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北京版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题汇编:专题04 三角函数与三角形(解析版) Word版含解析


一.基础题组
1.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】在 ?ABC 中,若 tan A ? ?2 , 则 cos A =( )

5 A. 5

B.

?

5 5

2 5 C. 5

D.

?

2 5 5

2.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,a=3,b = 7 ,c=2,那么 B 等于( A. 30° B.45° ) C.60° D.120°

3.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,已知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,则角 A 为(
A.

) C.

? 3

B.

? 6

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

【答案】C

1

?π ? 3 4. 北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测 【 (二) 数学试题(理科)】 已知 sin ? ? x ? ? , 那么 sin 2x ?4 ? 5

的值为( A.



3 25

B.

7 25

C.

9 25

D.

18 25

5.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,若

a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是(
A.等腰三角形 B.直角三角形

) C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

方法二:角化边:

2

6.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】下列四个函数中,最小正周期为

? ,且图象关于直线 x ?
x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3
(C) y ? sin(2 x ? ) 3

?
12

对称的是(

)

x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3
(D) y ? sin(2 x ? ) 3

?

?

7.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,AB=5, BC=7,AC=8,则 AB? BC 的值为( A.79 B.69 C.5 ) D.-5

8. 【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,若

3

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c
A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

) B.等腰直角三角形 D.等边三角形

9.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】函数

π f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ) 的图象如图所示,则 ? ? ______________, ? ? __________. 2

10.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边 分别为 a, b, c ,且 cos A ?

1 ? , ?B ? , b ? 5 ,则 sin C ? 3 4

, ?ABC 的面积 S ?

.

【答案】

4 ? 2 100 ? 25 2 ; . 6 9

4

11.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ?

5 10 则 ,sin B ? 5 10

A ? B =___________ .

5

12.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】函数

?? ? ? f ?x ? ? 2 sin ? ?x ? ? ?x ? R ? , f ?? ? ? ?2 , f ?? ? ? 0 ,且 ? ? ? 最小值等于 ,则正数 ? 的 3? 2 ?
值为 .

13.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】在 ?ABC 中, ?A ? 30? , ?B ? 45? , a ? 2 ,则
b ? _____; S?ABC ? _____ .

14.【北京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 】在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ? 7 , B ? 则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______. 【答案】3 ;

? , 3

3 3 2

6

【解析】

15. 北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科) 】 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 【 设 且 cos A ?

1 ? , ?B ? , b ? 5 ,则 sin C ? 3 4

, ?ABC 的面积 S ?

.

16.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】在△ABC 中,角 A,B,C 所对 的边分别是 a,b,c . a ? 3,b ? 2, A ?

? ,则 tan B ? 6

.

【答案】 【解析】

2 4

试题分析:由正弦定理得

3 sin

?
6

?

1 2 ,解得 sin B ? .因为 a ? b ,所以 B ? A ,即 3 sin B

7

1 1 2 2 2 sin B 2 ,所以 tan B ? . cos B ? 1 ? ( ) ? ? 3 ? 3 3 cos B 2 2 4 3
考点:1.正弦定理;2.同角三角函数基本关系式. 17. 【北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】在△ ABC 中, BC ? 2 ,

AC ? 7 , B ?

? ,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______. 3

二.能力题组
1.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】在 ?ABC 中,角 A, B, C 的 对边分别为 a, b, c , A ? 60? , 3b ? 2c, S ?ABC ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值.

3 3 . 2

8

2. 北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】 ?ABC 中, A, B, C 【 在 角 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅰ)求 sin C 的值;

(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

∴C ?

2? 3 3 1 3? 4 3 ? 2? ? ? A,sin A ? ,∴ sin C ? sin ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 3 5 2 10 ? 3 ? 2

9

3.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知函数 . π f ( x) ? 3cos4 x ? 2cos2 (2 x ? ) ? 1 4 (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的取值范围.

π π 6 4

π π 4π π π -----------------------------------10 分 ? x ? ,所以 ? ? 4x ? ? 6 4 3 3 3 3 π ? sin(4 x ? ) ? 1 -----------------------------------12 分 所以 ? 2 3
(II)因为 ?

10

所以 ? 3 ? 2sin(4x ? ) ? 2 , 所以 f ( x ) 取值范围为 [? 3,2] .

π 3

-----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分

考点:和差倍半的三角函数,三角函数的图象和性质. 4.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】已知函数 f ( x ) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

又注意到 x ? kπ+ ,

π 4

11

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) , 4 4

k ?Z .

…………………13 分

考点:1、函数的定义域;2、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式;3、三角函数的单调性. 5.【北京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点, 】 始边与 x 轴正半轴重合, 终边交单位圆于点 A , ? ? ? , ) . 且 将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .

? ? 6 2

? , 3

(Ⅰ )若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ )分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为

S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

12

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 . cos ? ? sin ? ? 2 2 6

………………5 分

6.【北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科)】已知函数

f ?x ? ?

?

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2 ?? ? ? 的值; ?3?

?

(I)求 f ?

(II)求函数 f ?x ? 的最小正周期及单调递减区间. 【答案】 ) (Ⅰ

1 ; 2

(Ⅱ )最小正周期为 T ?

2? ? ? ,单调递减区间为 2

13

? ??? ? 2? ? ? ?k? ? 6 , k? ? 2 ?, ? k? ? 2 , k? ? 3 ??k ? Z ? ? ?? ?

14

考点:1.三角函数定义;2.两角和的正弦余弦公式;3.三角函数的单调性. 7.【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】已知函数

f ( x) ? sin(? ? 2x) ? 2 3 cos2 x, x ? R .

15

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

考点:1.三角函数定义;2.二倍角公式;3.三角函数的单调性. 8.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】已知函数
f ? x ? ? sin x

?

3 cos x ? sin x .

?

⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期;
2π ? ? ⑵ 当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. 3 ? ?

16

9.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】在△ ABC 中, A, B, C 所 对的边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 2 cos (Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

【答案】 ) 2 ; ) 3 (Ⅰ (Ⅱ 【解析】

17

10.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】已知函数

?? ?? ?x ? ? f ( x) ? sin? ?x ? ? ? sin? ?x ? ? ? 2 cos2 , 其中 6? 6? 2 ? ?
(1)求函数 f (x) 的值域;

x ? R ,? ? 0 .

(2)若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 间. 【答案】 ) ?? 3,1? ; ) ?? (Ⅰ (Ⅱ 【解析】 试题分析: (1) f ( x ) ? sin ?x ?

? ,求函数 f (x) 的单调增区 2

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 3 ? 6 ?

3 1 3 1 ? cos?x ? ? sin ?x ? ? cos?x ? ? (1 ? cos?x ) 2 2 2 2

= 3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ?

?
6

) ?1

…………………………………5 分

18

考点:1.和差角正弦公式;2. 三角函数单调性. 11.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数
f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) .

? 1 6 2

(Ⅰ)求 ?,? 的值;

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

19



k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 2 8 2 8
所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [

……………………………12 分

k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . …………13 分 2 8 2 8

考点:1.三角函数的图像与性质;2. 三角函数单调性. 12.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

13.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数

f ?x ? ?

?

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2 ?? ? ? 的值; ?3?

?

(I)求 f ?

(II)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递减区间.

20

【答案】 (Ⅰ)

1 ; (Ⅱ)最小正周期为 ? ,单调递减区间为 2

? ?? ? ? 2? ? ? ? k? ? 6 , k? ? 2 ? , ? k? ? 2 , k? ? 3 ? (k ? Z ) . ? ? ? ?
【解析】

21

三.拔高题组
1.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知函数

f ( x) ?

sin x ? cos x ,在下列给出结论中: sin x cos x
? 对称; 4

① ? 是 f ( x ) 的一个周期; ② f ( x ) 的图象关于直线 x ?

22

③ f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减. 其中,正确结论的个数为( A. 0 个 ) C. 2 个 D. 3 个

? 2

B.1 个

由满足 f (2a ? x) ? f ( x) ,其图象的对称轴为 x ? a ,所以,②正确;

sin x ? cos x 1 1 ? , y ? sin x, y ? cos x 在 (? ,0) 上均为增函数, ? ? sin x cos x cos x sin x 2 1 1 ? ? 所以, y ? 在 (? ,0) 上为减函数,③正确. cos x sin x 2
因为, f ( x) ? 综上知,正确结论的个数为 2,选 C. 考点:三角函数的图象和性质 2. 北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科)】 【 设定义在 R 上的函数 f ?x ? 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?? x ? 是 f ?x ? 的导函数.当 x ? ?0, ? ? 时, 0 ? f ?x ? ? 1;当 x ? ?0, ? ? 且 x ? 时, ? x ?

?
2
.

? ?

?? ? f ??x ? ? 0 .则函数 y ? f ?x ? ? cos x 在 ?? 3? ,3? ? 上的零点个数为
2?

23

草图如下,

由图知 y ? f ?x ? ? cos x 在 ?? 3? ,3? ? 上的零点个数为 6 个. 考点:1.三角函数的图象和性质;2.函数的零点 3.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】设 ?ABC 是锐角三角 形, a, b, c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且 sin A ? sin(
2

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B. [

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) .

24

4.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】在 ?ABC 中,已知

2 sin B cos A ? sin? A ? C ?
(1)求 ?A ; (2)若 BC ? 2 , ?ABC 的面积是 3 ,求 AB .

25

5.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在△ABC 中,若

sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? .
(Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

b2 + c 2 - a 2 a 2 + c 2 - b2 + ) , 再由余弦定理,上式可化为: a + b = c( 2bc 2ac
即 2ab(a +b) = a(b + c - a ) +b(a +c - b ) = ab(a +b) +c (a +b) - (a +b)(a - ab +b )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

26

消去 a + b 整理得: a + b = c ,所以 ? C (Ⅱ)如图, Rt! ABC 中, ? C

2

2

2

90

即△ABC 为直角三角形.

90 , Rt! ABC 的内切圆 ? O 分别与边 AB, BC , CA 相切与点

D, E, F .

考点:1.正弦定理和余弦定理的应用;2.直角三角形内切圆的性质;3.三角恒等变换;4.三角 函数的值域.

27


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