?

y b a

? 1 ( a > 0, b > 0 )的右焦点, P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x

2

轴上方, M 为直线 x ? ? 曲线 C 的离心率为
( A) 2

上一点, O 为坐标原点,已知 O P ? O F ? O M 且 O F ? O M ,则双 )
5 (C ) 2 (D ) 4

??? ?

????

???? ?

????

???? ?

c


(B ) 1? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. co s 7 3 co s 1 3 ? co s 1 7 sin 1 3 ?
? ? ? ?



4 5 14.三棱锥 P ? A B C 的三条侧棱 P A、 P B、 P C 两两互相垂直,且长度分别为 3、、 ,则三棱锥 P ? A B C 外接球的表面积是


2 2012

15. (理科)若 (1 ? 2 x ) (文科) ( 2 ?
2 2
8

2012

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 2 0 1 2 x
4

,则

a1 2

?

a2 2
2

?? ?

a 2012 2
2012

?

。 。

x ) 展开式中,不含 x 项的系数之和为 S ,则 S ? .. .
2 2

16.双曲线 为

x a

?

y b

? 1( a > 0 , b > 0 ) 一条渐近线的倾斜角为

?
3

,离心率为 e ,则

a ?e
2

的最小值

b

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

17. (本小题满分 10 分)
△ (理科) A B C 的三内角 A , B , C 的所对的边分别为 a , b , c , sin 且

A 2

? cos

A 2

? 2

6

( A 为锐角) ,

(Ⅰ)求 A 的大小. (Ⅱ)若 a ? 1 且 2 c ?
3 b ? 0 ,求△ A B C 的面积

(文科)设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? ? 1 1, a 4 ? a 6 ? ? 6 . 求: (Ⅰ) a n ; (Ⅱ) S n 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) (理科) 某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展, 该市电视台开办了健身竞技类栏目 《健 身大闯关》 ,规定参赛者单人闯关,参赛者之间相互没有影响,通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人参加当天闯关比赛,已知甲获奖的概率为
3 5

,乙获奖的概率为

2 3

,丙获奖而甲没有获奖的概率为

1 5

(Ⅰ)求三人中恰有一人获奖的概率; (Ⅱ)记三人中获奖的人数为 ? ,求 ? 的数学期望.
A 2 A 2 6 2

(文科)△ A B C 的三内角 A , B , C 的所对的边分别为 a , b , c ,且 s in (Ⅰ)求 A 的大小. (Ⅱ)若 a ? 1 且 2 c ?
3 b ? 0 ,求△ A B C 的面积

? cos

?

( A 为锐角) ,

19. (本小题满分 12 分) 高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

(理科)如图,三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,底面 A B C 正三角形,侧面 A C C 1 A1 是∠ A1 A C ? 菱形,且侧面 A C C 1 A1 ? 底面 A B C , D 为 A C 中点. (Ⅰ)求证: 平 面 A1 B D ? 平 面 A C C 1 A1 (Ⅱ)若点 E 为 A A1 上的一点,当 C E ? B B1 时, 求二面角 A ? E C ? B 的正切值.
A
E

?
3



A1 B1

C1

D

C

B

(文科)某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展,该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身 大闯关》 ,规定参赛者单人闯关,参赛者这间相互没有影响,通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人 参加当天闯关比赛,已知甲获奖的概率为
3 5

,乙获奖的概率为

2 3

,丙获奖而甲没有获奖的概率为

1 5

(Ⅰ)求三人中恰有一人获奖的概率; (Ⅱ)记三人中获奖的人数为 ? ,求 ? 的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

(理科)已知数列 ? a n ? 中, a 1 ? (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式.

1 2

,

an ?

3an an ? 3

(n ? N )
*

(Ⅱ)已知 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n ,都有 b n ?
1 2

n (3 ? 4 a n ) an

? 1 成立.

求证:

≤ S n<1

(文科)如图,三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,底面 A B C 正三角形,侧面 A C C 1 A1 是∠ A1 A C ? 形,且侧面 A C C 1 A1 ? 底面 A B C , D 为 A C 中点.
A1

?
3

的菱

(Ⅰ)求证: 平 面 A1 B D ? 平 面 A C C 1 A1
B1

C1

(Ⅱ)若点 E 为 A A1 上的一点,当 C E ? B B1 时, 求二面角 A ? E C ? B 的正切值.
A

E

D

C

B

21. (本小题满分 12 分) 高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

(理科)已知点 M 是直线 x ? ?

1 2

上的动点, F ( , 0 ) 为定点,过点 M 且垂直于直线 x ? ?
2

1

1 2



直线和线段 M F 的垂直平分线相于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 (Ⅱ)经过点 Q ( a , 0 )( a > 0 ) 且与 x 轴不垂直的直线 l 与点 P 的轨迹有两个不同的交点 A、 B ,若 在 x 轴上存在点 C ,使得△ A B C 为正三形,求实数 a 的取值范围.

3 2 (文科)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? 1 的导数 f ? ( x ) 满足 f ? (1) ? 2 a ? 6 , f ? ( 2 ) ? ? b ? 1 8 ,

其中常数 a , b ? R (Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的单调性并指出相应的单调区间; (Ⅱ)若方程 f ( x ) ? k 有三个不相等的实根,且函数 g ( x ) ? x ? 2 kx ? 1 在 [ ? 1, 2 ] 上的最小值为
2

? 2 3 ,求实数 k 的值.

22. (本小题满分 12 分) (理科)已知函数 f ( x ) ? x ? ln (1 ? x ) , e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若 x< 时,恒有 f ( x ) ? m ≤ 0 成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 n ≥ 2, n ? N ,证明: (1 ?
*

1 2!

)(1 ?

1 3!

) ? (1 ?

1 n!

)< e.

(文科)已知点 M 是直线 x ? ?

1 2

上的动点, F ( , 0 ) 为定点,过点 M 且垂直于直线 x ? ?
2

1

1 2

的直线

和线段 M F 的垂直平分线相于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 (Ⅱ)经过点 Q ( a , 0 )( a > 0 ) 且与 x 轴不垂直的直线 l 与点 P 的轨迹有两个不同的交点 A、 B ,若 在 x 轴上存在点 C ,使得△ A B C 为正三形,求实数 a 的取值范围.

参考答案和评分参考
高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

一、选择题(12小题,每小题5分,共60分) (1)B (2)C (3)B (4)A (5)D (6)D (7)D (8)C (9)C (10)B (11)B (12)A 二、填空题(4小题,每小题5分,共20分)

(13)

(14)

(15)

(16)

三、解答题(6小题,共70分) (17)解: (Ⅰ)设该数列的公差为

∵ ∴ ????????4分



????????5分

(Ⅱ)

∴当

时,

取得最小值

????????10分

(18)解: (Ⅰ)∵





????????6分

(Ⅱ)∵





∴ 解得: ,所以



????????12分

解法二:因为





高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

由余弦定理,得: 解得: ,所以



∴ (19)解:设甲获奖为事件

????????12分 ,乙获奖为事件 ,丙获奖为事件 ,丙获奖的概率为 ,则



解得

???3分

(Ⅰ)三人中恰有一人获奖的概率:

???6分 (Ⅱ)三人中至少有2人获奖的概率为:

???12分 (20)解法一: (Ⅰ)证明:





的中点

为正三角形

∴ ∴ 平面

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

而 ∴平面 (Ⅱ)∵ ∴ ∴点 ∵ 过点

平面 平面 ∥ ??????6分

为 ∴ 做

的中点 平面 ,垂足为 ??????7分 ,连接 则 ,所以 为二面角 的一个平面

角??????9分







,则

∴ 解法二:

??????12分

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

依题意有





两两垂直且相交于点

, 故建立如图所示的空间直角坐标系

, 设

则:







(Ⅰ)∵







∴ ∴ ∴ 而 ∴平面 (Ⅱ)∵ ∴ ∴点 为 的中点 ∥ 平面 平面 平面 ??????6分

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)

∴ ∵ ∴ 平面

∴ 设

为平面 为平面

的一个法向量 的一个法向量,则有 , 即

令 ∴ ∴ 而





∴ ∴ 二面角 (21)解: (Ⅰ)因 的正切值 ??????12分 ,故 ,依题意有

解得 所以 ∵由 ∴所以函数 得 在 或 与 当 , ,由

???3分

得 上单调递增,在 时取得极大值 上单调递减??6分 ,当 时取得极小值

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数

所以当方程

有三个不相等的实根时,

???8分

∵ ∴当 时,

,解得

,与

矛盾;

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)



时,

,解得 当 时

,与

矛盾;

解得

???11分



???12分

(22)解: (Ⅰ)由条件可得 点 的轨迹方程为 ???????4分 (Ⅱ)设 , ,

,所以点

轨迹为以直线

为准线,

为焦点的抛物线,所以

的中点为



,直线 的方程为

由 ∴

,得 ?????6分

所以

,从而



为正三角 形,∴



?????8分



,得

,所以



,得

即 ∵





,从而

?????10分

高三诊断数学(理)第 2 页 (共 14 页)







的取值范围



????????12分

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