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高中数学必修2知识点归纳


必修 2 知识点归纳
第一章 空间几何体

1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体 的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

简单组合体

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱 台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 3、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图 形. 4、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x O y ,使 ?x O y =450(或 1350) ,注意它们确定的平面表示水平平面;
' ' ' ' ' '

③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不 变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半;

S =2 2S直观 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 原图 5、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
r l r l A S侧=2πr?l AB=2πr B
-1-

S 侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l
A l V θ l r h l B 1 弧长 半径 2 图中:扇形的半径长为l, 圆心角为θ,弧AB 的长 L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径.提醒圆心角 π 为弧度角,例如60° 弧度, 3 π π 45° 弧度,90° 弧度等等) 4 2

圆锥的侧面展开图是扇形, 扇形面积S扇形
O1 r h O2 R l

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l

R

O d O1

⑷体积公式:

V柱体 ? S ? h



V锥体

1 ? S ?h 3 ;

r

d= R2-r2

1 V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3 ⑸球的表面积和体积:

?

?

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 3 .一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

α

A

B

l

? A ? l, B ? l ?l ?? ? ? A ?? , B ??

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

α

C A

B

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ?

推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

α

A

l

若 A?l ,则点 A 和 l 确定平面 ?

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

α

A

l
m

若 m ? n ? A ,则 m, n 确定平面 ?
-2-

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面

α

m n

若 m ? n ,则 m, n 确定平面 ? 公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β α
P

P ?? , P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
L

·

公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据; (2)证明点共线、线共点等。 4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. a ? b, c ? b ? a ? c 公理 4 作用:证明两直线平行。 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2

b

方向相同则 ∠ 1=∠ 2

方向相反则 ∠1+∠2=180°

a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180?

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a ? b ,

a ? b ? A,

a, b异面

a (1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 ?A (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系: a
a

b

?
(1)

a

?
(2)

?

A
(3)

(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点; a ? ? (2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点; a ? ? (3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点; a ? ? ? A 8、面面位置关系:平行、相交。

9、线面平行: (即直线与平面无任何公共点) ⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)

-3-

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线和它们的交线平行;

? ? a?? ? ? a ?b ? ? ? ? b? ?
④平行线的传递性: a ? b, c ? b ? a ? c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
? ??

a ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ? b ? ? ? ? b? ?
a ??? ? ? a ?b b ?? ?

⑥垂直于同一平面的两直线平行;

⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线和它们的交线平行; (上面的③) 10、面面平行: (即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a ? ?,b ? ? ? ? a ?b ? A ? ?? ?? a ? ?,b ? ? ? ?
判定定理的推论: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面 平行

a, b ? ? ? a ?b ? A ? ? ? ?? ?? a ? a?, b ? b?? a?, b? ? ? ? ?
(2)两平面平行的性质: 性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;
? ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ? b ? ? ? ? b? ?
-4-

性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;
? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?

性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
? ??

? A, C ? ? ? ? ? ? AC ? BD B, D ? ? ? AB ? CD ? ?

性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
? ?? ? ? ?? ? ? ? a ? ?或 ? ? a ?? a ??? a ? ??

-5-


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